Nous avons pr´esent´e un mod`ele exhaustif qui permet de simuler la r´eponse spectrale d’un pixel infrarouge. Dans ce mod`ele, nous avons fait le choix de d´ecrire le pixel par un empilement de couches optiques caract´eris´ees par des param`etres technologiques physiques.
Nous avons valid´e ce mod`ele `a travers deux cas d’application : l’instrument Mi-crospoc et un PFIR HgCdTe standard.
De plus, nous avons propos´e une mod´elisation heuristique compl´ementaire qui nous a permis d’apporter un ´eclairage suppl´ementaire sur les ph´enom`enes d’interf´erences `a l’int´erieur de la structure du pixel. Grˆace `a cette approche nous avons identifi´e les
Chapitre 3. Mod´elisation optique d’un plan focal infrarouge
Figure 3.34: Cartographie de composition en Cadmium de l’instrument Microspoc
diff´erents r´egimes d’interf´erence dans le cas de PFIR HgCdTe, que nous avons mis `a profit pour l’estimation des param`etres du mod`ele exhaustif. Nous avons cherch´e `a mettre au point des m´ethodes d’extraction de param`etres, les plus ind´ependantes les unes des autres, afin de d´ecorr´eler le plus possible l’effet de chaque param`etre sur la sortie du mod`ele. Cela nous a permis d’avoir une plus grande confiance dans la r´ealit´e physique des donn´ees, vu notre volont´e de raccorder r´eguli`erement le mod`ele au comportement physique attendu.
Outre la pr´ediction des r´eponses spectrales, l’avantage de cette approche de mod´elisation est qu’elle se base sur des param`etres technologiques. Cela permet d’identifier des car-tographies de la variabilit´e spatiale du nombre d’onde de coupure, de l’´epaisseur, et de la composition en Cadmium, ce qui repr´esente un outil int´eressant pour l’´evaluation des performances d’une technologie particuli`ere.
Cette approche ouvre ´egalement des perspectives pour la mod´elisation du comporte-ment spectral des spectrom`etres (tels que Microspoc) et des spectro-imageurs.
Chapitre 4
Application ` a un micro-spectrom` etre
Sommaire
4.1 Principe de restitution de spectres . . . . 124 4.1.1 Formulation du probl`eme direct . . . 125 4.1.2 Mesure des r´eponses exp´erimentales des d´etecteurs . . . 125 4.2 Notions sur la D´ecomposition en Valeurs Singuli`eres Tronqu´ee127 4.2.1 Solution au sens des moindres carr´es . . . 127 4.2.2 Notions sur la D´ecomposition en Valeurs Singuli`eres . . . 127 4.2.3 Pr´esentation de la D´ecomposition en Valeurs Singuli`eres Tronqu´ee
. . . 129 4.3 Inversion du mod`ele exhaustif . . . . 130 4.3.1 Construction de la matrice M avec le mod`ele exhaustif . . . 130 4.3.2 Simulation d’un interf´erogramme mesur´e par Microspoc . . . . 132 4.3.3 Etude de l’inversibilit´´ e du mod`ele exhaustif . . . 132 4.4 Inversion du mod`ele heuristique . . . . 134 4.4.1 Inversion du mod`ele heuristique `a 3 ondes . . . 135 4.4.2 Inversion du mod`ele heuristique `a 4 ondes . . . 136 4.4.3 Inversion du mod`ele heuristique `a 4 ondes modifi´e . . . 136 4.4.4 Conclusion sur l’inversibilit´e du mod`ele exhaustif . . . 138 4.5 Analyse de sensibilit´e du mod`ele exhaustif . . . . 140 4.5.1 Principe g´en´eral de l’analyse de sensibilit´e . . . 141 4.5.2 Description des ´etapes suivies pour l’analyse de sensibilit´e . . . 141 4.5.3 Pr´esentation de la m´ethode d’analyse de sensibilit´e choisie . . . 144 4.5.4 Choix des plages de variation de param`etres pour le plan d’exp´erience
`
a trois niveaux . . . 145 4.5.5 Pr´esentation des premiers r´esultats de l’analyse de sensibilit´e . 150 4.5.6 Calcul des indices de sensibilit´e . . . 155
Chapitre 4. Application `a un micro-spectrom`etre
4.5.7 Analyse plus fine par construction de m´eta-mod`ele . . . 158 4.6 Restitution de spectres exp´erimentaux et pistes d’am´elioration163 4.6.1 Principe de mesure d’un interf´erogramme avec Microspoc . . . 163 4.6.2 Inversion des interf´erogrammes avec le mod`ele heuristique . . . 165 4.6.3 Estimation de param`etres par une m´ethode d’optimisation . . 168 4.7 Conclusion sur la restitution de spectres avec l’instrument
Microspoc . . . . 170
Nous nous int´eressons dans ce chapitre `a l’application des mod`eles exhaustif et heuristique dans le cas particulier de l’instrument Microspoc, pr´ec´edemment pr´esent´e.
