Caractérisation des conceptions

Dans cette perspective, la première question que nous nous posons concerne la caractérisation de connaissances. La théorie des situations didactiques (TSD) de Brousseau (1998) préconise qu’une connaissance est caractérisée par les situations ou les problèmes qui lui sont spécifiques. Dans le cadre du modèle cK¢, la caractérisation de « conception » est issue de la définition pragmatique du concept qu’en donne Vergnaud (1990) dans sa théorie des champs conceptuels : un concept y est défini par un triplet constitué d’un ensemble de situations, d’un ensemble des invariants opératoires et enfin d’un ensemble des formes langagières qui permet la représentation symbolique de ce concept. L’une des innovations apportées par le modèle cK¢ à cette définition est l’explicitation des structures de contrôle (), qui jugent de la validité et de l’adéquation de l’action réalisée par le sujet résolvant un problème. Ainsi dans ce modèle, une conception est définie par un quadruplet constitué d’un ensemble P des problèmes, un ensemble R des opérateurs, un ensemble L des systèmes de représentations et un ensemble  des contrôles, que nous décrirons plus en détail au chapitre 2 (cf. p. 29).

Dans les travaux de recherche présentés plus haut (cf. p. 19) ont été identifiées quatre conceptions prototypiques relatives à la symétrie orthogonale, en référence à la définition

proposée par Vergnaud (ibid.). Dans notre recherche, nous n’avons pas à nous limiter à ces quatre conceptions, d’une part parce que le problème pris en compte dans ces travaux concerne, en particulier, la construction du symétrique d’un segment, tandis que nous nous proposons de considérer les figures plus complexes et d’autre part, parce que nous nous sommes placés dans une autre approche théorique.

En nous appuyant sur la formalisation proposée par le modèle cK¢, nous faisons le choix de caractériser une conception à partir de l’identification des structures de contrôle. Gaudin (2005) a étudié le rôle et les relations entre opérateurs et contrôles dans l’activité d’un sujet en résolution de problème, à propos de la notion de fonction. Ses résultats montrent que l’analyse des productions des élèves par le biais de ces éléments a permis d’expliquer des dysfonctionnements – dans la conduite de l’action réalisée – observés dans le comportement du sujet. Nous reprenons ici comme hypothèse de travail l’hypothèse de Gaudin (ibid.), selon laquelle la caractérisation des structures de contrôle des conceptions peut permettre d’analyser les choix et les décisions prises par les élèves dans la résolution de problèmes et d’accéder, par la suite, aux opérateurs susceptibles d’être mis en œuvre dans l’action. Par ailleurs, les résultats de la recherche de Gaudin (2002) montrent qu’un même opérateur peut être attaché à des contrôles différents qui caractérisent des conceptions différentes. A ce propos, Balacheff et Margolinas affirment que :

La considération des contrôles peut permettre de distinguer des conceptions qui par ailleurs paraissent partager les mêmes systèmes de représentations et les mêmes opérateurs.

Balacheff & Margolinas (2005, p. 84) En considérant que les contrôles peuvent jouer un rôle important dans la distinction des conceptions, dans notre recherche nous avons choisi de caractériser dans un premier temps les structures de contrôles des conceptions de la symétrie orthogonale, ce qui peut nous permettre de caractériser ses autres éléments. Cette problématique soulève la question suivante :

Q1 : Comment caractériser l’ensemble des contrôles des conceptions susceptibles d’être mobilisés par l’élève dans la résolution d’un problème relatif à la symétrie orthogonale ?

Puisque nous utilisons le cadre du modèle cK¢ pour caractériser les conceptions, la question suivante se pose naturellement.

Q2 : À partir de l’ensemble des contrôles, peut-on accéder aux autres éléments qui caractérisent une conception, notamment les opérateurs et les problèmes ? Si oui, comment ?

Signalons que d’autres recherches ont utilisé le modèle cK¢ pour caractériser des conceptions relatives à la notion de fonction à partir de l’ensemble des problèmes (Mesa, 2004), ou celles

relatives aux équations différentielles à partir de l’ensemble des opérateurs (Arslan, 2005) ou encore celles relatives à la symétrie orthogonale à partir des ensembles des contrôles et des opérateurs (Miyakawa, 2005).

Choix de problèmes

Pour choisir la nature des problèmes, nous avons pris comme point de départ les résultats des recherches sur la symétrie orthogonale, ainsi que le point de vue de l’enseignement (à l’école élémentaire et au collège). Après avoir réalisé une étude des manuels scolaires en vigueur au Collège en France (cf. chapitre 3), nous avons constaté que la plupart des problèmes proposés aux élèves concernant la symétrie orthogonale étaient des problèmes de construction de la figure symétrique par rapport à une droite donnée, et nous trouvons également une quantité importante de problèmes de reconnaissance de la figure symétrique parmi plusieurs figures données. Nous nous interrogeons alors sur les conceptions susceptibles d’être mobilisées par les élèves dans la résolution de problèmes de cette nature.

Quant aux problèmes de construction d’images de figures par une symétrie orthogonale, la question qui se pose concerne les conceptions pouvant être mises en œuvre par les élèves quand ils construisent l’image d’une figure complexe, c'est-à-dire composée de plusieurs segments, d’arcs de cercle... Ces conceptions sont-elles les mêmes que celles identifiées dans les travaux concernant la problématique segment-axe ?

L’élève sait que l’image d’une figure par la symétrie doit être une figure de même nature que celle de départ. Dans la construction du symétrique d’un segment, la conservation de la longueur du segment initial peut être suffisante pour aboutir à la construction d’une figure semblable. Cependant, si la figure est complexe, elle comprend des segments, tracés ou non (un côté d’un polygone, un axe de symétrie, une diagonale, etc.) en positions variées, et encore d’autres éléments comme la mesure et l’orientation des angles qui n’apparaissent pas dans la configuration de la figure segment. Ainsi, nous faisons l’hypothèse que, dans le cas d’une figure complexe, les propriétés de la symétrie autres que la conservation des longueurs des segments – comme la conservation des mesures des angles ou bien de leur orientation – doivent être observées par l’élève pour qu’il puisse mener à bien sa construction.

Par ailleurs, en ce qui concerne le choix de la nature de la figure, nous reprenons ici la question posée par Grenier (1998, p. 22) à propos du réinvestissement par les élèves de leurs connaissances sur la construction du symétrique d’un point, pour construire le symétrique d’une figure quelconque. Les résultats de sa recherche ont permis de répondre en partie à cette question. En effet, elle a montré que les élèves, qui savaient très bien construire le symétrique d’un point, ne réinvestissaient pas leurs procédures pour construire le symétrique d’un segment. Dans notre recherche, nous choisissons d’élargir cette problématique, en proposant

aux élèves des problèmes de construction du symétrique d’un segment, mais également d’une figure complexe (dans le sens précisé plus haut), en ayant pour objectif d’étudier si la conception mobilisée par l’élève pour construire l’image d’une figure complexe par une symétrie orthogonale, est la même que celle mobilisée pour construire l’image d’un segment.