Analyse plus fine par construction de m´ eta-mod` ele

Etant donn´´ e que les premiers r´esultats d’analyse de sensibilit´e ont montr´e que la compo-sition en Cadmium avait tr`es peu d’influence sur la sortie du mod`ele, nous allons fixer ce param`etre `a sa valeur nominale dans la suite de l’analyse. Nous nous int´eresserons donc uniquement `a trois param`etres d’entr´ee qui sont l’´epaisseur de substrat es, l’´epaisseur de zone activeezaet l’indice de substrat ns.

Dans les paragraphes suivants nous allons d’abord expliquer la d´emarche que nous avons adopt´ee pour effectuer cette ´etude bas´ee sur un m´eta-mod`ele, pour pr´esenter ensuite les r´esultats obtenus.

4.5.7.1 Pr´esentation de la d´emarche adopt´ee

Tout d’abord, nous d´ecrivons les ´ecarts-types sur les param`etres incertainsX_i selon une loi uniforme sur les plages de variations entre les niveaux 0 et 2, pr´ec´edemment pr´ecis´es au paragraphe 4.2.

L’´etape suivante consiste `a construire un plan ”space filling” [134] form´e de 300 points qui sont r´epartis uniform´ement dans l’espace de dimension 3.

Par ailleurs, nous estimons la sortieY, suivant le mˆeme proc´ed´e que pour l’analyse de sensibilit´e avec les 81 cas du plan factoriel (voir section 4.5.3). Enfin, nous construisons un m´eta-mod`ele `a partir de ce nuage de points, exprimant la sortie Y en fonction des entr´ees X_i. Dans notre cas, la sortie du mod`ele est tr`es bien d´ecrite par un mod`ele de r´egression lin´eaire avec deux param`etres d’entr´ee, qui tient compte des interactions entre ces param`etres. Le coefficient de d´etermination R<sup>2</sup> obtenu est sup´erieur `a 0.95. Pour chaque spectre ´etudi´e, les deux param`etres d’entr´ee correspondent aux param`etres les plus influents selon les r´esultats pr´ec´edents de l’analyse de sensibilit´e (voir Figure 4.19), comme pr´ecis´e ci-dessous :

Chapitre 4. Application `a un micro-spectrom`etre

• l’´epaisseur de substrateset l’indice de r´efraction du substratnspour le spectre de corps noir, le spectre porte, et le spectre Gaussien centr´e sur l’intervalle spectral d’´etude.

• l’´epaisseur de substrateset l’´epaisseur de zone activeezapour le spectre Gaussien proche des nombres d’onde de coupure.

4.5.7.2 R´esultats obtenus

Les r´esultats obtenus pour les quatre spectres ´etudi´es sont pr´esent´es sur les Figures 4.20, 4.21, 4.22, 4.23.

Figure 4.20: Ecarts en norme´ L1 entre le spectre de r´ef´erence et le spectre simul´e, dans le cas du spectre d’un corps noir `a 150C(contenant du beaucoup de signal autour des nombres d’onde de coupure) en fonction des ´ecarts en ´epaisseur de substrates et

de l’indice de substratns

Sur ces graphiques, nous avons repr´esent´e les ´ecarts en norme L1 estim´es entre le spectre de r´ef´erence et le spectre restitu´e, correspondant `a la sortieY du mod`ele lin´eaire.

Chapitre 4. Application `a un micro-spectrom`etre

Figure 4.21: Ecarts en norme´ L1 entre le spectre de r´ef´erence et le spectre simul´e, dans le cas d’un spectre porte en fonction des ´ecarts en ´epaisseur de substrateset de

l’indice de substratns

Cet ´ecart est pr´esent´e en fonction des ´ecarts sur les deux param`etres les plus influents pour chaque spectre, comme pr´ecis´e plus haut.

Les valeurs num´eriques des ´ecarts de spectre sont exprim´ees en ´echelle arbitraire.

Nous avons repr´esent´e sur ces graphiques les plages de variation pour lesquelles nous obtenons des spectres tr`es d´egrad´es, tels que les spectres repr´esent´es sur la Figure 4.18.

Cela correspond `a des ´ecarts sup´erieurs `a 20 (et `a 15 pour le spectre Gaussien autour de la coupure). Ces seuils sont empiriques, ils ont ´et´e ´evalu´es sur 81 spectres et pourraient ˆ

etre r´eadapt´es `a la mission sp´ecifi´ee pour l’instrument Microspoc.

