Inversion du mod` ele heuristique

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a une r´esolution de 20cm1, sup´erieure `a la r´esolution avec laquelle nous l’avons g´en´er´e (2cm1) engendre des oscillations parasites sur le spectre restitu´e, particulier autour des nombres d’onde 3500cm1, 5500cm1 et 7200cm1. Ce comportement est dˆu en partie `a une redondance d’information dans la matrice des r´eponses spectrales, que nous pr´esenterons dans la section suivante. Nous donnerons alors une des pistes de r´eflexion envisag´ees.

Pour v´erifier que ce probl`eme est intrins`eque au mod`ele exhaustif, nous avons ef-fectu´e le mˆeme test d’inversion avec un mod`ele sinuso¨ıdal, contenant un seule terme en cosinus, qui permet de passer du spectre `a l’interf´erogramme. De la mˆeme mani`ere, en g´en´erant l’interf´erogramme `a 2cm1 puis en l’inversant avec ce mˆeme mod`ele `a la r´esolution de 20cm1, le spectre de corps noir restitu´e ne contient aucune oscillation par-asite. Le mod`ele sinuso¨ıdal, qui simule la transform´ee de Fourier du spectre, s’inverse donc parfaitement en changeant la r´esolution.

Pour expliquer ce comportement, et pouvoir rem´edier `a ce probl`eme d’oscillations parasites, nous allons ´etudier l’inversibilit´e du mod`ele heuristique `a 3 ondes, et celui

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etendu `a 4 ondes. En comparant les r´esultats d’inversion `a ceux du mod`ele exhaustif, nous allons identifier la source du probl`eme d’inversion dans le mod`ele exhaustif.

4.4 Inversion du mod` ele heuristique

Dans cette section, nous pr´esentons les r´esultats obtenus lors de l’inversion du mod`ele heuristique `a 3 ondes, que nous comparons au mod`ele heuristique ´etendu `a 4 ondes

Chapitre 4. Application `a un micro-spectrom`etre

Figure 4.5: Spectre d’un corps noir `a 150C restitu´e avec le mod`ele exhaustif selon la m´ethode sch´ematis´ee sur la Figure 4.4

d’interf´erence. Nous tirerons ensuite une conclusion sur l’inversibilit´e du mod`ele ex-haustif.

4.4.1 Inversion du mod`ele heuristique `a 3 ondes

Pour ´etudier l’inversibilit´e du mod`ele heuristique `a 3 ondes d’interf´erence, nous adoptons la mˆeme d´emarche que pour le mod`ele exhaustif. Nous appliquons donc les ´etapes repr´esent´ees sur la Figure 4.4, en g´en´erant les matrices M mod´elis´ees avec le mod`ele heuristique `a 3 ondes d’interf´erences, comme expliqu´e pr´ec´edemment dans la section 4.3.3.

La Figure 4.6 montre le spectre de corps noir restitu´e en utilisant le mod`ele heuris-tique `a 3 ondes d’interf´erence. On peut voir que le mod`ele heuristique s’inverse cor-rectement, mˆeme si le spectre est particuli`erement d´egrad´e autour des nombres d’onde de coupure. Ceci peut ˆetre expliqu´e par le fait que la r´eponse spectrale simul´ee par ce mod`ele est particuli`erement oscillante autour des nombres d’onde de coupure. Cepen-dant, le spectre ne contient pas d’oscillations locales, telles que celles observ´ees sur la Figure 4.5 pour le mod`ele exhaustif.

En outre, les oscillations rapides observ´ees sur l’ensemble du spectre peuvent ˆetre corrig´ees, notamment avec une m´ethode d’inversion qui utilise des crit`eres de r´egularisation adapt´ees au spectre mesur´e.

Dans le paragraphe suivant, nous nous int´eresserons `a l’inversibilit´e du mod`ele heuristique ´etendu `a 4 ondes d’interf´erence.

