Décisions didactiques dans le cadre du projet BAP : étude d’un exemple concernant

Dans le cadre du projet européen BAP – Baghera Assessment Project (Soury-Lavergne 2003, Webber 2003), nous avons étudié des décisions didactiques qui pourraient être prises par des professeurs. Ce projet se place dans la problématique des EIAH. Une plate-forme informatique d'enseignement à distance Baghera a été développée qui était destinée, dans sa première version, à la résolution de problèmes de preuve en géométrie. Elle est conçue sur une architecture multi-agents pour former une société d'agents humains et artificiels en interaction. C'est à partir de ces interactions que se développent des activités comme la création et la sélection de problèmes, la vérification d'une preuve et le diagnostic des conceptions de l'élève. De cette interaction peut également émerger un processus d’apprentissage⁴⁰.

Le travail développé au sein du projet BAP porte sur les conceptions des élèves relatives à la notion de symétrie orthogonale.

Les idées principales sur lesquelles s’appuie la recherche sont les suivants :

 La connaissance humaine est constituée d’une multiplicité de conceptions localement valides qui ont comme critère de pertinence leur efficacité dans des sphères de pratique spécifiques, et non leur conformité à un savoir de référence (Balacheff 2001) ;

 Il n’existe pas une unique stratégie didactique efficace pour faire évoluer les connaissances de l’élève, mais un ensemble de stratégies localement utilisables en fonction des connaissances dont l’apprentissage est visé et des conceptions disponibles chez l'apprenant ;

 L’apprentissage est un processus qui résulte d’une interaction entre des agents connaissants (Balacheff 2000). Ces agents peuvent être humains (élève, professeur) ou artificiels (entités informatiques spécialisées).

Nous présentons dans ce qui suit l’étude de décisions didactiques à partir d'un exemple traité dans le contexte de ce projet⁴¹.

Le problème de preuve ci-dessous a été proposé à des élèves de plusieurs classes de quatrième.

40 Pour en savoir plus, on se reportera à Webber (2003).

41 Pour plus de détails sur cette étude, voir Chaachoua & Lima (2003) et Lima & Trgalová (2003).

Problème P1

Soit le segment [AB] parallèle à la droite d. Soit [A’B’] le symétrique de [AB] par rapport à d. Ni A, ni B ne sont sur d. Quelle est la nature du quadrilatère ABB’A’ ? Démontrez-le.

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Figure 19. Problème Pb1 (cf. Projet BAP)

A ce problème, un élève a fourni la démonstration suivante :

Le segment [A’B’] est symétrique de [AB] par rapport à d, alors les 2 segments sont parallèles. Par définition [AA’] est perpendiculaire à (d) et [BB’] est aussi perpendiculaire à cette même droite, donc ils sont tout les 2 parallèles. Donc dans le quadrilatère AA'B'B : [AB]//[A'B'] et [BB’] [AB]. Alors le quadrilatère AA'B'B est rectangle.

Le diagnostic des conceptions de l’élève a été réalisé de façon automatique par Baghera, qui avait dans sa base de données les quatre conceptions de la symétrie orthogonale identifiées par Tahri (cf. p. 50). Le résultat du diagnostic de Baghera est le suivant : conception

« symétrie orthogonale » ou conception « parallélisme ».

A partir de ces données, nous avons procédé à une analyse a priori des décisions didactiques possibles.

Analyse a priori des décisions didactiques

En considérant le diagnostic de Baghera, deux cas ont été envisagés :

1. Soit l'élève a utilisé l'opérateur « si [A’B’] = Sym ([AB], d) et (AB) // d, alors [A’B’] //

[AB] », c'est à dire qu’il a utilisé l'hypothèse (AB) // d de manière implicite. Dans ce cas, la preuve est correcte (conception « symétrie orthogonale »).

2. Soit l'élève a utilisé l'opérateur « si [A’B’] = Sym ([AB], d), alors [A’B’] // [AB] ». Dans ce cas, l’élève considère qu’un segment et son symétrique sont parallèles, ce qui indique la conception « parallélisme ».

Afin de pouvoir déterminer lequel des deux opérateurs a été utilisé, il faudra proposer des problèmes en dehors du domaine de validité de la conception « parallélisme », c'est-à-dire des problèmes où le segment n'est pas parallèle à l'axe, auquel cas la conception « parallélisme » ne permet pas de donner la réponse correcte.

Ainsi, une première décision à prendre serait celle d'affiner ce diagnostic (décision 1) en proposant un « bon » problème, qui à l'issue de ce nouveau diagnostic permettrait la confirmation de la conception « symétrie orthogonale » ou de la conception « parallélisme ».

