Mod´ elisation du coefficient d’absorption du HgCdTe

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Le coefficient d’absorption lin´eiqueαd’une couche optique est directement li´e `a la partie imaginaireκ de son indice de r´efraction, par l’´equation (2.3).

κpσq αpσq

4πσ (2.3)

Ainsi, pour ´evaluer la partie imaginaire de l’indice de r´efraction, il suffit d’´evaluer le coefficient d’absorption de la couche HgCdTe. Pour cela, nous avons utilis´e deux mod`eles, trouv´es dans la litt´erature, correspondant aux r´egimes au-dessus et en-dessous de l’´energie de gap. Nous avons ´evalu´e l’´energie de transitionET entre ces deux r´egimes s´epar´ement, car elle ne co¨ıncide pas avec l’´energie de gap [103], en utilisant l’´equation (2.4). Dans cette formule,αT est le coefficient d’absorption `a cette transition, exprim´e en fonction de la composition en Cadmiumx et de la temp´eratureT en K,ET correspond

`

a l’´energie pour laquelle le coefficient d’absorption est ´egal `a αT.

αTpx, Tq 3.9778T566.4 p0.020366T20.46742T 3878.9qx (2.4)

2.2.1 Calcul de l’´energie de gap

Pour obtenir l’´energie de gapEg, nous avons utilis´e l’´equation (2.5), o`uEg est exprim´ee en eV et T en K. Cette expression a ´et´e publi´ee par Seiler et al. [104], et permet de prendre en compte la variation thermique non lin´eaire deEg pour des temp´eratures en-dessous de 100K, tout en restant valable `a temp´erature ambiante. Elle est applicable pour des valeurs de compositions en Cadmium telles que 0.17  x 0.30, ce qui corre-spond `a des longueurs d’ondes de coupure typiques allant du MWIR au VLWIR. Pour des temp´eratures sup´erieures `a 100K, cette expression est asymptotique `a l’´equation (1.1) de Hansen-Schmit-Casselman (HSC) [33], utilis´ee commun´ement.

Egpx, Tq 0.302 1.93x0.810x2 0.832x3

A titre illustratif, nous avons trac´e la diff´erence entre ces deux expressions de Eg en fonction du nombre d’onde ´equivalent σgg 1.24Eg 104) sur la Figure 2.1. Plus pr´ecis´ement, nous avons repr´esent´e ∆σg σgHSC σgSeiler exprim´e en cm1, dans le but de comparer la diff´erence entre les deux expressions aux ordres de grandeur connus de variations de nombres d’onde de coupure dans une matrice de d´etecteur. On peut observer sur la Figure 2.1 que cette diff´erence est maximale pour des temp´eratures tr`es

Chapitre 2. Etude des propri´´ et´es optiques du HgCdTe

Figure 2.1: Diff´erence entre les formules d’´energie de gap duHg1xCdxT ede Hansen-Schmit-Casselman [33] et Seiler et al. [104], exprim´ee en nombre d’onde ∆σg

correspon-dant `a la diff´erence d’´energie de gap ∆Eg

basses (T   20K), et atteint 35cm1, soit 0.32µm en diff´erence de longueur d’onde.

Cela repr´esente une erreur importante si l’on compare ces ordres de grandeurs aux variations de longueurs d’onde de coupures usuelles trouv´ees dans la litt´erature, qui sont de l’ordre de 0.1µm dans le MWIR (voir Section 2.6.2). Dans nos applications, x0.29 etT 80K, ce qui correspond `a une erreur d’environ 8cm1, soit 0.024µm en diff´erence de longueur d’onde, qui est toujours comparable aux variations observ´ees dans des d´etecteurs du MWIR. L’utilisation de la formule (2.5) pr´esente un int´erˆet certain pour l’´evaluation de l’´energie de gap dans notre approche de mod´elisation, ´etant donn´e que notre cas d’application concerne les basses temp´eratures.

2.2.2 Calcul du coefficient d’absorption `a 80K

Pour simuler le coefficient d’absorption `a basse temp´erature p80Kq, nous avons com-bin´e deux mod`eles d’absorption. Le premier mod`ele est exprim´e par l’´equation (2.6).

Il correspond au r´egime en-dessous de l’´energie de gap, et est extrait des travaux de Finkman et al. [99]. Comme le montre l’´equation (2.6), le comportement d’absorption suit une loi exponentielle, ´egalement qualifi´ee de loi d’Urbach modifi´ee. Elle est fonc-tion de l’´energie de photon E, de l’´energie de gap Eg, de la temp´erature T, et de la composition en Cadmium x.

