¢
C!D¢
D!C¢
cFigure 6.44: Variation des quantités caractéristiques Δc (en rouge), ΔD→C (en vert), ΔC→D (en bleu) en fonction de l’asymétrie α = R2/R1 du système, pour des cadres épais en caoutchouc. La courbe bleue en pointillés représente le seuil d’existence de la caténoïde asymétrique associée au rapport d’aspect α.
comme précédemment l’évolution des valeurs caractéristiques Δ du cycle d’hysté-résis. Nos observations montrent que, bien que les seuils supérieurs d’existence de la diaboloïde, en rouge, demeurent en bon accord avec la théorie19, les mesures de ΔD→C et ΔC→D se décalent de façon nette, et surestiment à présent les ten-dances prédites. Cette déviation peut se concevoir de façon simple, en supposant tout d’abord le film dans la configuration C. En choisissant des cadres très épais, il est aisé de se convaincre expérimentalement que lefilm plan présent sur le petit an-neau ne « voit » pas la caténoïde asymétrique, etvice versa. De par cette observation, nous pouvons alors prédire que le film va quitter la configuration C lorsque la caté-noïde asymétrique atteint sa limite d’existence. Ainsi, ΔC→D correspond non plus à l’inversion de courbure de la caténoïde asymétrique, mais à une valeur supérieure correspondant à son seuil d’existence, discuté également précédemment (Fig. 6.14).
Ce nouveau critère phénoménologique est en très bon accord avec les mesures faites.
En ce qui concerneΔD→C, nous pouvons intuiter que ce décalage supérieur est une fois de plus dû à l’augmentation de l’épaisseur des anneaux : la hauteur h corres-pondante, mesurée entre les milieux des deux anneaux, surestime automatiquement ce seuil au rapprochement des anneaux. En effet, le film plan vient accrocher le petit cadre dès qu’il en touche l’extrémité, et non le milieu, comme convenu dans la mesure de h. Pour résumer, alors que la transition des films sur cadre fin est correctement modélisée par le mécanisme simplifié en deux étapes, la caténoïde et le film plan de la configuration C sont physiquement découplés dans la limite des grandes épaisseurs : le critère d’effondrement de cette configuration revient donc au seuil d’existence de la caténoïde asymétrique déjà déterminé précédemment.
4.3 La diaboloïde rotatoire
Pour aller plus loin dans la compétition entre surfaces minimales, une dernière géométrie sondée expérimentalement se compose de deux anneaux de rayons diff
é-19. Ce fait est également vérifié avec les mesures du rayon defilm plan critique.
4. LA DIABOLOÏDE 157
¼/2
−¼/2
®
®+1
−¯c
¯
¯c
−¯c
E
Figure6.45: Illustration expérimentale et allure schématique du cycle d’hystérésis énergétique associé à la transition de configuration gauche/droite. Du fait de la symétrie plane, les courbes associées aux deux configurations sont nécessairement en miroir l’une de l’autre. Lorsqueβ =±π/2, les anneaux sont coplanaires, l’énergie de surface est simplement celle d’un disque de rayonR2 =αR1, soitE =α2. Lorsque β =±βc, le bord de Plateau se réduit à la droite d’intersection des plans des deux anneaux, l’énergie de surface est simplement celle des deux disques, soitE =α2+ 1.
rents, avec un rapport d’aspect α>1, de même centre mais dont les plans font un angle non nul entre eux (Fig. 6.45). La surface minimale engendrée par ce contour s’apparente en fait à une diaboloïde dont le film plan, placé dans le plan intermé-diaire à ceux des deux anneaux, voit sa surface varier en fonction de l’angle β.
