3.1.1 Contribution visqueuse : loi de Hagen-Poiseuille
Dans le chapitre introductif de ce manuscrit, nous avons présenté l’analogie exis-tant entre un écoulement laminaire, monophasique, permanent et newtonien dans un
CHAPITRE 3. FRAGMENTATION D’OBJETS DÉFORMABLES ET ISOLÉS SUR UN MICRO-OBSTACLE LINÉAIRE canal rigide4 et le déplacement des charges libres dans un circuit électrique. Dans le cadre d’un écoulement confiné entre deux plaques parallèles, nous avons montré que le saut de pressionΔpet le débit volumique q sont reliés par la formule suivante :
Δp=Rhq avec Rh = 12ηL
wh3 , (3.8)
où η, L, w et h désignent respectivement la viscosité dynamique du fluide, la lon-gueur, la largeur et l’interstice entre les deux plaques. En dépit de la simplicité de la géométrie considérée, remarquons que ce résultat est généralisable à un canal de géométrie quelconque, la seule différence provenant d’une expression un peu dif-férente, et en général plus complexe, pour la résistance hydrodynamique. Dans la géométrie d’intérêt de ce chapitre, constituée d’un canal rectangulaire de hauteur h et de largeurw a priori comparables, la résistance hydrodynamique prend la forme exacte suivante [26] :
Dans le cas limiteh�w, nous retrouvons comme attendu le résultat issu de la géo-métrie constituée des deux plaques parallèles infinies. Les termes de la série de Fou-rier décroissent extrêmement rapidement, du fait du terme en n5 au dénominateur.
De fait, nous pouvons facilement nous contenter d’un développement asymptotique de cette expression, conduisant aux expressions :
Rh � 12ηL
L’erreur induite par l’approximation faite est maximale lorsque h=w, et n’atteint pas 15% ; cette erreur chute rapidement sous les 0.2% lorsque h = w/2. Dans la suite, nous synthétisons ce résultat sous la forme :
Rh = ηL wh3f�w
h
�
. (3.12)
3.1.2 Contribution capillaire : loi de Young-Laplace
Dans le cas d’un écoulement diphasique, la présence d’une interface courbée entre deux phases immiscibles induit une contribution capillaire supplémentaire au saut
4. Par souci de simplicité, nous supposons ici la parfaite rigidité du canal, malgré l’élasticité du PDMS. Pour aller plus loin et prolonger l’analogie avec l’électricité, il est possible de démontrer que laflexibilité du PDMS peut s’interpréter par le rajout d’un condensateur, de capacité hydro-dynamique Ch, dans le circuit électrique équivalent. Comme pour la charge d’un condensateur, cela implique en particulier l’existence d’un temps caractéristiqueRhCh donnant la durée typique du régime transitoire pendant lequel l’élasticité du PDMS rentre en jeu. Cette échelle de temps, typiquement de l’ordre de 15minutes, est toujours très grande devant le temps de passage d’un slug dans le module de fragmentation. De fait, ces effets d’élasticité ne viennent pas interférer dans le processus de fragmentation. En pratique, nous nous affranchissons du régime transitoire en prenant soin de mesurer les paramètres hydrodynamiquesLd et v de manière instantanée.
3. INTERPRÉTATION 59
2/h respectivement (approximation sphérique). De fait, nous réécrivons le saut de pression capillaire comme :
Δp= 2γ
�1 w + 1
h
�
. (3.14)
Dans le cadre de l’analogie électro-hydraulique, ce saut de pression supplémen-taire, indépendant du débit, peut se percevoir comme une batterie idéale de tension constante dans le circuit électrique équivalent.
Dans un souci de simplicité, nous ne prenons pas en compte dans l’expression du saut de pression total d’éventuels effets de type Bretherton modélisant la friction dans les films de phase continue mouillant les parois du canal [100, 101].
3.1.3 Expression générale du saut de pression
i
Figure 3.6: Décomposition du calcul du saut de pression dans le bras i.
La figure 3.6 illustre, dans le cas le plus général, la décomposition du calcul du saut de pression Δpi dans le bras i, avec i = 1,2, en présence d’une interface. en trois termes distincts.