L’objectif est d’´evaluer l’applicabilit´e de ces mod`eles pour am´eliorer la restitution de spectres.
Dans un premier temps, nous pr´esenterons le principe g´en´eral sur lequel repose la restitution de spectres de Microspoc. Ensuite, nous rappellerons des notions essentielles sur la technique d’inversion utilis´ee, qui repose sur la d´ecomposition en valeurs sin-guli`eres tronqu´ees. Cela nous permettra de pr´esenter les r´esultats d’inversibilit´e des mod`eles exhaustif et heuristique. Nous tenons `a pr´eciser que nous avons choisi de nous limiter `a cette m´ethode d’inversion, sans utiliser des m´ethodes plus sophistiqu´ees d’inversion r´egularis´ee, afin de conserver la maˆıtrise de la physique sous-jacente aux r´esultats obtenus. En effet, les m´ethodes d’inversion r´egularis´ee sont non lin´eaires [92], et rendent donc l’analyse des r´esultats plus difficile `a mener.
Enfin, nous montrerons quels param`etres influent le plus sur le mod`ele exhaustif afin d’´evaluer la pr´ecision d’estimation de param`etres d’entr´ee requise pour avoir une bonne qualit´e de restitution de spectre. Cette ´etude se fera grˆace `a une analyse de sensibilit´e bas´ee sur un plan factoriel, puis `a l’aide d’une seconde analyse plus fine, bas´ee sur la construction d’unm´eta-mod`ele.
4.1 Principe de restitution de spectres
Un des principaux int´erˆets de Microspoc est sa robustesse m´ecanique permettant d’imager directement sur la matrice de d´etection les franges d’interf´erences, sans avoir besoin d’une optique imageante.
Nous avons montr´e dans le chapitre 1 que le passage de l’interf´erogramme au spectre ne pouvait s’effectuer avec une simple transform´ee de Fourier dans le cas de Microspoc `a cause des disparit´es de longueurs d’onde de coupure, et de la pr´esence d’ondes multiples dans le ph´enom`ene d’interf´erence [66].
Chapitre 4. Application `a un micro-spectrom`etre
Une autre m´ethode d’estimation de spectres repose sur une approche de typeprobl`eme inverse, dans laquelle les r´eponses individuelles des pixels sont prises en compte, en par-ticulier les disparit´es de longueurs d’onde de coupure. L’objectif de cette partie est d’expliquer cette m´ethode.
4.1.1 Formulation du probl`eme direct
Nous commen¸cons d’abord par formuler le probl`eme sous la forme d’un mod`ele matriciel, qui utilise une matrice de passage entre le spectre et l’interf´erogramme, comme le mon-tre l’´equation (4.1). Dans cette expression, I repr´esente l’interf´erogramme mesur´e en fonction de la diff´erence de marche δ,S est le spectre que l’on veut estimer en fonction du nombre d’ondeσ,Mpδ, σq est la matrice de passage du spectre `a l’interf´erogramme.