Chapitre 4. Application `a un micro-spectrom`etre

Figure 4.6: Spectre d’un corps noir `a 150C restitu´e avec le mod`ele heuristique `a 3 ondes selon la m´ethode sch´ematis´ee sur la Figure 4.4

4.4.2 Inversion du mod`ele heuristique `a 4 ondes

De la mˆeme fa¸con que pour le mod`ele heuristique `a 3 ondes, nous adoptons les ´etapes d´ecrites dans la Figure 4.4 afin de tester l’inversibilit´e du mod`ele heuristique `a 4 ondes.

La Figure 4.7 repr´esente le spectre de corps noir restitu´e avec ce mod`ele heuristique

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etendu `a 4 ondes. Nous pouvons clairement en d´eduire que ce mod`ele s’inverse moins bien que le mod`ele heuristique `a 3 ondes, puisque le spectre pr´esente d’importantes oscillations parasites autour du nombre d’onde 3500 cm1. Cette zone d’oscillation est similaire `a celle pr´esente sur la Figure 4.5 pour le mod`ele exhaustif.

Ainsi, mˆeme si l’ajout d’une quatri`eme onde d’interf´erence compl`ete le mod`ele `a 3 ondes d’interf´erence pour mieux d´ecrire le comportement du mod`ele exhaustif, cela n’est pas favorable au processus d’inversion du mod`ele heuristique.

Dans le paragraphe suivant, nous allons voir pr´ecis´ement quel terme analytique pose probl`eme dans le processus d’inversion des interf´erogrammes avec le mod`ele heuristique

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a 4 ondes.

4.4.3 Inversion du mod`ele heuristique `a 4 ondes modifi´e

Etant donn´´ e que le mod`ele heuristique `a 4 ondes d’interf´erence ne s’inverse pas correcte-ment, nous nous proposons d’expliquer ce ph´enom`ene en retirant de sa formule (rappel´ee par l’´equation (4.14)) le dernier terme, not´e Bpσq et exprim´e par l’´equation (4.15).

Chapitre 4. Application `a un micro-spectrom`etre

Figure 4.7: Spectre d’un corps noir `a 150C restitu´e avec le mod`ele heuristique `a 4 ondes selon la m´ethode sch´ematis´ee sur la Figure 4.4

η4ondespσq η0 4ondespσq

1pσqρ2pσq·cosr2πσδspσq φ2pσq φ1pσqs 2ρ2pσqρ3pσq·cosr2πσδzapσq φ3pσq φ2pσqs 2ρ1pσqρ3pσq·cosr2πσpδspσq δzapσqq φ3pσq φ1pσqs 2ρ3pσqρ4pσq·cosr2πσpδspσq δzapσqq φ4pσq φ3pσqs 2ρ2pσqρ4pσq·cosr2πσpδspσq 2δzapσqq φ4pσq φ2pσqs 2ρ1pσqρ4pσq·cosr2πσp2δspσq 2δzapσqq φ4pσq φ1pσqs

(4.14)

Bpσq ρ1pσqρ4pσq·cosr2πσp2δspσq 2δzapσqq φ4pσq φ1pσqs (4.15) Ce terme contient une fr´equence double du troisi`eme terme de l’´equation (4.14), not´eCpσqet exprim´e par l’´equation (4.16).

Cpσq 2ρ1pσqρ3pσq·cosr2πσpδspσq δzapσqq φ3pσq φ1pσqs (4.16)

Chapitre 4. Application `a un micro-spectrom`etre

Ainsi, lors de l’inversion par la m´ethode de TSVD, le terme Bpσq pourrait poser probl`eme car il cr´ee une redondance d’information (redondance de fr´equence) qui doit ˆ

etre g´er´ee par la m´ethode d’inversion.

Pour confirmer cela, nous avons test´e l’inversibilit´e du mod`ele heuristique `a 4 on-des formul´e par l’´equation (4.14), en lui retirant le terme Bpσq exprim´e par l’´equation (4.15). Le mod`ele r´esultant est appel´e mod`ele heuristique `a 4 ondes modifi´e. De la mˆeme mani`ere que pour les mod`eles pr´ec´edents, nous avons d’abord g´en´er´e des in-terf´erogrammes avec ce mod`ele `a la r´esolution 2cm1, que nous avons ensuite invers´e en utilisant le mˆeme mod`ele avec une r´esolution diff´erente de 20cm1.

