3.2.1 Adimensionnement du problème
Dans le but de simplifier les équations et faire émerger les paramètres pertinents du problème, mettons les équations sous forme adimensionnée. De façon naturelle, définissons tout d’abord l’échelle de temps adimensionnée T=t/tf, où l’intervalle temporel de résolution s’écrit donc T=0−1. Adimensionnons les avancées des inter-faces �i par la longueur de l’obstacle, soit Xi = li/L. À partir des dix paramètres dénombrés plus haut (en ayant comme convenu laissé le paramètre λ de côté pour cette étude de fragmentation isolée), il est possible, d’après le théorème de
Vaschy-CHAPITRE 3. FRAGMENTATION D’OBJETS DÉFORMABLES ET ISOLÉS SUR UN MICRO-OBSTACLE LINÉAIRE
Buckingham, de construire sept groupements adimensionnels : W = w2
Les quatre groupements supérieurs ne dépendent que des paramètres géométriques.
Remarquons, parmi les trois groupements inférieurs, l’intervention du contraste de viscosité adimensionné Δη entre les deux phases. Ce nombre adimensionné est al-gébrique, nous montrons plus loin son rôle crucial dans la résolution du système d’équations différentielles, comme le laissent présager les résultats expérimentaux de la figure 3.5. Par ailleurs, le nombre capillaire C est au cœur de ce problème, puisqu’il compare de façon inhérente les deux effets antagonistes impliqués : au nu-mérateur, les effets visqueux tendent à déformer la goutte, jusqu’à la fragmenter. Au dénominateur, les effets de tension de surface ont au contraire tendance à s’opposer à cette déformation. De fait, ce nombre adimensionné intervient très souvent dans des problèmes de fragmentation en milieu confiné [18, 19, 20, 21]. Moyennant ce passage aux grandeurs adimensionnées, le système d’équations (Éq. 3.21, Éq. 3.23) peut se réécrire :
d’autres variables sans dimension introduites pour simplifier l’écriture. Ce système d’équations est valable en présence d’une interface dans chaque bras de l’obstacle, c’est-à-dire lorsqueX1 ≤1 etX2 ≤1.
3.2.2 Conditions d’invasion du bras fin de l’obstacle
À l’instant initialT=0, le débit imposé en amont de l’obstacle force l’introduction d’une interface dans le bras large de façon préférentielle, puisque la pression de Laplace et la résistance hydrodynamique y sont moindres que dans le brasfin. Tant qu’aucune interface ne pénètre dans le bras fin, l’équation 3.29 ne peut s’appliquer, et nous avonsX2=0et dX2/dt = 0. Cherchons le temps d’invasionTpau bout duquel un ménisque envahit ce bras fin. L’équation 3.28 s’intègre directement :
X1 =αT. (3.31)
Le saut de pression dans le bras 1 s’écrit donc : Δp1 = ηcLf1q
T 1
T 1
Tp
(c) (d)
0=Tp 0
1+Δ´X1 1+Δ´X1
Δ´>0
C
?/ C
C
?/ C
Figure 3.7: Résolution schématique de l’inéquation 3.34 dans quatre cas distincts : (a) Δη < 0 et C >C�, (b) Δη <0 et C <C�, (c) Δη > 0 et C >C�, (d) Δη >0 et C <C�.
Remarquons queΔp1 est une fonction affine du temps adimensionnéT, dont le signe de la pente est donné par le signe de Δη. L’invasion du bras fin de l’obstacle pourra finalement se réaliser si ce saut de pression Δp1 parvient à surpasser le saut de pression capillaire correspondant, soit :
Δp1 > 2γ w2
�1 + w2
h
�, (3.33)
cette condition pouvant se réexprimer à l’aide de l’équation 3.32 comme : 1 +Δη αT > C�
C . (3.34)
Résolvons cette condition en distinguant les cas defigureΔη <0etΔη>0, à l’aide de la figure 3.7.
Cas Δη < 0 Dans ce cas, le terme à gauche de l’inéquation 3.34 décroît dans le temps. Ainsi, si ce terme est supérieur au membre de droite à l’instant initial (soit si C > C�), alors une interface se développe dans le bras fin à l’instant T=0, soit finalement Tp = 0. Si en revanche, ce terme est inférieur au membre de droite dès l’instant initial (soit si C <C�), il ne pourra jamais le surpasser, et aucune interface ne peut se développer dans le bras fin, Tp n’admet aucune solution dans ce cas. La condition d’invasion du bras fin s’écritfinalement :
C >C�. (3.35)
Ce critère sur le nombre capillaire marque une limite supérieure d’existence pour le régime 1 (non fragmentation sans rétraction), cette limite étant en particulier indépendante de Lef fd /L.