Cette diaboloïde rotatoire est une variante intéressante à la diaboloïde classique pour plusieurs raisons : d’une part, cette surface ne présente plus de symétrie de révolution, mais une symétrie plane. D’autre part, le paramètre de contrôle n’est plus une distance, mais un angle. Enfin, pour une certaine gamme angulaire, deux surfaces minimales coexistent (gauche/droite), et font encore apparaître de la méta-stabilité de façon nette. Une nuance importante est tout de même à souligner : dans ce cas, les transitions s’effectuent précisément lorsque l’une des configurations cesse
CHAPITRE 6. DESCRIPTION DE QUELQUES SURFACES MINIMALES : INFLUENCE DES CONDITIONS AUX LIMITES ET DE SYMÉTRIE
®
Figure6.46: Angle critique de transition βc en fonction de l’asymétrieα =R2/R1
du système. Chaque série de symboles correspond à une valeur deR2 fixée.
d’exister, au profit de l’autre [147]. Bien que les calculs se compliquent sérieusement dans cette géométrie, nous pouvons tenter d’esquisser le nouveau cycle d’hystéré-sis expérimentalement observé (Fig. 6.45) : en prenant comme référence angulaire β = 0 lorsque les plans des cadres sont perpendiculaires entre eux, les transitions gauche/droite et droite/gauche s’opèrent, par symétrie, pour deux angles critiques égaux et opposés, β = ±βc, comme illustré sur la série de clichés expérimentaux (Fig. 6.45).
Cet angle critique de transition est assez simple à deviner : le changement de confi-guration s’effectue précisément lorsque lefilm plan, dans son inclinaison initiale, voit sa surface tendre vers zéro, pour ensuite rejoindre son inclinaison finale. Le point critique est donc atteint lorsque le bord de Plateau se réduit théoriquement à la droite d’intersection des plans des deux anneaux. Remarquons que la 3ème loi de Plateau s’applique encore sur le pourtour du film plan. En somme, l’angle de 2π/3 imposé au niveau du bord de Plateau correspond également à l’angle que font les deux anneaux entre eux lorsque le bord de Plateau se referme sur lui-même, soit à la transition. Par des considérations géométriques, ceci conduit immédiatement au critère suivant :βc = 2π/3−π/2 =π/6.
Lafigure 6.46 représente la mesure expérimentale de l’angle critique βc en fonction du rapport d’aspectα des anneaux. Nous remarquons un décalage systématique par rapport au critère géométrique présenté précédemment. Les mesures sous-estiment légèrement la prédiction : cela signifie que les transitions s’effectuent systématique-ment avant d’atteindre l’angle critique théorique, quel que soit le sens choisi. Ceci peut avoir plusieurs causes : au vu du cycle d’hystérésis schématique de lafigure 6.45, il est envisageable que des perturbations extérieures à l’expérience (induites par exemple par le mouvement de rotation du petit anneau, les vibrations du film, les courants d’air), suffisent à faire bifurquer le système vers la configuration d’arrivée avant la perte d’existence de la configuration de départ. Ne perdons pas de vue que la barrière d’énergie séparant l’état métastable du minimum énergétique global peut parfois être franchie par l’application d’une infime perturbation externe (Fig. 6.38).
Une deuxième hypothèse concerne encore l’épaisseurfinie des cadres : le graphe ex-périmental démontre que plusαest grand, plus les valeurs semblent s’éloigner de la
4. LA DIABOLOÏDE 159
térésis lorsque les anneaux sont quasiment coplanaires (β �±π/2). Ce phénomène, lié au décollement du film plan du petit anneau, est similaire à celui observé dans le cas de la diaboloïde asymétrique, et se situant au cœur du cycle d’hystérésis modélisé dans la partie précédente. Dans le cas présent, cette hystérèse intervient pour des angles assez éloignés de la zone de transition d’intérêt, ce qui permet de découpler les deux types de transition intervenant dans ce problème : C/D et gauche/droite.
5 Analogies de comportement au voisinage du seuil d’existence
Dans cette partie, nous proposons enfin de discuter de certaines similarités de comportement entre les différentes surfaces minimales décrites dans ce chapitre.
Comme nous l’avons vu, le système d’équations (Éq. 6.83, Éq. 6.84) fournit le seuil d’existence de chacune de ces surfaces minimales, selon les valeurs prises pour C et α. Analysons maintenant de plus près leur comportement proche de ce seuil, dans le but de faire le lien avec la physique des instabilités et des transitions de phase. Au point critique, les transitions de phase du second ordre sont souvent caractérisées par des exposants critiques universels dépendant de la nature de la transition subie (la transition ferromagnétique/paramagnétique en est un exemple). Chaque seuil est ici dicté par la donnée des deux paramètres Xc et Δc vérifiant, d’après les parties précédentes, une double condition de la forme : f(Xc,Δc) = 0,∂Xf(Xc,Δc) = 0.
