Pr´ esentation du formalisme du mod` ele heuristique

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3.2 Mod` ele heuristique

3.2.1 Pr´ esentation du formalisme du mod` ele heuristique

Nous d´etaillons dans ce paragraphe les ´etapes de calcul du mod`ele heuristique, ainsi que les hypoth`eses simplificatrices sur lesquelles il repose.

3.2.1.1 Pr´esentation du principe du mod`ele heuristique

Le mod`ele heuristique consid`ere que chaque pixel est mod´elis´e par un empilement de couches optiques d´elimit´ees par des interfaces. On suppose que le pixel est form´e des mˆemes couches que dans le mod`ele exhaustif, mise `a part la r´egion du gradient d’indice que l’on ignorera pour des raisons de simplification.

Chaque interface r´efl´echit des ondes, l’empilement de couches forme ainsi des cavit´es optiques. Les interf´erences `a l’int´erieur de ces cavit´es g´en`erent les oscillations observ´ees pr´ec´edemment sur les r´eponses spectrales mesur´ees. Dans le calcul du flux absorb´e, le mod`ele exhaustif tient compte de l’ensemble des ondes interf´erant, et couvre l’ensemble de l’intervalle spectral de mesure. Le mod`ele heuristique, quant `a lui, simule les in-terf´erences d’un nombre limit´e d’ondes dans le but de mieux comprendre les oscillations observ´ees sur les r´eponses spectrales exp´erimentales.

Dans le paragraphe suivant, nous allons expliquer en quoi la formulation du mod`ele heuristique revient `a consid´erer les ondes r´efl´echies par la structure du pixel.

3.2.1.2 Lien entre les ondes r´efl´echies par la structure et la r´eponse spectrale

De la mˆeme fa¸con que pour le mod`ele exhaustif, dans le mod`ele heuristique, la r´eponse spectrale est ´equivalente au flux absorb´e dans la structure, en supposant une collection totale des paires ´electron-trou. Ainsi, on d´ecrit la r´eponse spectrale du pixel Apσq par l’´equation (3.17), o`uIincetIabs sont les flux incident et absorb´e.

Chapitre 3. Mod´elisation optique d’un plan focal infrarouge

Apσq Iabspσq

Iincpσq (3.17)

Iabs est exprim´e par l’´equation (3.18), o`u Iref et Itrans sont les flux r´efl´echi et transmis par la structure.

Iabspσq Iincpσq Irefpσq Itranspσq (3.18) On suppose que le flux transmis Itrans est n´egligeable par rapport aux autres flux dans la gamme spectraler1900cm1,6000cm1s, ce qui revient `a consid´erer que la couche m´etallique au fond de la structure r´efl´echit la majorit´e de la lumi`ere incidente, permet-tant `a la couche active d’absorber une grande partie des photons utiles.

Sous cette hypoth`ese, la r´eponse spectrale s’´ecrit selon l’´equation (3.19). On remar-que alors remar-que la r´eponse spectrale s’´ecrit directement en fonction du flux r´efl´echi.

Dans le paragraphe suivant, on cherchera `a exprimer ce flux en fonction des ondes r´efl´echies majoritaires dans la structure.

Apσq 1Irefpσq

Iincpσq (3.19)

3.2.1.3 Identification des ondes majoritaires dans le ph´enom`ene d’interf´erence

Pour calculer le flux r´efl´echi par la structure, on calcule d’abord les amplitudes complexes des ondes r´efl´echies Ei `a l’interface air/substrat en utilisant l’´equation (3.20).

Eipσq ρipσq·exppjφipσqq·expp2jπσδiq·E0pσq (3.20) Nous adoptons une description classique des ondes r´efl´echies, o`uE0 est l’amplitude complexe de l’onde incidente arrivant au voisinage de la structure,δi est la diff´erence de chemin optique entre l’onde incidente et l’onde r´efl´echie Ei. ρi et Φi sont l’amplitude et la phase de l’onde Ei `a partir des formules de Fresnel d´ecrivant la r´eflexion et la transmission aux interfaces [118].

La Figure 3.18 repr´esente le module des amplitudes |Ei| en fonction du nombre d’onde, correspondant aux ondes repr´esent´ees sur la Figure 3.19.

La Figure 3.19 montre les huit ondes majoritaires intervenant dans le ph´enom`ene d’interf´erences du flux r´efl´echi, qui sont pr´epond´erantes en termes d’amplitude spectrale.