De mˆeme, nous avons repr´esent´e les plages de variations de param`etres qui perme-ttent d’obtenir des spectres moyennement d´egrad´es, tels que les spectres de la Figure 4.17. Cela correspond `a des ´ecarts compris entre 10 et 15 (et entre 10 et 12 pour le spectre Gaussien proche des nombres d’onde de coupure).

Chapitre 4. Application `a un micro-spectrom`etre

Figure 4.22: Ecarts en norme´ L1 entre le spectre de r´ef´erence et le spectre simul´e, dans le cas d’un spectre Gaussien centr´e sur l’intervalle d’´etude en fonction des ´ecarts

en ´epaisseur de substrateset de l’indice de substratns

Enfin, les plages de variations de param`etres donnant des spectres correctement restitu´es tels que ceux de la Figure 4.16 sont ´egalement repr´esent´es. Ces ´ecarts sont estim´es inf´erieurs `a 10 pour l’ensemble des spectres ´etudi´es.

Il faut noter que les seuils choisis pour le spectre Gaussien proche de la coupure ne sont pas les mˆemes que ceux des autres spectres car les param`etres mis en jeu sont diff´erents (´epaisseur de zone active au lieu de l’indice de r´efraction du substrat).

4.5.7.3 Analyse et discussion des r´esultats obtenus

Au vu de ces diagrammes nous pouvons tirer plusieurs conclusions concernant la pr´ecision n´ecessaire sur les param`etres d’entr´ee du mod`ele exhaustif afin d’avoir une bonne qualit´e de restitution de spectre.

Chapitre 4. Application `a un micro-spectrom`etre

Figure 4.23: Ecarts en norme´ L1 entre le spectre de r´ef´erence et le spectre simul´e, dans le cas d’un spectre Gaussien proche des nombres d’onde de coupure en fonction

des ´ecarts en ´epaisseur de substrateset de l’´epaisseur de zone activeeza

Nous remarquons d’abord que le spectre en forme de porte est l´eg`erement plus tol´erant aux ´ecarts sur les param`etres d’entr´ee qui sont l’´epaisseur et l’indice du substrat, compar´e au spectre Gaussien centr´e et le spectre de corps noir. Il faut noter que, pour ce spectre, le calcul d’´ecart en norme L1 ne prend pas en compte les plages de longueurs d’onde pour lesquels on observe des oscillations dues `a la discontinuit´e du spectre (ph´enom`ene de Gibbs). Le but est de s’affranchir de ce ph´enom`ene afin d’avoir des ´ecarts comparables `a ceux des autres spectres. Cela peut expliquer le fait que la zone qui permet d’obtenir une restitution de spectre de bonne qualit´e est plus large pour le spectre de porte compar´e aux autres spectres.

On peut ´egalement d´eduire des Figures 4.20, 4.21 et 4.22, 4.23 que pour avoir une bonne qualit´e d’estimation de spectre, il est n´ecessaire de connaˆıtre l’´epaisseur de sub-strat avec une pr´ecision inf´erieure `a 0.03µm. Cette pr´ecision est meilleure que celle obtenue avec notre m´ethode d’estimation d’un facteur 2.

De plus, pour bien restituer les spectres, l’indice de substrat doit ˆetre connu avec

Chapitre 4. Application `a un micro-spectrom`etre

une pr´ecision meilleure que 0.5%. Ce seuil est sup´erieur aux pr´ecisions ´evalu´ees par les niveauxns0 etns1, extraites de la litt´erature. D’autre part, nous observons qu’au-del`a d’une incertitude sur l’indice de substrat de 1.5%, la qualit´e des spectres restitu´ees est fortement d´egrad´ee. Sachant que le substrat est constitu´e deCdZnT eet non deCdT e, nous n’avons pas, `a notre connaissance, de donn´ees suffisantes pour ´evaluer si l’indice r´eel du substrat (donc du CdZnT e) diff`ere de celui duCdT ed’un ´ecart assez important (comparable au seuil de 1.5%) pour rendre la restitution de spectre tr`es d´egrad´ee.

Par ailleurs, nous pouvons d´eduire de la Figure 4.23 que pour traiter le cas d’un spectre Gaussien proche des nombres d’onde de coupure, il faut connaˆıtre l’´epaisseur de zone active avec une pr´ecision meilleure que 0.8µm. Notre pr´ecision d’estimation deeza (´evalu´ee `a 0.3µm, correspondant au niveaueza1) suffit donc pour avoir des spectres de bonne qualit´e.

Dans la section suivante, nous pr´esentons et discutons les premiers r´esultats exp´erimentaux obtenus, en inversant les donn´ees avec le mod`ele heuristique. Nous abordons ensuite une des pistes d’am´elioration des m´ethodes d’estimation de param`etres par une technique d’optimisation.