Au voisinage du seuil, nous pouvons écrire Δ = Δc +δΔ (resp. X = Xc +δX) avec un déplacement infinitésimal δΔ � Δc (resp. δX � Xc).Écrivons alors pour la fonction f un développement de Taylor à l’ordre 2 :
f(X,Δ)�f(Xc,Δc) +∂XfδX+∂ΔfδΔ+∂XXf(δX)2
2 +∂XΔfδΔδX+∂ΔΔf(δΔ)2 2 , (6.85) où toutes les dérivées sont exprimées au seuil. Les conditions aux limites imposent f(X,Δ) = 0, et le seuil est défini par f(Xc,Δc) = 0,∂Xf(Xc,Δc) = 0. De fait, le développement de Taylor se réécrit simplement comme :
∂ΔfδΔ+∂XXf(δX)2
2 +∂XΔfδΔδX+∂ΔΔf(δΔ)2
2 �0. (6.86)
Discutons l’ordre de grandeur des différents termes afin de simplifier cette dernière relation. Les déplacements infinitésimaux δΔetδX sont petits devant l’unité, mais rien ne nous permet à ce stade de comparer leur ordre de grandeur. À gauche de l’égalité, nous pouvons toutefois remarquer que le quatrième terme, en (δΔ)2, est nécessairement petit devant le premier terme, seulement enδΔ. De la même façon, le
CHAPITRE 6. DESCRIPTION DE QUELQUES SURFACES MINIMALES : INFLUENCE DES CONDITIONS AUX LIMITES ET DE SYMÉTRIE
(a) (b) (c)
Figure 6.47: Évolution des quantités δa/R et −δΔ au voisinage du seuil pour chaque surface minimale étudiée dans ce chapitre. Les jeux de données associés à la caténoïde asymétrique et à la diaboloïde asymétrique ont été mesurés pour un rap-port d’aspect α=1.2 entre les anneaux. Les courbes noires et rouges correspondent respectivement à la résolution numérique des conditions aux limites et à l’approxi-mation obtenue par le développement en série de Taylor (Éq. 6.88). Figure tirée de [146].
troisième terme, enδΔδX, est nécessairement petit devant ce même premier terme.
Les deux termes restants sont donc forcément du même ordre de grandeur : δX �±
avec le préfacteurJ s’exprimant à l’aide du système d’équations (Éq. 6.83, Éq. 6.84) : J = Le symbole ±provenant du précédent passage à la racine carrée fournitfinalement les deux branches, stable (+) et instable (−), des diagrammes (Δ, a/R) présentés plus haut (par exemple sur lafigure 6.7) : le comportement hyperbolique, induisant la présence de tangentes verticales dans ces diagrammes, justifie d’ailleurs le caractère abrupt des courbes au voisinage du seuil d’existence. L’exposant critique1/2apporté par ce développement théorique rappelle celui obtenu dans le cas d’une bifurcation fourche classique [148, 149] ; la machine de Welander en est un exemple illustratif en 5. ANALOGIES DE COMPORTEMENT AU VOISINAGE DU SEUIL D’EXISTENCE161
déjà présentés précédemment en représentation logarithmique, mettant en exergue le comportement en loi de puissance 1/2 au voisinage du seuil.
6 Conclusion et perspectives
Dans ce chapitre, nous avons étudié l’existence et la stabilité de quelques sur-faces minimales. Malgré la simplicité apparente de leur géométrie, les expériences nous ont permis d’observer des comportements analogues à des transitions de phase en thermodynamique, et de constater d’intéressants phénomènes de métastabilité, présents par ailleurs dans différents domaines de la physique. Ce type de phénomène avait d’ailleurs déjà été observé dans d’autres géométries, aussi bien d’un point de vue statique [147] que dynamique [150]. L’intérêt de notre étude réside cependant dans le fait que l’axisymétrie (en laissant de côté la diaboloïde rotatoire) permet de mener les calculs de façon exacte, complète et relativement simple. Ces calculs ont pour le reste prouvé une universalité de comportement des différentes surfaces minimales étudiées, leurs seuils d’existence pouvant être déduits d’un seul et même système d’équations (Éq. 6.83, Éq. 6.84). Un autre point remarquable à souligner est le fait que les résultats expérimentaux, en très bon accord avec les prédictions théoriques tout au long de ce chapitre, sont indépendants de l’épaisseur, et donc de l’âge du film de savon formé : le drainage du film pendant la durée de l’expérience (de l’ordre de la minute) ne semble donc avoir aucune influence sur les résultats présentés ici.
