Conclusion quant à l’utilisation de l’approche proposée par Kaye

L’approche proposée par Kaye ne peut être retenue pour assurer la modélisation des cou- rants sur une plate-forme à symétrie de révolution dans le cadre de la résolution d’un pro- blème d’antenne sur lanceur. La suite de ce chapitre propose une solution inspirée de l’ap- proche de Kaye permettant d’utiliser des sources d’excitation située à proximité de l’objet diffractant.

6.2.2 Proposition d’une nouvelle méthode : la TSD

Ce paragraphe propose une nouvelle solution pour répondre à la problématique posée en introduction : la TSD2.

6.2. MODÉLISATION DES COURANTS EN ZONE OMBRÉE : UNE NOUVELLE APPROCHE, LA TSD 143 −180 −120 −60 0 60 120 180 −35 −30 −25 −20 −15 −10 −5 0 5 10 θ_(Degr´es) D ir ec ti vi t´e (d B ) PO Approche Kaye MLFMM

(a) distance cylindre-dipôle = 2λ1G H z

−180 −120 −60 0 60 120 180 −35 −30 −25 −20 −15 −10 −5 0 5 10 θ_(Degr´es) D ir ec ti vi t´e (d B ) PO Approche Kaye MLFMM (b) distance cylindre-dipôle = λ1G H z/3 .

FIGURE6.9 – Comparaisons des diagrammes de rayonnement en CO-polarisation (Eθ) dans

le plan (y0z), à 1 GHz, obtenus avec l’approche Kaye et la MLFMM pour deux distances cylindre-dipôle différentes.

FIGURE6.10 –Décomposition du problème en vu de l’application de la TSD. 6.2.2.1 Principe de la méthode

Afin d’illustrer le principe de la TSD, on considère le problème du dipôle infinitésimal placé devant un cylindre constitué de 32 bandes décrit dans le paragraphe précédent.

La TSD propose de calculer les courants sur l’ensemble du cylindre de manière séquen- tielle. Cette méthode, tout comme l’approche proposée par Kaye, se base tout d’abord sur une décomposition du problème en zone éclairée (visible) et zone ombrée (non-visible). Si la méthode TSD reprend la première étape de calcul des courants optiques sur la partie vi- sible proposé dans le paragraphe précédent, elle propose ensuite une démarche originale permettant de calculer les courants optiques sur la partie ombrée tout en s’affranchissant des problèmes de convergence. Cette démarche s’appuie sur une décomposition de la par- tie ombrée en sous-domaines (Figure 6.10). Ici, la définition des sous-domaines de la partie ombrée s’appuie sur la discrétisation du cylindre en bandes.

La suite de ce paragraphe présente les différentes étapes de l’algorithme associé à la mé- thode TSD appliquée au calcul des courants sur un cylindre. Les schémas associés à ces dif- férentes étapes sont regroupés sur la Figure 6.11.

Première phase : calcul itératif des courants optiques sur la partie visible

La TSD emprunte à l’approche proposée par Kaye le calcul des courants sur la partie éclai- rée de l’objet. Comme expliqué dans le paragraphe 6.2.1.1, elle consiste à résoudre de façon itérative l’équation intégrale portant uniquement sur les courants de la parte éclairée notée P

vi s:

~Jvi s_{(~r) = 2~n × ~H}i_{(~r) + 2~n ×}Z

Pvi s

~Jvi s_(~r′_{) ×~∇}′_{G(~r −~r}′_)ds′ _(6.10)

Dans cette expression, le vecteur ~Hi(~r) correspond au champ incident provenant de la source d’excitation. La résolution itérative de cette intégrale reprend la technique présentée dans l’IPO . Ainsi, la densité surfacique de courant électrique ~Jvi s

N au point ~r, à l’itération N

6.2. MODÉLISATION DES COURANTS EN ZONE OMBRÉE : UNE NOUVELLE APPROCHE, LA TSD 145 ~Jvi s N (~r) = ~J0vi s(~r) + 2~n × Z vi s~J vi s N −1(~r′) ×~∇′G(~r −~r′)dSc′ (6.11)

où ~J0(~r) = 2~n × ~Hi(~r). On note que dans l’équation 6.11, les problèmes de visibilité entre les

points de la surface n’interviennent pas. Chaque point interagit avec tous les autres. Une fois la convergence atteinte, la valeur de la densité surfacique de courant ~Jvi s

N sur

l’ensemble de la partie visible de la structure est sauvegardée et ne sera plus modifiée jusqu’à la résolution complète du problème.