Chapitre 2. Etude des propri´´ et´es optiques du HgCdTe

αpE Egq α0exp

σpEE0q T T0

cm1 T0 81.9K

E0 0.3424 1.838xeV σ 32670p1 xq

α0 expp18.88 53.61xqcm1

(2.6) Par ailleurs, nous avons utilis´e une expression empirique pour d´ecrire l’absorption au-dessus de l’´energie de gap, issue des travaux de Moazzami et al. [97], donn´ee par l’´equation (2.7). Elle pr´esente un meilleur accord avec les mesures exp´erimentales de Moazzami que le mod`ele hyperbolique publi´e par Krishnamurthy et al. [105].

Figure 2.2: Coefficient d’absorption optique αde Hg1xCdxT e simul´e `a 80K pour une compositionx0.292

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αpE ¡Egq KpEEgqn E

K 20060 115750x 32.43T64170x2 0.43231T2101.92xT n0.744870.44513x p0.0007990.000757xqT

(2.7) La Figure 2.2 montre le r´esultat obtenu en combinant les deux mod`eles d’absorption, et en r´ealisant une transition entre ces r´egimes `a ET via deux fonctions de pond´eration illustr´ees sur ce mˆeme graphique. Le cas illustr´e correspond `a x 0.292 et T 80K, ce qui sera dans la suite notre principal cas d’´etude. Comme on peut le voir, l’´energie de transition est diff´erente de l’´energie de gap. Le coefficient d’absorption au-dessus du gap (αpE ¡Egq) a ´et´e prolong´e en valeurs nulles pour des ´energies inf´erieures `a l’´energie de gap, pour des besoins de convergence de calcul, dans la mesure o`u on estime qu’il n’est plus valable en-dessous du gap. Le coefficient d’absorption global est obtenu par combinaison lin´eaire des deux r´egimes d’absorption, pond´er´ee par des fonctions ad hoc, croissantes et d´ecroissantes, not´eesfcroissanteetfdecroissante, comme le montre l’´equation (2.8).

αpEq αpE Egq·fdecroissante αpE ¡Egq·fcroissante (2.8)

Figure 2.3: Coefficient d’absorption de Hg1xCdxT e simul´e `a 80K pour diff´erentes compositionsx

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La Figure 2.3 montre les coefficients d’absorption pour plusieurs compositions en Cadmium, `a 80K. On peut remarquer que le coefficient d’absorption varie en fonction de la composition autour du r´egime de transition (r´egime de coupure) ainsi que dans le r´egime d’absorption forte. En outre, au fur et `a mesure que x augmente, la longueur d’onde de coupure diminue.

2.2.3 Calcul du coefficient d’absorption `a 300K

A temp´erature ambiante p300Kq, nous avons calcul´e le coefficient d’absorption de la mˆeme mani`ere que dans le cas `a 80K, `a part dans le r´egime au-dessus de l’´energie de gap. Nous avons d´ecid´e de v´erifier la validit´e de l’´equation (2.7), publi´ee par Moazzami et al. [97], dans ce r´egime. Pour cela, nous avons superpos´e ce mod`ele appliqu´e `a 300K aux mesures exp´erimentales `a 300K, publi´ees dans la mˆeme r´ef´erence, tel que nous l’avons repr´esent´e sur la Figure 2.4.

Nous pr´ecisons que, sur cette figure, ce sont les parties imaginaires de l’indice qui sont superpos´ees, ce qui revient `a comparer les coefficients d’absorption, puisque les deux grandeurs sont li´ees par la formule (2.3).

Figure 2.4: Superposition des parties imaginaires de l’indice de r´efraction κpσq du HgCdTe: une calcul´ee et une mesur´ee `a 300K pour x 0.310, tir´ees des travaux de

Moazzami et al. [97]

Nous pouvons observer clairement qu’il y a un d´esaccord entre les deux courbes, ce qui a ´et´e confirm´e par la suite par l’´equipe de recherche ´etant `a l’origine de la publication de Moazzami et al. [97], suite `a notre sollicitation.

Par cons´equent, nous avons d´ecid´e de ne pas utiliser la formule (2.7) `a temp´erature ambiante, et changer de source bibliographique. Nous avons choisi d’utiliser des mesures

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d’absorption `a temp´erature ambiante (300K) publi´ees par Daraselia et al. [101]. Celles-ci sont repr´esent´ees sur la Figure 2.5, et concernent le domaine au-dessus de l’´energie de gap pour plusieurs compositions de Cadmium.

Figure 2.5: Mod`ele empirique du coefficient d’absorption de Hg1xCdxT e `a 300K pour diff´erentes compositions de Cadmium x[101], superpos´e au mod`ele de Finkman

et Schacham. Extrait de [99]

Une fois le coefficient mod´elis´e dans la totalit´e du domaine spectral d’´etude, nous al-lons l’utiliser pour calculer la partie r´eelle de l’indice de r´efraction du mat´eriau HgCdTe, en utilisant les relations de Kramers-Kr¨onig.

2.3 M´ ethode de calcul bas´ ee sur les relations de

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