Une perspective de cette étude réside dans la modification des contours bordant le film. Par exemple, quelle est l’influence de la forme des cadres (triangulaire, carrée...) sur les résultats présentés dans ce chapitre ? La brisure de l’axisymétrie entraîne-t-elle juste un facteur de forme, ou bien change-t-entraîne-t-elle radicalement le comportement du système ? Par ailleurs, toutes les surfaces minimales décrites jusqu’alors sont des surfaces ouvertes, ceci justifiant une courbure moyenne nulle en tout point. Qu’en est-il des surfaces minimales fermées, vérifiant une courbure moyenne constante et non nulle ? Les nodoïdes et les onduloïdes, découvertes par Delaunay au XIXème siècle, en sont de beaux exemples. L’analyse de stabilité d’un film de savon cylin-drique a déjà fait l’objet de travaux il y a une dizaine d’années [151], et permet de retrouver le critère de stabilité classique de type Rayleigh-Plateau, portant sur le rapport d’aspect du cylindre. Une variante, en écho à la demi-caténoïde symétrique, serait une nouvelle fois de modifier le contour en remplaçant l’un des anneaux por-teurs du cylindre par un bain liquide, et étudier l’influence de ce changement de conditions aux limites sur la stabilité du film formé (Fig. 6.48).
CHAPITRE 6. DESCRIPTION DE QUELQUES SURFACES MINIMALES : INFLUENCE DES CONDITIONS AUX LIMITES ET DE SYMÉTRIE
...
...
1cm
h h
Figure6.48: Surface fermée s’appuyant sur un anneau circulaire et un bain liquide.
Notons encore le raccordement perpendiculaire dufilm à la surface libre du bain. Au-delà d’une certaine hauteur critique, cette dernière s’effondre en donnant naissance à une bulle interfaciale et un film plan sur l’anneau.
Une façon de rendre le problème plus riche est d’introduire, en plus des contraintes superficielles, des forces électromagnétiques. Dans la littérature, des travaux récents montrent que l’application d’un champ électrique intense conduit à modifier la cour-bure locale d’une caténoïde [152]. Dans le cas de la diaboloïde, cette perspective pourrait permettre de décaler les bornes caractéristiques du cycle d’hystérésis et de sélectionner ainsi, de façon active, la configuration adoptée par le film de savon.
La description des surfaces minimales investiguées dans ce chapitre est purement quasi-statique. Comme évoqué au cours de l’étude de la demi-caténoïde symétrique, l’effondrement dufilm au-delà du seuil d’existence nécessite d’adopter à présent une approche dynamique afin de sonder, aux temps courts, les phénomènes physiques qui régissent le pincement de cefilm. La dynamique de pincement d’une caténoïde étant aujourd’hui bien connue (pour des films de savon [153, 154] ou plus originalement pour desfilms smectiques [155]), le cas original d’une demi-caténoïde symétrique est en revanche inexploré, et s’avère intéressant du fait de la présence du bain liquide surmonté par la demi-caténoïde. Ce travail fait l’objet du chapitre suivant.
La publication associée à ce travail [146] est reportée enfin de manuscrit (Publication D).
6. CONCLUSION ET PERSPECTIVES 163
Chapitre 7
Étude dynamique d’une
demi-caténoïde symétrique en montée
Dans le chapitre précédent, nous avons décrit l’existence et la stabilité de la demi-caténoïde symétrique, observée expérimentalement en émergeant de façon quasi-statique un anneau circulaire (de rayon R=0.2−40cm) hors d’un bain liquide. Au-delà d’une hauteur critique séparant l’anneau du bain, cette demi-caténoïde s’ef-fondre et donne naissance à un film plan sur le cadre et éventuellement une bulle interfaciale, c’est-à-dire une bulle en contact avec l’interface bain/air. Ce chapitre décrit et tente de modéliser les différentes observations expérimentales portant sur le temps de pincement du film, la taille de la bulle interfaciale formée, ainsi que les oscillations amorties et le drainage du film plan formé sur le cadre après pincement.