Cette matrice repr´esente la formulation du probl`eme direct en r´ef´erence au probl`eme inverse, qui consistera `a estimer le spectre `a partir de l’interf´erogramme mesur´e. En fait, la formulation du probl`eme direct par cette ´equation suppose que le ph´enom`ene observ´e est lin´eaire, ce qui est bel est bien le cas dans cette ´etude, puisque le processus de mesure d’un pixel repose sur un signal int´egr´e sur l’intervalle spectral consid´er´e. Par ailleurs, on consid`ere qu’on se situe dans le r´egime lin´eaire du d´etecteur lors de la mesure des interf´erogrammes.
Ipδq Mpδ, σqSpσq bruit (4.1) En r´ealit´e, l’interf´erogramme mesur´e par Microspoc est bidimensionnel, dans les di-rectionsietj, d´ependant des diff´erences de marcheδi,j des pixels pi, jq. Pour appliquer l’´equation (4.1), il suffit alors de transformer la matrice Ipδi,jq en un tableau unidimen-sionnel Ipδq dont la dimension correspond au nombre total de pixels du d´etecteur.
Par ailleurs, si les tableaux Ipδq et Spσq sont de dimensionsnbpix et nbsg, alors la matrice M est n´ecessairement de taille nbpixnbsg. Chaque ligne i de cette matrice contient la r´eponse spectrale du pixel i`a tous les nombres d’ondeσ. Chaque colonne j de cette matrice correspond `a la r´eponse monochromatique `aσj de l’ensemble des pixels, soit la r´eponse monochromatique du d´etecteur.
Dans le paragraphe suivant, nous allons voir qu’une des techniques de d´etermination de la matriceM consiste tout simplement `a la mesurer.
4.1.2 Mesure des r´eponses exp´erimentales des d´etecteurs
L’ONERA a d´evelopp´e une technique de mesure de r´eponse spectrale de d´etecteurs infrarouge, bas´e sur l’utilisation d’un spectrom`etre infrarouge `a transform´ee de Fourier [17].
Chapitre 4. Application `a un micro-spectrom`etre
Comme sch´ematis´e sur la Figure 4.1, ce spectrom`etre est compos´e d’un interf´erom`etre de Michelson `a balayage temporel et d’une source de r´ef´erence infrarouge. La mesure de r´eponses spectrales s’effectue suivant la voie 1 du spectrom`etre. Le principe consiste
`
a balayer toutes les positions du miroir mobile de l’interf´erom`etre pour imager un in-terf´erogramme temporel sur chaque pixel du d´etecteur. Cet interf´erogramme est en fait la transform´ee de Fourier inverse du produit du spectre de la source de r´ef´erence par la r´eponse spectrale du pixel. Il suffit alors de connaˆıtre le spectre de la source pour en d´eduire, par transform´ee de Fourier, la r´eponse spectrale du pixel.
Il faut noter que pour remonter pr´ecis´ement `a l’information spectrale, la diff´erence de marche de l’interf´erom`etre doit ˆetre parfaitement maˆıtris´ee. C’est pour cela qu’un laser H´elium-N´eon suit le mˆeme trajet que le faisceau infrarouge dans l’interf´erom`etre, afin d’introduire une modulation suppl´ementaire du signal, permettant de mesurer pr´ecis´ement la diff´erence de marche entre les deux miroirs.
Figure 4.1: Sch´ema du spectrom`etre infrarouge `a transform´ee de Fourier servant `a la mesure des r´eponses spectrales d’un d´etecteur IR
La matrice des r´eponses spectrales de Microspoc ainsi mesur´ee permet une formu-lation du mod`ele direct de l’instrument. Une autre description possible de cette matrice repose sur l’utilisation du mod`ele exhaustif qui permet de remplacer la r´eponse spectrale mesur´ee de chaque pixel par sa r´eponse mod´elis´ee.
Nous allons ´etudier dans les sections suivantes le comportement des r´eponses spec-trales mod´elis´ees lors de leur utilisation pour inverser les interf´erogrammes. Pour cela, nous pr´esentons dans un premier temps la m´ethode d’inversion utilis´ee, qui repose sur la D´ecomposition en Valeurs Singuli`eres Tronqu´ee (TSVD : Truncated Singular Value De-composition). Ensuite, nous montrerons les r´esultats d’inversion des mod`eles exhaustif et heuristique.
Chapitre 4. Application `a un micro-spectrom`etre