Le spectre restitu´e est repr´esent´e sur la Figure 4.8. Il ne contient plus d’oscillations parasites locales, mais uniquement celles observ´ees autour de la coupure. Nous pouvons en d´eduire que le mod`ele heuristique `a 4 ondes modifi´e s’inverse mieux que le mod`ele heuristique `a 4 ondes, ce qui confirme bien que c’est le termeBpσq qui pose probl`eme dans le processus d’inversion.

Figure 4.8: Spectre d’un corps noir `a 150C restitu´e avec le mod`ele heuristique `a 4 ondes modifi´e selon la m´ethode sch´ematis´ee sur la Figure 4.4

Nous verrons plus loin en quoi cette information nous sera utile pour l’am´elioration de l’inversibilit´e du mod`ele exhaustif.

4.4.4 Conclusion sur l’inversibilit´e du mod`ele exhaustif

Nous avons vu au paragraphe 4.3.3 que les spectres restitu´es par le mod`ele exhaustif pr´esentent des oscillations parasites, prouvant que le mod`ele s’inverse mal.

Chapitre 4. Application `a un micro-spectrom`etre

En outre, le mod`ele heuristique `a 3 ondes s’inverse correctement, `a la diff´erence du mod`ele `a 4 ondes qui s’inverse mal. Nous avons pu ´etablir que le mod`ele `a 4 ondes modifi´e s’inverse correctement. Cependant, ce mod`ele ne correspond `a aucune r´ealit´e physique puisque nous avons retir´e un terme de l’´equation analytique du mod`ele `a 4 ondes d’interf´erence. Il n’est donc pas possible de simuler son comportement en utilisant les r´egimes d’interf´erence identifi´es dans le mod`ele exhaustif.

Figure 4.9: Superposition des r´eponses spectrales mod´elis´ees avec le mod`ele exhaustif et le mod`ele heuristique

En revanche, il est possible de reproduire le comportement du mod`ele heuristique `a 3 ondes d’interf´erence avec le mod`ele exhaustif sur une certaine gamme spectrale, comme le montre la Figure 4.9 (identique `a la Figure 3.21 pr´ec´edemment pr´esent´ee au chapitre 3). Pour cela, il suffit de filtrer la r´eponse spectrale simul´ee par le mod`ele exhaustif au r´egime `a 3 ondes pr´ec´edemment identifi´e, ce qui revient `a filtrer les nombres d’onde inf´erieurs `a 1950cm1.

Le spectre restitu´e avec le mod`ele exhaustif filtr´e au r´egime `a 3 ondes d’interf´erence sont repr´esent´es sur la Figure 4.10. On peut remarquer que la qualit´e du spectre de corps noir restitu´e est meilleure que celle observ´ee sur la Figure 4.5 en utilisant le mod`ele exhaustif non filtr´e.

Ainsi, pour l’inversion des spectres de Microspoc, nous proposons d’utiliser le mod`ele exhaustif, dont on estimera les param`etres, et qui sera filtr´e au r´egime `a 3 ondes d’interf´erence, soit `a 1950cm1.

Chapitre 4. Application `a un micro-spectrom`etre

Figure 4.10: Spectre d’un corps noir `a 150C restitu´e avec le mod`ele exhaustif filtr´e

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a 1950cm1, selon la m´ethode sch´ematis´ee sur la Figure 4.4

Maintenant que nous avons ´etudi´e l’inversibilit´e du mod`ele exhaustif en d´efinissant l’intervalle spectral sur lequel la restitution de spectres est acceptable, nous nous pro-posons d’effectuer une analyse de sensibilit´e sur les param`etres du mod`ele. L’objectif est d’´evaluer la pr´ecision requise sur les param`etres estim´es pour obtenir une bonne qualit´e de restitution de spectres `a l’aide de l’instrument Microspoc.

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