Il est également possible d’imposer au cadre une vitesse ascendante de sortie du bain (Fig. 7.1), ceci conférant un degré de liberté supplémentaire à cette expérience.
Nous allons de surcroît faire varier la viscosité du liquide en effectuant les mêmes expériences avec du glycérol et des mélanges d’huiles siliconées.
165
…
R
bt
Figure 7.1: Série de photos expérimentales prises au cours de la remontée d’un anneau circulaire (R = 3.6 cm) d’une solution d’eau savonneuse, à la vitesse d’as-cension v = 2 cm.s−1.
1 Montage expérimental
bain liquide cadre circulaire
controle du rail rail de translation
support elevateur bache de protectionˆ
´ ´ ˆ
Figure 7.2: Photographie du montage expérimental utilisé.
Afin de contrôler la vitesse v du cadre dans une gamme 0.1−1000 mm.s−1, nous utilisons un rail de translation (MTC350P, Aerotech ; voir Fig. 7.2) composé d’une chaîne d’aimants et relié à un capteur de mouvement (Soloist HPe, Aerotech). Le rail est contrôlé avec le logiciel LabVIEW, l’interface ayant été réalisée avec l’aide d’Éric Gicquel, ingénieur au laboratoire. Cette machine offre de larges possibilités de mouvements ou de combinaisons de mouvements avec une grande précision sur ses
CHAPITRE 7. ÉTUDE DYNAMIQUE D’UNE DEMI-CATÉNOÏDE SYMÉTRIQUE EN MONTÉE paramètres : vitesse, longueur du déplacement, rampe d’accélération initiale, temps de pause... Dans toutes les expériences, nous imposons que la vitesse du mouvement uniforme est atteinte au bout d’un millimètre de course, indépendamment de la vi-tesse choisie, de la taille du cadre et de la viscosité du fluide. Cette longueur étant inférieure à la profondeur initiale du cadre dans la solution (de l’ordre de 2 mm), nous pouvons négliger l’effet de l’accélération initiale du mouvement. Dans ce cha-pitre, nous considérerons uniquement le cas d’un mouvement ascendant uniforme.
Ce moteur de translation sera utilisé pour effectuer un mouvement descendant uni-forme dans le chapitre suivant. Les cadres sont identiques à ceux utilisés dans le chapitre précédent.
2 Effondrement quasi-statique : temps de pincement
¿
pt
r(t)
Figure 7.3: Allure typique de la décroissance de r(t) obtenue avec la solution sa-vonneuse décrite dans ce paragraphe et un cadre de rayonR = 3 mm. L’ajustement par l’équation 7.1 donne τp �30ms.
Considérons tout d’abord le régime quasi-statique pour lequelv=0, et mesurons le temps d’effondrement de la demi-caténoïde symétrique, préparée puis déplacée juste au seuil de son existence, en fonction de R. Sans rentrer dans le détail de la dynamique de pincement, il est possible d’estimer une durée caractéristique1 τp de ce processus en mesurant la diminution du rayon du film au niveau du bain r(t).
Ce dernier passe de la valeur critique ac, atteinte en t=0, à Rb, le rayon de la bulle interfaciale formée, atteint ent=tf (avecRb=0si aucune bulle ne se forme). En effet, dans le cas où une bulle interfaciale est formée, l’expérience montre que la valeur der(t) mesurée au pincement est très proche du rayon Rb de cette bulle. De façon simple,r(t) est expérimentalement ajusté par une loi exponentielle de la forme :
r(t)−Rb
de laquelle nous pouvons extraire un temps caractéristique τp pour pincer le film (Fig. 7.3). Nous développons dans la suite les résultats obtenus dans le cas d’une
1. Cette méthode s’inspire d’autres travaux issus de la littérature [156].
2. EFFONDREMENT QUASI-STATIQUE : TEMPS DE PINCEMENT 167
pour le cas visqueux.