6.2 Modélisation des courants en zone ombrée : une nouvelle approche, la TSD
6.2.1 Une solution existante : la méthode de Kaye
6.2.1.1 Principe de la méthode
Afin d’illustrer le principe de la méthode proposée par Kaye, considérons un objet par- faitement conducteur, ici un cylindre, illuminé par une onde plane (Figure 6.5). La densité surfacique de courant ~J, en un point ~R de l’objet, peut être calculée à partir de l’équation intégrale sur le champ magnétique
~J(~r) = 2~n × ~Hi(~r) + 2~n × Z
P~J(~r
6.2. MODÉLISATION DES COURANTS EN ZONE OMBRÉE : UNE NOUVELLE APPROCHE,
LA TSD 137
FIGURE6.5 –Problème de diffraction par un objet à symétrie de révolution pouvant être traité par la
méthode proposée par Kaye.
où P désigne la surface de l’objet et~r et~r′représentent respectivement le point d’observation
et le point source sur P. ~Hi(~r) correspond au champ magnétique incident sur l’ensemble de
la structure (partie ombrée comprise). ~∇′G correspond au gradient de la fonction de Green du vide. Le prime indiqué sur le gradient signifie que la différentiation est appliquée sur les coordonnées du point source.
La méthode proposée par Kaye est un algorithme permettant de résoudre itérativement cette équation intégrale sur le champ magnétique. Les courants induits sont obtenus en ajou- tant des courants de correction aux courants optiques calculés selon le principe classique de l’IPO. La mise en œuvre de cet algorithme nécessite tout d’abord une division de la surface de l’objet en deux régions : une éclairée par l’onde plane (domaine visible) et une ombrée (non-visible). La méthode se déroule ensuite en quatre étapes.
Seules les deux premières étapes, sur lesquelles s’appuiera la méthode TSD, sont dé- taillées dans ce paragraphe.
Première étape : calcul itératif des courants optiques sur la partie éclairée.
La première étape de la méthode consiste à calculer les courants optiques ~Joptvi s sur la partie visible (éclairée) de l’objet en résolvant l’équation suivante
~Jvi s opt(~r) = 2~n × ~Hi(~r) + 2~n × Z Pvi s ~Jvi s opt(~r′) ×~∇′G(~r −~r′)ds′ (6.2)
que les courants optiques sur la partie éclairée correspondent à la somme des courants in- duits par le champ incident (terme 2~n × ~Hi(~r)) et le champ re-rayonné par les courants sur la partie éclairée (terme intégral). On note que cette équation intégrale considère l’interac- tion entre tous les points de la surface éclairée de l’objet, qu’ils soient visibles ou non entre eux. L’équation 6.2 est résolue itérativement en utilisant le principe IPO décrit au paragraphe 3.2.2.2 du chapitre 3. Ceci permet de prendre en compte progressivement les interactions à l’intérieur de la partie visible. On a ainsi :
[~Joptvi s(~r)]N= [~Joptvi s(~r)]0+ 2~n ×
Z
Pvi s
[~Joptvi s(~r′)]
N −1×~∇′G(~r −~r′)ds′ (6.3)
où [~Joptvi s(~r)]0= 2~n × ~Hi(~r). Ce calcul itératif s’arrête lorsque la convergence est atteinte. On
note Nconv1le nombre d’itérations nécessaires à la convergence.
Deuxième étape : calcul itératif des courants optiques sur la partie ombrée.
La deuxième étape de l’algorithme proposé par Kaye consiste à calculer les courants op- tiques ~Jomb
opt sur la partie ombrée de l’objet.
~Jomb opt (~r) = 2~n × ~Hi(~r) + 2~n × Z Pvi s [~Joptvi s(~r′)]N conv1×~∇′G(~r −~r′)ds′ +2~n × Z Pomb ~Jombopt (~r′) ×~∇′G(~r −~r′)ds′ (6.4)
Dans cette expression, si l’on considère uniquement les deux premiers termes de droite, on constate que les courants optiques sur la partie ombrée correspondent aux courants in- duits par la somme du champ incident (rayonnement direct depuis la source) et du champ re-rayonné par les courants de la partie visible. Le troisième terme prend en compte le re- rayonnement des autres courants présents sur la partie ombrée.
Une nouvelle fois, cette équation intégrale peut être résolue de manière itérative en sui- vant une démarche similaire à celle utilisée dans le cadre de l’IPO au chapitre 3 (équation 6.5). Dans la suite, on note Nconv2le nombre d’itérations nécessaires à la convergence lors du
calcul itératif mené lors de cette deuxième étape. [~Joptomb(~r)]N= [~Jombopt (~r)]0+ 2~n ×
Z
Pomb
[~Jombopt (~r′)]
N −1×~∇′G(~r −~r′)ds′ (6.5)
La valeur initiale [~Jomb
opt (~r)]0 de la densité de courant sur la partie ombrée utilisée dans le
calcul itératif est alors :
[~Joptomb(~r)]0= 2~n × ~Hi(~r) + 2~n ×
Z
Pvi s
[~Joptvi s(~r′)]Nconv1×~∇′G(~r −~r′)ds′ (6.6)
Les courants ~Jvi set ~Jomb induits sur les parties visible et ombrée de l’objet sont finale-
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LA TSD 139
~Jvi s(~r) = [~Jvi s
opt(~r)]Nconv1+ [~Jcorvi s(~r)]Nconv3 (6.7)
~Jomb(~r) = [~Jomb
opt (~r)]N conv2+ [~Jombcor (~r)]Nconv4 (6.8)
Le calcul itératif des courants de correction pour les parties visible et ombrée corres- pondent respectivement à la troisième et la quatrième étape de l’algorithme. Les courants ~Jvi s
cor sont calculés en considérant le re-rayonnement des courants optiques de la partie om-
brée vers la partie éclairée. Quant aux courants ~Jcoromb, ils sont obtenus en considérant le re- rayonnement des courants de correction de la partie visible vers la partie ombrée. Afin de ne pas alourdir le manuscrit leur calcul n’est pas détaillé ici. Le lecteur pourra néanmoins consulter l’article référence [116] pour plus de précisions à ce sujet.
En conclusion, la méthode qui vient d’être présentée permet a priori de calculer préci- sément, via une approche asymptotique itérative, les courants sur les parties visible et non- visible d’un objet illuminé par une onde plane. Le prochain paragraphe entend évaluer la possibilité d’utiliser cette méthode pour calculer les courants induits sur une plate-forme à symétrie de révolution par une source d’excitation placée à proximité de cette dernière. Ceci constitue une étape préliminaire essentielle en vue de la résolution du problème d’antenne environnée sur lanceur.
6.2.1.2 Évaluation de la méthode de Kaye : calcul des courants sur un cylindre éclairé par