CHAPITRE 3. FRAGMENTATION D’OBJETS DÉFORMABLES ET ISOLÉS SUR UN MICRO-OBSTACLE LINÉAIRE Cas Δη>0 Dans ce second cas, le terme à gauche de l’inéquation 3.34 croît avec le temps. De nouveau, si ce terme est supérieur au membre de droite à l’instant initial (soit si C > C�), il le reste, et une interface se développe dans le bras fin dès l’instant initial, soit Tp = 0. Si en revanche, ce terme est inférieur au membre de droite à T=0 (soit si C < C�), il peut être amené à le surpasser pour un temps adimensionné Tp donné par :
Tp = 1
Ce temps est positif selon l’hypothèse C < C�. Afin que l’invasion du bras fin se produise, il faut encore vérifier deux conditions simultanées. D’une part, il faut que cet instant Tp soit antérieur à l’instant final, soit Tp <1. D’autre part, il faut que X1(Tp) =αTp <1, puisque le saut de pression Δp1 reste constant dans le temps dès lors que l’interface présente dans le bras large en est sortie, et de fait ne peut plus atteindre la pression de Laplace nécessaire pour l’introduction d’un ménisque dans le brasfin. Ces deux conditions se réécrivent donc :
C > C�
1 +αΔη, (3.37)
C > C�
1 +Δη. (3.38)
Pour α≤1, la condition la plus stricte est donnée par l’équation 3.37, alors que pourα≥1, la condition la plus stricte est fournie par l’équation 3.38. La résolution combinée de ces équations fournitfinalement le résultat suivant :
C > C�
1 +αΔη siα ≤1, (3.39)
C > C�
1 +Δη si α≥1. (3.40)
Ainsi, lorsque Δη>0, le nombre capillaire marquant la limite supérieure de la zone d’existence du régime 1 est une fonction décroissante enαpourα≤1, puis constante pourα≥1, ces résultats se démarquent nettement du cas Δη<0.
En représentant les résultats de la figure 3.1 dans un diagramme adimensionné (Ld/L,C), nous remarquons que les critères d’invasion développés par cette ana-lyse sont en bon accord avec les expériences (Fig. 3.8). En particulier dans le cas Δη < 0, le seuil d’invasion C = C�, uniquement fixé par la géométrie de la puce, ajuste bien les résultats expérimentaux. Il est également intéressant de remarquer que dans le cas d’un obstacle centré, la conditionW=1(Éq. 3.27) aboutit au résultat C� = 0 (Éq. 3.30). Ainsi, tous les nombres capillaires de transition déterminés ici s’annulent. Physiquement parlant, cela signifie que sans aucune brisure de symétrie sur l’obstacle, leslug envahit automatiquement les deux bras de manière identique, et le régime 1 voit sa zone d’existence réduite à néant.
3. INTERPRÉTATION 65
eff
Figure 3.8: Conditions d’invasion du brasfin de l’obstacle : comparaison des résul-tats expérimentaux et issus du modèle, dans les cas Δη>0 (a) et Δη <0(b). Les paramètres libres valent : c = 0.9 et Δη = 8 dans le cas (a). Les lignes continues correspondent aux prédictions théoriques.
3.2.3 Dynamiques des deux interfaces
Si un ménisque a réussi à envahir le brasfin de l’obstacle, la dynamique des deux interfaces, pour T ≥ Tp, est régie par le système d’équations (Éq. 3.28, Éq. 3.29).
Notons ici un point intéressant : les expériences montrent parfois que l’interface située dans le bras large en sort avant l’instant final T=1, pour lequel l’arrière du slug vient heurter l’obstacle. Dans ce cas, l’expression du saut de pression Δp1 ne comporte plus de contribution capillaire. Il convient alors de réécrire l’égalité des sauts de pression, décrite par l’équation 3.23, comme ci-après7 :
ηdef fLf1
Bien que cette situation ne soit pas observable expérimentalement, si le slug était assez grand, nous pourrions imaginer que l’interface située dans le bras fin puisse également en sortir avant l’instant final. Cette situation correspond à une forme particulièrement simple pour l’égalité des sauts de pression :
f1
7. Même si la quantité�1n’a plus vraiment de sens dans ce cas, nous gardons la notation d�1/dt, définie par abus de langage commeq1/hw1.