Deuxième phase : calcul séquentiel des courants optiques sur la partie ombrée

Le paragraphe sur la méthode de Kaye a montré qu’il était possible d’utiliser les courants optiques de la partie éclairée afin de calculer les courants sur la partie ombrée. Il a cependant mis en lumière des problèmes de convergence lors la résolution itérative des courants sur le domaine ombré avec le rapprochement de la source d’excitation vers l’objet. Ces problèmes de convergence ont été attribués à la trop faible dimension de la zone visible par rapport à la zone ombrée.

Afin de s’affranchir des problèmes de convergence rencontrés avec l’approche Kaye, la TSD propose, comme indiqué sur la Figure 6.11, de calculer les courants sur la partie ombrée sous-domaine après sous-domaine. On remplace ainsi le calcul itératif effectué sur la totalité de la partie ombrée par un calcul séquentiel.

La première étape de la deuxième phase de la simulation TSD consiste donc à calculer les courants sur les deux bandes adjacentes au domaine visible (Figure 6.11(a)). Ce calcul s’inspire de l’équation 6.4 utilisée dans l’approche de Kaye pour calculer les courants sur la partie masquée. D’après cette équation, les courants induits sur la partie masquée ont, au premier ordre, deux contributeurs : d’une part, le rayonnement direct provenant du dipôle source (premier terme de l’équation) et d’autre part le re-rayonnement des courants sur la partie éclairée de l’objet (second terme de l’équation). Le troisième terme de cette équation permet de prendre en compte les interactions entre les courants de la partie ombrée. Lors de la première étape de la TSD, le calcul des courants s’effectue uniquement sur une portion de la partie ombrée. Les interactions non locales sur la partie ombrée ne peuvent être prise en compte. Finalement, la densité surfacique de courant ~Jomb−1sur le sous-domaine P_omb−1de la partie ombrée (sous-domaine adjacent au domaine visible) est donnée par

~Jomb−1_{(~r) = 2~n × ~H}i_{(~r) + 2~n ×}Z

Pvi s

~Jvi s

N (~r′) ×~∇′G(~r −~r′)ds′ (6.12)

Une fois le calcul de la densité surfacique ~Jomb−1_{effectuée, la valeur des courants est sau-}

vegardée et ne sera plus modifiée jusqu’à la résolution complète du problème.

La simulation TSD se poursuit avec le calcul des courants sur le sous-domaine P_omb−2 constitué des deux bandes adjacentes au sous-domaine P_omb−1. Ceci constitue la deuxième

étape de la deuxième phase. Le problème considéré à cette étape, et décrit sur la Figure 6.11(b), est similaire à celui rencontré lors de l’étape précédente. Ici, la structure occultant le sous-domaine P_omb−2correspond à la concaténation du domaine visible Pvi set du do-

maine P_omb−1. Les courants sur le sous-domaine P_omb−2 ont deux contributeurs qui sont le rayonnement direct provenant du dipôle source et le re-rayonnement des courants sur la partie occultant le sous-domaine P_omb−2. Aussi, la densité surfacique de courant ~Jomb−2sur le sous-domaine P_omb−2est donnée par

~Jomb−2(~r) = 2~n × ~Hi(~r) + 2~n × Z Pvi s~J vi s N (~r′) ×~∇′G(~r −~r′)ds′ +2~n × Z Pomb−1~J omb−1_(~r′_{) ×~∇}′_{G(~r −~r}′_)ds′ _(6.13)

De même que dans les étapes précédentes, une fois calculés, les courants sur le sous- domaine P_omb−2ne sont plus modifiés dans le reste de la simulation TSD.

Les courants sur les sous-domaines de la partie ombrée restante sont calculés séquen- tielement en adoptant le même type de démarche. Ainsi, les courants sur le sous-domaine P

omb−k sont calculés à partir des courants du domaine visible et des sous-domaines 1 à

(k − 1), et du champ incident provenant directement de la source. L’expression de la densité surfacique de courant sur le sous-domaine k est la suivante

~Jomb−k(~rc) = 2~n × ~Hi(~rc) + 2~n × Z Pvi s~J vi s N (~rc′) ×~∇′G(~rc− ~rc′)ds′ + k−1_X i =1 2~n × Z Pomb−i ~Jomb−i_(~rc′′_{) ×~∇}′′_{G(~rc− ~rc}′′_)ds′′ _(6.14)

Enfin, la simulation TSD s’arrête lorsque les courants sur l’ensemble des sous-domaines de la partie ombrée ont été calculés.

Le prochain paragraphe entend évaluer les performances de la méthode TSD qui vient d’être présentée.