– Une contribution visqueuse pour l’écoulement de la phase continue sur une longueur L−�i :
Δpi,1 = ηc(L−�i)fiqi
wih3 , (3.15)
avecfi =f(wi/h), fonction adimensionnée précédemment introduite.
5. Cette loi est à mettre au crédit de Thomas Young (1773-1829) et Pierre-Simon de Laplace (1749-1827), physiciens (entre autres) respectivement britannique et français.
CHAPITRE 3. FRAGMENTATION D’OBJETS DÉFORMABLES ET ISOLÉS SUR UN MICRO-OBSTACLE LINÉAIRE – Une contribution visqueuse pour l’écoulement de la phase dispersée sur une
longueur �i :
Δpi,2 = ηef fd �ifiqi
wih3 , (3.16)
où nous avons introduit pour le slug une viscosité effective ηef fd afin de tenir compte de la dissipation visqueuse supplémentaire dans le film fin de phase continue situé entre le slug et les murs du canal, ainsi que dans les coins de la géométrie rectangulaire. Rappelons en effet les conditions de mouillage hydrophobes du micro-canal, couplées au fait que la forme du slug n’épouse pas la forme du canal. La viscosité effective ηdef f dépend a priori de ηd, ηc, h et wi. Comme le fait de considérer deux viscosités effectives différentes dans les bras 1 et 2 ne modifie pas drastiquement les résultats obtenus dans le cadre de ce modèle, nous considérons dans la suite que ηdef f est identique dans les deux bras, et fait office de paramètre ajustable dans notre étude.
– Une contribution capillaire au niveau de l’interface entre les deux fluides : Δpi,3 = 2γ
Analogiquement à la loi d’additivité des tensions en électricité, nous obtenons fi na-lement, par somme des termes d’amont en aval de l’écoulement :
Δpi = ηdef f�ifiqi
Du fait que les interfaces touchent les bords du canal dans chacun des bras de l’obs-tacle, le coefficient de mobilité est pris égal à 1, et le débitqi peut avantageusement être remplacé par :
qi =hwi
d�i
dt, (3.19)
faisant ainsi directement intervenir la vitesse de l’interface dans le bras i.
3.1.4 Équations gouvernant le mouvement des interfaces
La dynamique du processus de fragmentation est entièrement contenue dans l’évolution temporelle des avancées des ménisques dans les bras 1 et 2, valant res-pectivement �1(t) et �2(t). La détermination de ces deux fonctions inconnues passe donc par l’écriture d’un système de deux équations régissant leur évolution. Celui-ci est à nouveau dicté par l’analogie électro-hydraulique, imposant dans un premier temps un débit conservatif par la loi des nœuds6 :
q =q1+q2, (3.20)
6. Cette équation correspond physiquement à la conservation de la masse duslug, tout comme la loi des nœuds en électricité correspond à la conservation de la charge.
3. INTERPRÉTATION 61
ηcLf1 Les conditions initiales à respecter s’écrivent simplement : �1(0)=0, �2(0)=0. Les expériences montrent qu’à tout instant, l’arrière du slug se déplace à la vitesse constante v. Nous définissons l’instant final tf au moment où l’arrière vient heurter l’obstacle ; nous écrivons donc tf sous la forme :
tf = Lef fd
v , (3.24)
en tenant compte d’une longueur effective Lef fd pour le slug, afin de prendre en considération la courbure de ses interfaces. Pour fixer les idées, nous pouvons par exemple apparenter le slug réel, de volume approximatif h[(Ld − w)w + πw2/4]
(Fig. 3.1), à un slug effectif de volume parallélépipédique Lef fd wh. Ce raisonnement conduit à la relation :
Lef fd =Ld−w� 1−π
4
�< Ld, (3.25) nous retiendrons donc l’expression finale detf suivante :
tf = Ld−cw
v , (3.26)
avec un paramètre csans dimension, de l’ordre de l’unité. La variation de ce para-mètre est sans doute beaucoup plus complexe, notamment en fonction de la géomé-trie du canal (w/h,w2/h,w1/h) ;cfait office de paramètre ajustable dans la suite de ce chapitre. À présent, nous nous attachons donc à résoudre le système d’équations différentielles couplées (Éq. 3.21, Éq. 3.23).