CHAPITRE 3. FRAGMENTATION D’OBJETS DÉFORMABLES ET ISOLÉS SUR UN MICRO-OBSTACLE LINÉAIRE
À l’aide de la conservation du débit (Éq. 3.28), il vient immédiatement : dX1
dT = αF
1 +F et dX2
dT = α
W(1 +F), (3.45)
relations analogues à un diviseur de courant classique en électricité.
3.2.4 Conditions de rétraction dans le bras fin de l’obstacle
Analysons maintenant sous quelles conditions l’interface située dans le brasfin de l’obstacle peut subir une rétraction, caractéristique des régimes 2 (non fragmentation avec rétraction) et 3 (fragmentation avec rétraction). Cette rétraction s’opère lorsque cette interface, après avoir envahi le bras fin, vérifie dX2/dT < 0 à un instant T donné, intervenant avant l’instantfinalT = 1. Si une interface est encore dans le bras large de l’obstacle, cette dérivée première peut se réécrire, à l’aide des équations 3.28 et 3.29 comme :
dX2
dT = α(1 +ΔηX1−C�/C)
F W(1 +ΔηX2) +W(1 +ΔηX1). (3.46) Si l’interface présente initialement dans le bras large en est sortie, dX2/dT peut s’écrire, à l’aide des équations 3.28 et 3.42 comme :
dX2 Dans les deux cas traités, le dénominateur de la fraction est positif, le signe de dX2/dT est donc donné par le signe des quantités 1 +ΔηX1 −C�/C d’une part, 1 +Δη−[C�(1 +w2/h)]/[C(1−W)]d’autre part. Ainsi, dans le cas d’une interface encore présente dans le bras large, la condition dX2/dT <0 se réécrit :
C < C�
1 +ΔηX1
. (3.48)
Dans le cas où cette interface est sortie du bras large, la condition dX2/dT <0 se réécrit :
C < C�(1 +w2/h)
(1 +Δη)(1−W) =C��. (3.49) Procédons à nouveau par disjonction des cas, selon le signe de Δη.
Cas Δη > 0 Dans le cas d’une interface encore présente dans le bras large, la condition 3.48 ne peut être satisfaite pourC >C�. LorsqueC <C�, pour pouvoir ob-server une rétraction de l’interface dans le brasfin de l’obstacle, il faut tout d’abord qu’elle y soit rentrée. En T=Tp, cette condition s’écrit, d’après les équations 3.31 et 3.34 :
C > C�
1 +ΔηX1
. (3.50)
Ce critère est ostensiblement incompatible avec la condition de rétraction donnée par l’équation 3.48, prise également en T=Tp. Aux instants ultérieurs, Comme X1 croît avec le temps (par simple combinaison des équations 3.28 et 3.29, nous obtenons dX1/dT >0), la condition 3.48 ne peut être satisfaite ultérieurement. Ainsi, dans le
3. INTERPRÉTATION 67
heurter l’obstacle. En effet, en supposant que tout le slug, de volumeLd wh, aille dans le bras large, la conservation du volume implique donc que son interface dans le bras large atteigne une position maximale, X1,max, vérifiant :
hw1LX1,max =hwLef fd , (3.51)
X1,max= Lef fd w
Lw1 =α≤1. (3.52)
Comme X1≤X1,max≤1, les interfaces dans les bras large et fin n’ont respectivement pas le temps de sortir et de se rétracter avant l’instantfinal. De fait, les régimes 2 et 3 ne présentent aucune zone d’existence dans le cas Δη >0, α ≤1. Par déduction, au-dessus de la limite supérieure d’existence du régime 1 (Éq. 3.39), nous retrouvons la zone d’existence du régime 4 (fragmentation sans rétraction). Ces prédictions sont en accord avec les expériences (voir Fig. 3.5 et Fig. 3.8).
Cas α ≥ 1 Afin de résoudre la condition T1 < 1, cherchons à déterminer l’instant T1 auquel l’interface située dans le bras large atteint la position X1 = 1.