Une fois que le diagnostic donne la nature de la conception mobilisée dans la résolution du problème proposé, deux cas de figure se présentent. Si le nouveau diagnostic confirme la conception correcte (conception symétrie orthogonale), on pourra supposer que l'élève a effectivement considéré le parallélisme du segment [AB] avec l'axe d, mais cette hypothèse est restée implicite dans la preuve produite. Deux décisions sont alors possibles : ne rien proposer à l'élève (décision 0), ou bien lui proposer des situations pour renforcer cette conception (décision 2). En revanche, si la conception confirmée est celle du parallélisme, il faudra proposer une séquence de problèmes pour faire évoluer cette conception vers une conception cible (décision 3). Dans le cadre de ce projet, nous avons réalisé une étude a priori de la décision 1 (affiner le diagnostic) que nous présentons ci-dessous :

Pour affiner le diagnostic nous avons envisagé plusieurs possibilités. Une de ces possibilités consistait à proposer à l’élève un problème présentant une certaine proximité avec le problème précédent. Cette proximité serait caractérisée par au moins trois aspects : la nature de l'objet de savoir en jeu (dans notre cas, la symétrie orthogonale), les éléments de cet objet (segment, axe de symétrie, etc.), et les relations entre ces éléments (intersection de l’axe et du segment, angle formé par l’axe et le segment, etc.). Ainsi, le choix d’un nouveau problème devrait prendre en compte d’une part, l'analyse du diagnostic précédent et d’autre part, les caractéristiques du problème résolu par l’élève (problème P1). Dans notre exemple, ce qui va être déterminant dans ce choix est alors la position du segment [AB] par rapport à l'axe d.

Autrement dit, il faudra proposer à l’élève des problèmes où le segment n'est pas parallèle à l'axe, auquel cas la conception « parallélisme » ne permet pas de donner la réponse correcte.

C'est l'exemple du problème P2, qui est une adaptation du problème P1 : Problème P2

Soit le segment [AB] non parallèle et non sécant avec la droite d. Soit [A’B’] le symétrique de [AB] par rapport à d. Quelle est la nature du quadrilatère ABB’A’ ? Démontrez-le.

Figure 20. Problème Pb2 (cf. Projet BAP)

Analyse a priori du problème P2

On peut s'attendre à deux types de réponses :

 R1 : C'est un parallélogramme ;

 R2 : C'est un trapèze isocèle.

La réponse R1 peut être la manifestation de deux conceptions : symétrie centrale (cf. Figure 21) et parallélisme (cf. Figure 22). Dans les deux cas, l'argumentation peut faire appel au même opérateur « si [A’B’] = Sym ([AB], d) alors [A’B’] // [AB] », ce qui ne permet pas de disqualifier l'une ou l'autre de ces deux conceptions. En revanche, l'ordre des sommets permettra de trancher entre ces deux conceptions.

Figure 21. R1 : « symétrie centrale » par rapport au point d’intersection des diagonales du

parallélogramme Figure 22. R1 : « parallélisme »

La réponse R2 (cf. Figure 23) peut être la manifestation de deux conceptions : symétrie orthogonale et symétrie oblique. Les opérateurs possibles dans la preuve ne permettent pas de trancher entre les deux conceptions.

Figure 23. R2 : symétrie orthogonale ou symétrie oblique

Cette brève analyse a priori montre la complexité du diagnostic. Elle met en évidence que dans ce cas particulier, il ne suffit pas de choisir un problème en dehors du domaine de validité de la conception « parallélisme » pour affiner le diagnostic.

Réponse au problème P2 Diagnostic Nouveau diagnostic

R1 : C'est un

R2 : C'est un trapèze isocèle Symétrie Orthogonale Symétrie Oblique

Symétrie Orthogonale On ne peut pas conclure Dans ce cas, un nouveau diagnostic est envisageable. Pour le faire, nous pouvons proposer un problème P3, ayant le même énoncé que P2, mais où l'axe d n'est pas vertical.

Problème P3

Soit le segment [AB] non parallèle et non sécant avec la droite d. Soit [A’B’] le symétrique de [AB] par rapport à d. Quelle est la nature du quadrilatère ABB’A’ ? Démontrez-le.

A

B

Figure 24. Problème Pb3 (cf. Projet BAP)

Analyse a priori du problème P3

Nous avons envisagé trois réponses à ce problème qui peuvent conduire aux diagnostics suivants :

Réponse au problème P3 Diagnostic Nouveau diagnostic

R1 : C'est un trapèze Symétrie Oblique On ne peut pas conclure R2 : C'est un

parallélogramme

Symétrie Centrale Parallélisme

On ne peut pas conclure Parallélisme

R3 : C'est un trapèze isocèle Symétrie Orthogonale Symétrie Orthogonale

Nous pouvons résumer ce processus de caractérisation de la conception de cet élève de la manière suivante : pour affiner le diagnostic, nous avons construit les problèmes (P2 et P3) qui, pour l'élève, sont proches du problème P1. Mais certaines réponses à ces problèmes nécessitent de nouveaux diagnostics. Une fois que le diagnostic est affiné, c'est-à-dire qu'il donne une seule conception, trois décisions peuvent être prises : ne rien faire (décision 0), renforcer la conception (décision 1) ou déstabiliser la conception (décision 3). Chacune des deux décisions (1 et 3) mobilisera un ou plusieurs problèmes.

Signalons que ce modèle de décisions didactiques n'a pas été implémenté dans la plate-forme Baghera, restant ainsi au niveau du projet.