Problème-flèche

Description du problème en termes de variables didactiques

Variable didactique Valeur

Nature du problème Reconnaissance de la figure symétrique

Spécificité de la figure F (flèche noire)

F possède des segments parallèles à l’axe de symétrie ;

F possède un axe de symétrie qui n’est ni parallèle ni perpendiculaire à l’axe

Nature de F Simple (figure comporte peu de segments)

Orientation des segments de la figure F

sur la feuille Oblique ; Horizontale ; Verticale

Orientation de l’axe sur la feuille Verticale Intersection de la figure avec l’axe Vide

Position relative de F et F’ F et toutes les figures candidates possèdent des segments parallèles

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Tableau 19. Variables didactiques et valeurs concernant le problème flèche

Chacune des trois figures candidates au symétrique de la flèche noire (cf. Figure 25, p. 129 à gauche de l’axe) ont les mêmes forme et taille que celle-ci. Par ailleurs, la flèche noire et les candidates sont de part et d’autre de l’axe. Ainsi, bien que dans la résolution de ce problème, des contrôles liés aux critères « forme » et « taille » puissent intervenir dans le choix de l’élève, et encore que cet élève puisse prendre en compte le fait que les figures objet et image sont dans des demi-plans différents délimités par la droite d (Σdemi-plan), ces contrôles ne permettent pas à l’élève de choisir une de ces trois figures. Ainsi, nous ne considérons donc que les critères et les contrôles qui peuvent être déterminants dans le choix de la figure symétrique.

Les contrôles qui peuvent permettre de distinguer l’une de ces figures comme symétrique de la flèche noire relèvent des critères « direction », « distance à l’axe » et « position ». Chacune des figures candidates renvoie à des contrôles différents. Nous y reviendrons plus loin dans l’étude des choix possibles.

Par ailleurs, bien que le pliage et le calque ne soient pas suggérés dans l'énoncé du problème, le choix d’une des flèches candidates peut relever de l'utilisation de ces outils.

En ce qui concerne le pliage, comme nous l’avons prévu dans l’étude des procédures de construction, il peut être effectif ou mental. Dans le premier cas, un contrôle concernant la superposition des figures par pliage est mobilisé dans la reconnaissance de la figure, en fonction de la droite choisie par l’élève. Le pliage mental relève de la reconnaissance par la perception globale. Nous considérons que l’élève reconnaît l’image d’une figure par pliage mental, quand il utilise cet argument dans son explication. Cependant, l’élève peut utiliser l’argument du pliage sans forcément contrôler son choix par la superposition effective des figures. Dans ce cas, nous n’avons pas les moyens d’affirmer qu’un contrôle lié au pliage est mis en œuvre par l’élève. D’autres contrôles liés à l’appréhension perceptive de la figure peuvent alors intervenir dans ce choix. La reconnaissance perceptive de la figure symétrique peut relever alors des contrôles liés aux critères « direction », « distance à l’axe » (une distance perceptive globale de la figure à l'axe) et « position ».

Nous pouvons encore envisager que l'élève puisse choisir une de ces trois flèches comme symétrique de la flèche noire par élimination. Dans ce cas, tous les critères cités peuvent également intervenir dans le choix de l’élève. Enfin, ce choix peut être un effet du contrat didactique.

Ci-après, nous cherchons à identifier les contrôles qui nous paraissent susceptibles d'être mobilisés dans le choix de chacune des flèches proposées comme réponse à ce problème.

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Flèche bleue

Figure 30. Flèche bleue

La prise en compte des propriétés caractéristiques de la symétrie orthogonale (orthogonalité et égalité des distances à l’axe) conduira l’élève à choisir cette figure comme réponse. Dans ce cas, les contrôles intervenant sont ortho⁴³ et dist.

Ce choix peut relever aussi de la prise en compte par l’élève de la propriété d’égalité des distances des points à l’axe uniquement. Dans ce cas, dist est le seul contrôle qui intervienne dans ce choix.

Comme il a été déjà évoqué, les résultats des recherches montrent que les orientations horizontale et verticale de l’axe sur la feuille jouent un rôle perturbateur pouvant favoriser un rappel horizontal ou vertical. Ce rappel donne pour point-image un point situé sur la même droite horizontale ou verticale que le point-objet (Grenier, 1988). Ainsi, étant donné que la droite d est verticale dans ce problème, le choix de cette figure peut relever également de la prise en compte de la direction horizontale.

Figure 31. Droites (MM’) et (NN’) : lignes de rappel orthogonal à l’axe ou horizontal

L’utilisation du pliage effectif, ou du papier calque correctement peut aussi conduire l’élève à choisir cette figure. Les contrôles qui peuvent intervenir dans ce choix sont pliage_1 et

calque_1, respectivement.

En ce qui concerne la reconnaissance de cette figure par la perception globale, nous supposons que les contrôles susceptibles d’intervenir dans ce choix sont liés aux critères

43 Pour la description des contrôles, on se reportera au chapitre 3 à partir de la p. 71.

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« direction », « distance à l’axe » et « position ». La distance dans ce cas serait une distance perceptive globale :

Figure 32. Prise en compte d’une distance globale entre les figures objet (gauche) et image (droite)

Dans ce cas, les contrôles susceptibles intervenir dans ce choix sont : hor ou ortho, dist, et

rotation avec ou sans retournement.

Flèche verte

Figure 33. Flèche verte

La prise en compte par l’élève du rappel horizontal peut mener également au choix de cette figure comme réponse. Les flèches noire (figure initiale) et verte sont à la même « hauteur » sur la feuille, ce qui peut renforcer la prise en compte par l’élève de la direction horizontale.

Comme dans le cas précédent, la distance à l’axe peut être une distance perceptive globale entre les deux figures (flèches noire et verte) et la droite d. Les contrôles pouvant intervenir dans ce choix sont alors hor et dist. Par ailleurs, étant donné que les flèches noire et verte possèdent des segments parallèles, les contrôles Σparallélisme_segment et/ou Σtranslation peuvent également intervenir dans ce choix.

Flèche rouge

Figure 34. Flèche rouge

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En se basant sur les attributs de la figure, notamment l’emplacement spatio-graphique des flèches noire et rouge, nous pouvons interpréter le choix de la flèche rouge comme symétrique de la noire de deux manières différentes :

Interprétation 1 : ce choix peut relever de l’alignement des points ou des segments, ce qui peut se traduire par le prolongement du grand segment de la flèche noire, et de l’égalité des

« distances » de ces extrémités à la droite d, suivant la direction donnée par ce segment. Les contrôles qui peuvent intervenir dans ce choix sont alors prolong et dist.

Interprétation 2 : ce choix peut relever du parallélisme des segments correspondants en plus du prolongement. Dans ce cas, les contrôles prolong et Σparallélisme_segment sont en oeuvre.