t z
T
(a) (b)
z
Figure 7.23: (a) Illustration du mode d’oscillation subi par le film au suivi du processus de pincement. (b) Diagramme spatio-temporel tracé selon la direction verticale passant par le centre du cadre. L’expérience a été réalisée avec la solution d’eau savonneuse et les paramètres suivants :R = 2 cm, v = 5 mm.s−1.
Nous pouvons observer sur lafigure 7.23 un diagramme spatio-temporel illustrant les oscillations amorties subies par le film de savon immédiatement après le pince-ment de la demi-caténoïde. Les conditions aux limites imposent ici une structure d’onde stationnaire. En faisant abstraction d’une résolution exhaustive, mention-nons juste que l’axisymétrie du problème permet de chercher des solutions du profil du film sous la forme de fonctions de Bessel de première espèce Jn, tout comme pour la membrane vibrante d’un instrument à percussions. L’expérience montre que le mode prédominant correspond à un unique ventre de vibration dufilm au centre, et un unique nœud de vibration imposé sur le cadre. Ce mode, noté (0,1), correspond à la fonction de BesselJ0 à laquelle il convient d’imposer sa première annulation sur le pourtour du cadre, soitJ0(r=R) = 0. La fréquence propre f du mode correspon-dant s’écrit, en notantcla célérité des ondes dans le film :
f � 2.4c
2πR. (7.32)
La quantité observable expérimentalement étant la période temporelle d’oscillation T = 1/f,
T � 2.6R
c , (7.33)
il reste à connaître l’expression de la célérité cdes ondes dans un tel film. Comme il existe plusieurs types d’ondes pouvant se propager dans un film [162, 163], com-mençons par analyser les résultats expérimentaux obtenus.
4. FORMATION D’UN FILM PLAN SUR LE CADRE 185
Rc
Figure 7.24: Période d’oscillation en fonction de R pour différentes solutions, la vitesse de montée valant v = 5 mm.s−1. Les lignes servent de guide pour les yeux.
Nous avons mesuré l’évolution de la période d’oscillationT en fonction du rayon du cadre R, dans les cas inviscide et visqueux, en moyennant sa valeur sur une di-zaine de périodes pour une précision accrue (Fig. 7.24). Dans un premier temps, nous avons fixé la vitesse d’ascension à une valeur constantev = 5 mm.s−1, suffisamment faible devantvc,i afin de se placer dans une approximation quasi-statique. Le graphe fait apparaître une première caractéristique frappante : contrairement aux mesures de temps de pincement, tous les systèmes inviscides et visqueux semblent ici suivre des tendances communes, que nous décrivons ci-après.
Dans le cas inviscide :
– pourR ≤Rc �1 cm, T ne dépend pas de R, et vaut typiquement 20ms, – pourR ≥Rc, T croît rapidement avec R. La tendance en loi de puissance, de
pente 3/2, semble très bien décrire cette croissance.
Dans le cas visqueux :
– pourR ≤Rc, le film n’oscille pas,
– pourR≥Rc, lefilm oscille avec une période temporelle T identique à celle du cas inviscide.
Ces régimes ne sont pas sans rappeler ceux entrevus dans la mesure du temps de pincement d’une demi-caténoïde symétrique inviscide. Nous essayons dans la suite d’extraire les ingrédients physiques permettant de justifier l’apparition de tels com-portements.
4.1.2 Grands cadres : R≥Rc
En négligeant l’élasticité du film (c’est-à-dire l’influence de l’épaisseur e du film sur la tension de surface) et le mode d’oscillation dû à ces effets, il existe deux
CHAPITRE 7. ÉTUDE DYNAMIQUE D’UNE DEMI-CATÉNOÏDE SYMÉTRIQUE EN MONTÉE (b)
(a)
Figure7.25: Modes d’oscillation symétrique (a) et antisymétrique (b) dans unfilm de savon. Figure adaptée de [163].