Les ondes sont num´erot´ees de la plus importanteE1 `a la moins importante E8, et sont simul´ees dans le cas d’un d´etecteur HgCdTe en l’absence de couche anti-reflet et de r´egion de gradient d’indice. La couche m´etallique caract´eris´ee par un indice effectif constant

Chapitre 3. Mod´elisation optique d’un plan focal infrarouge

Figure 3.18: Variation des amplitudes des principales ondes r´efl´echies par un pixel infrarouge en fonction du nombre d’onde. Les ondes correspondantes sont illustr´ees sur

la Figure 3.19

Figure 3.19: Sch´ema des ondes r´efl´echies pr´epond´erantes dans le ph´enom`ene d’interf´erences

Chapitre 3. Mod´elisation optique d’un plan focal infrarouge

(ind´ependant du nombre d’onde) est elle toujours pr´esente, pour mod´eliser la r´eflexion des photons au fond du pixel.

Comme pr´ecis´e pr´ec´edemment, le calcul est r´ealis´e pour une structure sans couche anti-reflet, ce qui a tendance a sur´evaluer les ondes r´efl´echies dans le cas d’une structure r´eelle avec traitement anti-reflet. On peut voir sur la Figure 3.18 que l’amplitude |E4| est particuli`erement faible compar´ee aux amplitudes |E1|,|E2| et|E3|. Son impact est n´egligeable car elle est limit´ee `a la r´egion de nombre d’onde de coupure.

3.2.1.4 Simulation de la r´eponse spectrale par le mod`ele heuristique

La principale approximation du mod`ele heuristique est de consid´erer uniquement les trois ondes r´efl´echies les plus importantes pour la simulation de la r´eponse spectrale.

Ces ondes ont les amplitudesE1,E2etE3, et sont repr´esent´ees sur la Figure 3.20. Dans ce cas particulier, ces ondes correspondent aux r´eflexions sur les interfaces des couches substrat, zone active et couche m´etallique.

Figure 3.20: Sch´ema des trois ondes majoritaires dans le ph´enom`ene d’interf´erence ecrivant le mod`ele heuristique

Ainsi, le flux r´efl´echiIref s’exprime en fonction de ces trois ondes, selon l’´equation (3.21), o`u n0 est l’indice de r´efraction du milieu d’entr´ee, 0 et µ0 sont la permittivit´e

´

electrique et la perm´eabilit´e magn´etique du vide.

Irefpσq 1 diff´erences de chemin optique dans le substrat et la zone active.

Chapitre 3. Mod´elisation optique d’un plan focal infrarouge

E1pσq B1pσq·E0

E2pσq B2pσq·expp2iπσδsq·E0

E3pσq B3pσq·expp2iπσpδs δzaqq·E0

(3.22) On rappelle les coefficients de r´eflexion et de transmission en amplitude rmpet tmp

sur l’interface entre un milieum et un milieu ppar l’´equation (3.23) [118].

rmp nmnp

nm np tmp 2nm

nm np

(3.23) Les termesBi se calculent en fonction de ces coefficients de r´eflexion et de transmis-sion selon le chemin suivi par l’onde Ei, comme le montre l’´equation (3.24). Le terme en exponentielle dans l’expression de B3pσq tient compte de l’absorption lin´eique βpσq d’une couche active d’´epaisseureza.

B1pσq rair,subpσq

B2pσq tair,subpσq·rsub,zapσq·tsub,airpσq

B3pσq tair,subpσq·tsub,zapσq·rza,metpσq·tza,subpσq·tsub,airpσq·exppσqeza (3.24) Pour plus de clart´e dans l’expression du mod`ele, nous exprimerons les fonctions com-plexes Bi en fonction de leur moduleρipσq et phase Φipσq, comme le montre l’´equation (3.25).

Bipσq ρipσq·exppjΦipσqq (3.25) Le flux incident est fonction de l’onde incidente d’amplitudeE0, exprim´e par l’´equation (3.26).

Chapitre 3. Mod´elisation optique d’un plan focal infrarouge

La r´eponse spectrale du pixel est alors donn´ee par l’expression (3.27).

η3ondespσq η0 3ondespσq

1pσqρ2pσq·cosr2πσδspσq φ2pσq φ1pσqs 2ρ2pσqρ3pσq·cosr2πσδzapσq φ3pσq φ2pσqs 2ρ1pσqρ3pσq·cosr2πσpδspσq δzapσqq φ3pσq φ1pσqs

(3.27) La r´eponse moyenneη0 3ondes est exprim´ee par l’´equation ( 3.28). Elle correspond `a la partie non modul´ee de la r´eponseη3ondes et d´epend des amplitudes des ondes ρi.

η0 3ondespσq 1ρ1pσq2ρ2pσq2ρ3pσq2 (3.28) Dans la section suivante, nous pr´esentons les r´esultats du mod`ele heuristique que nous comparerons avec ceux du mod`ele exhaustif.

3.2.2 Comparaison du mod`ele heuristique avec le mod`ele exhaustif

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