L’existence d’un processus
PRINCIPE DE LASALLE
Si la fonction V : E→ℝ :
b) est propre⇔ ∀ ∈L V(E), V−1
([ ]
0 ; L)
est un compact dans Ec) si (X (t), t ≥ 0) est une solution de (2) tel que 〈∇V(X), f (X)〉=0 ∀t
Alors X (t) = Xe∀t ≥ 0 et Xe est asymptotiquement stable.
La difficulté inhérente à ce type de méthode est de déterminer la fonction de Lyapounov. Dans la plupart des cas que l’on va étudier, elle apparaît cependant naturellement. A l’instar de la physique, un argument de type économique peut permettre de la trouver.
I.
III.
3La stabilité d’un processus
Nous allons maintenant changer de méthode et se pencher sur la stabilité d’un processus. Auparavant, on choisissait implicitement un point d’équilibre à l’avance avant de regarder les propriétés des trajectoires qui lui étaient associées. Désormais, on examine tout de suite les propriétés des trajectoires sans savoir vers quels équilibres elles conduisent.
DEFINITION
On dit que le processus défini par l’équation (1.2) est localement stable sur une partie
deℝ , si : n
On peut définir une norme surℝ de sorte que pour toutn ε >0, il existe δ +δ(ε)>0 tel que pour toutX0, appartenant à cette partie deℝ , vérifiant la relationn X0 −Xe < δ + δ ε( ), la solution de l’équation X′ =f (X)se prolonge pour tout t ≥ 0 et satisfait l’inégalité X(t, X ) X0 − e < ε.
De même, un processus peut- être globalement ou localement stable. La stabilité asymptotique, quant à elle, implique d’avoir : 0 e
t
lim X(t, X ) X
→∞ =
Commentaire
La différence avec la formulation précédente est liée à l’intégration de X0 comme argument de la fonction X. Ceci traduit une volonté plus explicite de prendre en compte
l’incidence qu’ont les conditions initiales sur l’équilibre atteint. En effet, les équilibres d’un système peuvent être en nombre infini. Dans ce cas, de légères différences dans les conditions initiales sont susceptibles de conduire à des équilibres totalement différents. C’est la raison pour laquelle on utilise la notationX(t, X ) . 0
L’économiste n’a souvent en sa possession que des indications qualitatives. Dans cette configuration, la démonstration de la stabilité d’un processus relève d’un tour de force. D’où l’idée de passer par une étape intermédiaire afin de faciliter la démonstration. Pour ce faire, on mobilise la notion de « quasi- stabilité » proposée par l’économiste japonais Uzawa (1961).
Quasi-stabilité
On considère qu’un processus est quasi- stable si ses valeurs d’adhérences sont des équilibres.
Intuitivement une valeur d’adhérence est un point par lequel le processus repasse sans
cesse (sans pour autant y rester). Techniquement, on dit qu’un point a∈ℝ est une valeur n
d’adhérence de (X ) s’il existe une suite extraite den X convergente vers a. n
Cette définition n’est intéressante que dans la mesure où les trajectoires ont au moins une valeur d’adhérence. Pour que cela soit assurément le cas, il faut que X (t, X0) soit bornée
sur une partie fermée deℝ . n
THEOREME (d’existence d’une valeur d’adhérence)
Toute suite définie sur un espace topologique compact possède au moins une valeur d’adhérence.
La condition essentielle pour que la suiteX((n, X )) , formée de points de la 0 trajectoireX(t, X ) , bénéficie d’une valeur d’adhérence est qu’elle soit définie sur une partie 0 « fermée et bornée ». On peut déjà dire, que si l’on suppose que (1.2) admet une solution globale alors les dérivées partielles sont effectivement bornées. Ce qui aide grandement à satisfaire les hypothèses du théorème de quasi- stabilité.
Passage de la quasi- stabilité à la stabilité asymptotique globale
La quasi stabilité stipule que les trajectoires s’approchent d’un équilibre puis s’éloignent vers un autre sans toutefois les atteindre. Ce schéma se reproduisant en permanence. Il est donc nettement plus intéressant de démontrer que les trajectoires convergent. La transition vers la stabilité se faisant à l’aide de deux théorèmes.
THEOREME 3
Si une trajectoire est bornée et ne comporte qu’une seule valeur d’adhérence alors elle est convergente.
THEOREME 4
Si une trajectoire continue admet des valeurs d’adhérences isolées, alors elle est convergente.
Rappelons qu’une valeur d’adhérence d’une trajectoire est dite « isolée » s’il existe une boule dont elle est le centre et qui ne contient pas d’autre valeur d’adhérence de cette trajectoire.
Mentionnons également un dernier théorème, particulièrement précieux, qui élargi les résultats établis par Lyapounov au processus.
THEOREME (d’extension des fonctions de Lyapounov au processus)
Si les solutions du système (1.2) sont définies et prolongeables surℝ et si on peut leur +
associer une fonction de Lyapounov, alors le processus considéré est globalement stable.
Remarque
Pour en finir, notons que l’étude de la stabilité d’un système d’équations différentielles non autonome est en tout point identique à celui d’un système autonome.
I.
III.
4La vitesse de convergence
vitesse à laquelle converge le processus. On comprend aisément qu’une trajectoire qui met un temps infini à atteindre un équilibre n’est pas d’un grand secours en pratique. Hélas, c’est pourtant le résultat auquel on parvient.
Rappel du résultat fondamental de stabilité asymptotique
e
X est un équilibre associé à (1.2), si X(t) est définie sur
[ ]
0;∞ et si X(t)→Xelorsque t tend vers l’infini.Cet énoncé peu encourageant est une conséquence directe du théorème de Cauchy- Lipschitz et plus spécifiquement du fait que l’on a supposé f lipschtizienne.
L’importance des conditions initiales
Le résultat précédent met déjà en valeur le rôle crucial joué par les conditions initiales. Si on n’a pas d’emblée une situation telle queX(t )0 =Xe, il n’y a pas d’espoir d’atteindre l’équilibre dans un laps de temps fini.
Les solutions
Pour contourner la difficulté, on peut toujours estimer qu’on se trouve initialement au voisinage immédiat de l’équilibre. Mais cette technique, en dehors du fait qu’elle amène le théoricien à se placer dans un cas particulier, ne supprime pas complètement le problème. En effet, il reste la question des évènements qui surgissent lors du délai d’ajustement c’est-à-dire au cours de la phase de déséquilibre. Il faut donc en plus proscrire les échanges hors équilibre. Ce qui n’est pas raisonnablement susceptible d’être fait si l’on se situe dans un « temps réel ». Si l’on ne souhaite pas prendre en considération un « temps fictif », il faut assurer à l’avance la convergence du processus. C’est là un des objectifs de la planification lui conférant ainsi un rôle primordial.
Parmi toutes les caractéristiques qu’arbore la notion d’équilibre, celle du « cadre institutionnel » est fondamentale. Selon ses propriétés, les notions d’équilibres qui en résultent sont totalement différentes. Pour s’en apercevoir on étudie des chapitres II à IV les trois principaux modèles faisant appel à la notion d’équilibre.