Afin de concilier les cas C < C� et C > C�, généralisons l’expression de Tp comme
Intégrons de la même façon l’équation 3.29 entreTp etT1 en y injectant l’expression obtenue pour X2(T1). Nous obtenons alors une équation du second degré à laquelle T1 doit satisfaire : Après résolution de cette équation, imposer la condition T1 < 1 revient à imposer le critère C < C�/Ya, où la quantité Ya est solution de l’équation du second degré
CHAPITRE 3. FRAGMENTATION D’OBJETS DÉFORMABLES ET ISOLÉS SUR UN MICRO-OBSTACLE LINÉAIRE Finalement, la combinaison des conditions nécessaires pour apercevoir une rétraction de l’interface dans le bras fin, dans le cas Δη > 0 et α ≥ 1, peut se résumer de la
Notons que pour des slugs assez grands, soit au-delà d’une certaine valeur de α, la condition T1 < 1 est facilement satisfaite. Ceci peut se deviner par la structure de l’équation 3.55, où il est aisé de montrer que la solution recherchée vérifie auto-matiquement T1 ∝ 1/α, cette solution décroît donc avec α. Dans ce cas, la limite d’existence supérieure des régimes avec rétraction prédite par l’équation 3.57 se réécrit doncC <C��, valeur indépendante de α.
Cas Δη < 0 La situation est légèrement plus complexe dans le cas Δη < 0. En effet, la rétraction peut dans ce cas se produire alors qu’une interface est encore présente dans le bras large. Notons Tr l’instant auquel se produit cette rétraction.
En annulant la dérivée première dX2/dT < 0dans l’équation 3.46, nous obtenons : X1(Tr) = 1
Cette quantité est positive dès lors que C >C�, correspondant au critère d’invasion du bras fin de l’obstacle. La rétraction ne peut s’effectuer que si X1(Tr)< 1, ainsi queTr <1. La première condition aboutit au critère suivant :
C < C�
1 +Δη. (3.59)
La deuxième impose à nouveau de déterminer Tr par l’intégration successive des équations 3.28 et 3.29 entre les instantsT = 0 et Tr :
X2(Tr) = αTr−X1(Tr)
W . (3.60)
Nous montrons alors queTr est solution de l’équation du second degré suivante : ΔηF
La condition Tr <1se traduit donc par un nouveau critère sur le nombre capillaire C <C�/Yb, où Yb est à présent solution de l’équation du second degré : Si ces conditions ne sont pas vérifiées, la rétraction peut également avoir lieu à l’instantT1 tel que X1(T1) = 1, si tant est que :
Ya 1 +Δη
De fait, la remarque concernant les grands slugs peut être généralisée, quel que soit le signe de Δη.
3.2.5 Conditions de fragmentation
Enfin, les conditions de fragmentation s’obtiennnent en imposant qu’une inter-face a envahi le bras fin de l’obstacle, ce qui nous renvoie aux critères d’invasion précédemment calculés, avec en plus la condition X2(T = 1) >0, la transition étant obtenue au seuil : X2(1) = 0. La résolution analytique de cette condition étant la-borieuse, nous ne la détaillons pas ici, les simulations numériques nous permettant toutefois d’avoir accès à cette transition, exprimée, comme d’habitude, à l’aide du nombre capillaire C. Discutons tout de même le cas α≤1particulièrement simple à résoudre, en distinguant une fois encore le raisonnement selon le signe du contraste de viscosité.
Cas α≤1 et Δη>0 Dans ce cas, la transition de fragmentation est directement donnée par le critère d’invasion de l’équation 3.39. En effet, les régimes 2 et 3 ne comportent pas de zone d’existence dans ce cas de figure.
Cas α ≤ 1 et Δη < 0 Dans ce cas, la fragmentation se produit alors qu’il reste encore une interface dans le bras large. En effet, l’intégration de l’équation 3.28 entre les instantsT = 0etT = 1fournit, en utilisant au seuil de fragmentationX2(1) = 0, la condition X1(1) =α ≤1; autrement dit, nous retrouvons tout le volume du slug dans le bras large de l’obstacle. L’intégration de l’équation 3.29 entre les mêmes instants donne alors, au seuil :
α+Δηα2
2 =αC�
C , (3.66)
C = C�
1 +αΔη/2. (3.67)