modes d’oscillation distincts, de célérités différentes (Fig. 7.25). Le mode symétrique correspond à un mouvement des deux surfaces du film en opposition de phase, contrairement au mode antisymétrique pour lequel les deux surfaces dufilm vibrent en phase. Comme le mode symétrique engendre des mouvements visqueux, et donc de la dissipation dans le film liquide, celui-ci s’amortit bien plus vite que le mode antisymétrique. Ainsi, nous ne considérons a priori que ce dernier mode, dont la célérité s’exprime comme :
c=
�2γ
ρle. (7.34)
En injectant cette expression dans l’équation 7.33, la période d’oscillation est censée varier linéairement avec le rayonR, ce qui est en désaccord avec les résultats expéri-mentaux (Fig. 7.24). Par ailleurs, le fait que tous les jeux de données correspondant à diversfluides se superposent peut paraître suspect, puisque rien ne garantit que les épaisseurs d’unfilm inviscide et d’unfilm visqueux soient comparables. Cette appa-rente contradiction est levée en considérant, en plus de l’inertie du liquide, l’inertie de l’air mis en mouvement pendant les oscillations du film [164, 165]. De fait, nous apportons une correction dans ce sens en introduisant dans l’équation précédente une épaisseur effective e∗ telle que [164, 165] :
ρle∗ �ρle+ρaλ, (7.35)
avecλ la longueur d’onde, fixée par les conditions aux limites :
λ=cT = 2.6R, (7.36)
d’où, en reprenant l’expression de la période T : T �2.6R
�
ρle+ 2.6ρaR
2γ . (7.37)
Ce résultat fait alors apparaître, au numérateur de la racine carrée, la somme de deux termes. En prenant des cadres suffisamment grands, il apparaît que l’inertie de l’air prédomine devant celle du liquide, conduisant à une période temporelle variant comme :
T ∼
� ρaR3
γ . (7.38)
Nous retrouvons ainsi un temps d’origine inertio-capillaire, pour lequel les pentes et préfacteurs associés sur la figure 7.24 sont en bon accord avec les résultats expéri-mentaux : la tendance tracée a pour équation T � 1.5·10−2R32, alors que l’équa-tion 7.38 prédit respectivement pour la solul’équa-tion savonneuse, la solul’équa-tion de SDS et 4. FORMATION D’UN FILM PLAN SUR LE CADRE 187
¿
Figure 7.26: Influence du temps d’attente τ sur la période d’oscillationT, pour la solution savonneuse et R = 3 cm. La vitesse de montée du cadre est v = 5 mm.s−1. le PDMS, T ∼ 6.8·10−3R32, T ∼ 5.9·10−3R32 et T ∼ 7.7·10−3R32. Ce temps est par ailleurs indépendant de la viscosité, et donc de la solution utilisée. Pour montrer que l’épaisseur du film joue un rôle négligeable dans la période d’oscillation lorsque les cadres sont suffisamment grands, nous avons reproduit l’expérience avec la so-lution savonneuse et une vitesse d’ascension v identique (5 mm.s−1), en attendant un certain temps τ au seuil d’existence avant de provoquer le pincement de la demi-caténoïde (Fig. 7.26). L’amincissement du film pendant cette durée τ provoque une légère diminution de la périodeT, en lien avec l’équation 7.37, mais cette diminution relative6, de l’ordre de 2%, est effectivement « noyée » par le terme prépondérant d’inertie de l’air. Le rayon critique Rc au-dessus duquel cette limite est valable peut s’estimer en équilibrant les deux termes évoqués plus haut, ceci nous donnant :
Rc ∼ ρle ρa
. (7.39)
Pour un film dont l’épaisseur vaut quelques microns à quelques dizaines de microns, Rc est au plus de l’ordre du centimètre, cette estimation justifie donc la limite considérée dans ce paragraphe. Cela dit, la disparition des oscillations dans le cas visqueux, ou l’émergence d’un plateau dans le cas inviscide pour les petits cadres (Fig. 7.24) ne sont pas incluses dans ce modèle. Intéressons-nous donc à présent aux petits cadres.
4.1.3 Petits cadres : R ≤Rc
Cas inviscide Décrivons tout d’abord le cas inviscide, et remarquons dans un premier temps que Rc � Rc,i. Nous avons vu que lorsque R < Rc,i ∼ (ρl/ρa)13κ−1, le ménisque liquide était mis en mouvement au cours du pincement, celui-ci venant nourrir le film. Il est donc à attendre que l’épaisseur e de ce dernier devienne bien supérieure à celle obtenue avec des cadres de rayon R > Rc,i. Ce fait se devine d’ailleurs en observant attentivement les vidéos expérimentales. De fait, la célérité
6. Nous verrons plus loin que l’épaisseur varie effectivement assez vite sur les échelles de temps considérées sur lafigure 7.26.