2.1.1 Résultats expérimentaux
Rc,i
¿p
Figure 7.4: Évolution de τp en fonction de R. Les symboles fermés correspondent à la solution savonneuse décrite précédemment. Les symboles ouverts correspondent à une solution de SDS, de concentration c= 15 g.L−1 et de viscositéηl= 10−3 Pa.s.
Les droites servent de guide pour les yeux afin de mieux distinguer les deux régimes identifiés expérimentalement.
Lafigure 7.4 représente l’évolution du temps caractéristique de pincementτp en fonction du rayonRdu cadre utilisé, ces mesures ayant été effectuées avec la solution d’eau savonneuse. Certaines expériences ont également été réalisées avec un mélange eau/SDS, celles-ci donnent des résultats équivalents à la solution savonneuse. Le graphe présenté fait apparaître deux comportements distincts en fonction de la taille du cadre :
– pourR ≤Rc,i �2 cm, τp ne dépend pas de R et vaut typiquement 30ms, – pour R ≥ Rc,i, τp croît rapidement avec R. La tendance en loi de puissance,
de pente 3/2, semble assez bien décrire cette croissance.
L’existence de deux régimes est la signature de deux mécanismes de pincement différents que nous essayons à présent d’interpréter.
2.1.2 Grands cadres : R≥Rc,i
Nous allons tenter de décrire les résultats expérimentaux (Fig. 7.4) par une ana-lyse dimensionnelle, en nous inspirant d’arguments utilisés par ailleurs dans le cas
CHAPITRE 7. ÉTUDE DYNAMIQUE D’UNE DEMI-CATÉNOÏDE SYMÉTRIQUE
Figure 7.5: Effondrement quasi-statique d’une demi-caténoïde symétrique invis-cide, pour un cadre de rayon R= 23 cm > Rc,i.
d’une caténoïde symétrique [139, 153, 154]. Comme évoqué dans le chapitre pré-cédent, le pincement de la demi-caténoïde symétrique, suivi de la formation d’un film plan, s’accompagne d’une diminution de surface, et donc d’énergie de surface.
Comme R est la taille fixant les seuils d’existence de la demi-caténoïde, ac ∼ R et hc ∼ R, la perte d’énergie élastique varie comme γR2. Cette énergie est convertie sous forme cinétique aufilm de savon, ainsi qu’au volume d’air borné par les parois du film, ceci contribuant à en chasser une partie vers le haut, du fait de la présence du bain liquide (Fig. 7.5). En invoquant la même raison que précédemment, et en notantel’épaisseur dufilm supposée homogène et constante2, les volumes de liquide et d’air varient respectivement comme eR2 et R3. La vitesse de ce processus peut dimensionnellement s’écrireR/τp. De fait, le bilan énergétique se met sous la forme :
γR2 ∼(ρleR2+ρaR3)
�R τp
�2
, (7.2)
avecγ la tension de surface liquide/air,ρl etρadésignant respectivement les masses volumiques du liquide et de l’air. Les inerties de l’air et du liquide sont comparables lorsque R∼eρl/ρa. Pour des films d’épaisseur typique3 e=1−10μm etR >2 cm, le terme inertiel de l’air l’emporte systématiquement sur celui du liquide. De fait, en négligeant l’inertie du liquide dans ce bilan,τp s’exprime finalement comme :
τp ∼
� ρaR3
γ . (7.3)
Ce temps inertio-capillaire est caractéristique des systèmes constitués de films de savon et correspond typiquement au temps de pincement d’une caténoïde [139, 153, 154]. Cette échelle de temps décrit également la période propre d’oscillation d’une bulle dans l’air, apparaissant comme l’analogue d’un oscillateur harmonique
2. En l’absence de drainage, notons que l’épaisseur varie probablement au cours du temps puisque la surface dufilm varie (voir Fig. 7.5).
3. Nous verrons plus loin que cet ordre de grandeur est cohérent avec les mesures d’épaisseur obtenues par interférométrie.
2. EFFONDREMENT QUASI-STATIQUE : TEMPS DE PINCEMENT 169
p fi particulière.
2.1.3 Petits cadres : R ≤Rc,i
…
…
t t=0
t=0.16s
Figure 7.6: Effondrement quasi-statique d’une demi-caténoïde symétrique invis-cide, pour un cadre de rayon R = 3.5 mm< Rc,i.
Le plateau observé pour les petits cadres sur la figure 7.4 s’explique par l’in-tervention d’une seconde taille caractéristique dans ce problème, à savoir celle du ménisque reliant lefilm de savon au bain liquide (Fig. 7.6). Cette échelle de longueur est typiquement donnée par la longueur capillaire κ−1 =�
γ/ρlg, d’ordre millimé-trique. À ce titre, la figure montre que lors du pincement, l’énergie cinétique est à présent convertie au liquide présent dans le ménisque, ceci est particulièrement net sur la 3ème image de la séquence. Son volume s’exprime donc commeκ−3, et le bilan énergétique peut se mettre sous la forme :
γR2 ∼ρlκ−3
�R τp
�2
, (7.4)
τp ∼
� ρlκ−3
γ ∼
� γ ρlg3
�14
. (7.5)
Conformément aux résultats expérimentaux, ce temps caractéristique ne dépend plus de R. Son ordre de grandeur, τp ∼ 13 ms, est également en assez bon accord avec l’expérience, compte tenu de la non prise en compte de facteurs numériques sans dimension dans l’approche développée. Ce second régime, inobservé dans le cas d’une caténoïde symétrique, est propre à la présence d’un réservoir liquide dans notre système.
CHAPITRE 7. ÉTUDE DYNAMIQUE D’UNE DEMI-CATÉNOÏDE SYMÉTRIQUE EN MONTÉE
2.1.4 Transition entre les deux régimes
Selon ce qui précède, ces deux régimes se croisent lorsque ρaRc,i3
∼ ρlκ−3. La transition se produit donc pour une taille critique Rc,i définie par :
Rc,i ∼
�ρl ρa
�13
κ−1. (7.6)
Cettte taille de coupure est de l’ordre de 10κ−1 ∼ 1.6 cm. De nouveau, l’ordre de grandeur calculé corrobore la transition observée expérimentalement (Fig. 7.4). Il est intéressant de remarquer la présence inhabituelle du terme ρl/ρa dans cette lon-gueur caractéristique. Le premier raisonnement auquel on pourrait penser consiste à supposer queRc,i ∼κ−1, puisque c’est la longueur naturelle en-dessous de laquelle les ménisques seraient susceptibles de jouer un rôle non négligeable. Au vu des ex-périences, il n’en est finalement rien, l’analyse énergétique confirmant le fait qu’il faille considérer, selon les cas, l’inertie de l’air ou du liquide, d’où l’intervention des deux masses volumiques dans cette taille de coupure.