L’analyse du basculement de la position latérale du barycentre nous permet d’en-visager le contrôle de la symétrie du sillage par mode glissant. Cette partie a pour but de présenter rapidement le principe de la commande par mode glissant et de décrire l’approche utilisée dans notre démarche expérimentale.
Section 1. Présentation de la méthode
1.1 Généralités
Le contrôle par mode glissant (CMG) est une technique très répandue dans la synthèse de commande pour les systèmes non linéaires. La commande par mode glissant consiste en deux phases (Khalil, 2002a) :
• la phase de convergence en temps fini vers une surface de glissement, • la phase de glissement asymptotique sur cette surface vers l’équilibre
On appelle mode glissant la dynamique du système à contrôler lorsqu’il est en phase de glissement asymptotique.
Les travaux fondateurs deKorovin and Utkin (1974), Slotine (1984), Utkin (1992) décrivent les possibilités de cette méthode de contrôle qui peut être utilisée avec un modèle simple du système.
Une commande par mode glissant est caractérisée également par des dynamiques d’actionnement différentes dans les domaines séparés par la surface de glissement. Imaginez un bateau qui devrait suivre un cap dans une tempête puissante, les courants le faisant changer de direction tantôt vers la droite et tantôt vers la gauche, par rapport à un cap à suivre. On peut définir une régulation par mode glissant simple qui affecte une commande positive pour ramener le bateau de la gauche vers la droite et une commande négative qui ramène le bateau vers la gauche. Les deux domaines séparés par la surface de glissement qui mène au cap du bateau sont opposés et cela rend l’actionnement discontinu lors du franchissement de la surface de glissement.
En pratique, il est crucial de pouvoir réduire la durée de la phase de convergence pour assurer une prise en compte rapide des perturbations appliquées au système et augmenter la performance du contrôle. Pour cela, il est alors commun de saturer les actionneurs pour favoriser des convergences rapides vers la surface de glissement. Cependant, ces saturations de commande peuvent conduire à des apports trop importants d’énergie dans le système notamment à proximité de la surface de glissement.
En effet, une fois la phase de convergence terminée, le système entre dans le mode glissant et des commutations de commande en fonction des domaines délimités par la surface de glissement dans lequel on se trouve permettent de suivre la trajectoire objectif. Toutefois, les commutations ne peuvent pas s’effectuer à une fréquence infinie et un phénomène de fluctuations hautes fréquences aux bords de la surface de glissement apparaît (voir figure 4.2). Nommé broutement, ou encore réticence en français, et, en anglais, chattering, ce phénomène rapide est problématique pour les systèmes mécaniques sensibles à la fatigue. De plus, la réticence diminue la précision du contrôle (Utkin, 1992). Pour éviter des fluctuations à haute fréquence, des ajustements de l’amplitude de la commande peuvent être mis en place pour éviter des dépassements de la surface de glissement (Bessa et al., 2010, El Makrini et al.,2016).
Figure 4.2 – Trajectoire typique d’un système contrôlé par mode glissant ( ) : convergence vers la surface de glissement s = 0 ( ) et mode glissant avec réticence.
Une autre technique de réduction de la réticence utilise le contrôle par mode glissant d’ordre supérieur. Cette approche nécessite un modèle du système pour définir une surface de glissement satisfaisant les conditions d’attractivité de la méthode. Les modes glissants d’ordres supérieurs ont l’avantage de réduire la réticence et d’augmenter les performances du contrôle tout en conservant la robustesse du contrôle par mode glissant le plus simple. En contrepartie, ils présentent certains désavantages, comme potentiellement, un retard supplémentaire et la sensibilité à la précision du modèle utilisé.
Pour les actionneurs de la maquette ActivROAD, on utilise des jets d’air pulsé à haute fréquence dont l’amplitude ne peut pas être facilement réduite. Les jets utilisés produisent un effet saturé et discontinu dont la puissance dépend de la pression d’alimentation Pi et de la fréquence d’actionnement f. Bien que la fréquence d’actionnement puisse être modifiée presque instantanément par le contrôle des signaux TTL envoyés aux boîtiers de commande (voir architecture de commande à la partie2.3 du chapitre1), la pression d’alimentation, elle, dépend de phénomènes pneumatiques plus lents. Ainsi, un ajustement de la pression d’alimentation en fonction de la distance à la surface de glissement n’est pas envisageable pour réduire l’impact de l’actionnement et atténuer la réticence.
En revanche, comme il a été vu en partie3.4 du chapitre3, la génération de quelques jets d’un côté de la maquette de peut provoquer le basculement de la position du barycentre. En l’absence de modèle précis de l’effet de l’actionnement sur la symétrie du sillage, un contrôle par mode glissant avec une adaptation de la longueur des paquets de jets générés pour faire basculer le barycentre pourrait donc être envisagée pour réduire la force des jets lors du mode glissant.
Section 1. Présentation de la méthode
Figure 4.3 – Schéma bloc du contrôle par mode glissant d’ordre 1 : l’état de la symétrie X est comparé à une valeur de référence, X0 = 0 et utilisé pour l’actionnement positif, u = +1 ou négatif u = −1 selon le signe de l’écart ε =
X0− X = −X.
1.2 Contrôle par mode glissant du barycentre
Dans un premier temps, on se place dans un cas d’écoulement aligné (β = 0°). Le contrôle est régi par le schéma bloc présenté par la figure4.3. L’état du système est mesuré par son indicateur de symétrie adimensionné par dyb0, à savoir yb/dyb0. Le signal est filtré à 100 Hz pour donner X, la variable à réguler1. La valeur objectif de notre régulation est constante et donnée par X0 = 0.
Grâce aux observations de la section3 du chapitre 3, on base le contrôle par mode glissant sur le modèle :
˙
X = Ku (4.1)
où ˙X est la dérivée par rapport au temps de la position du barycentre, u est la commande appliquée au système (u = +1 correspondant à l’activation du côté droit du culot, et inversement), et K est un coefficient de vitesse de transition qui dépend de la fréquence d’actionnement, de la pression d’alimentation des EVs (cf. partie 3.2 au chapitre 3) et de la technologie d’actionneurs.
Une stratégie d’opposition du type de celui proposé par Li et al. (2016) pourrait alors être utilisée en définissant :
u= −sign(X) (4.2)
Sous les hypothèses et conditions des équations (4.1) et (4.2), on peut définir un contrôle par mode glissant par :
• la surface de glissement :
S = X (4.3)
• la commande stabilisante pour X0 = 0 :
u= −sign(X) = 1
KX˙ (4.4)
• la condition d’attractivité :
S ˙S = −Ksign(X)X < 0, ∀X 6= 0 (4.5)
o`u S ˙S = −K|S| < 0 (4.6)
Utilisons maintenant la fonction de Lyapunov candidate, V, telle que définie par l’équation (4.7) :
V = 12S2 (4.7)
La définition (4.7) et l’équation (4.6) conduisent à démontrer que la commande définie par (4.2) permet de faire converger le système (dont le modèle est pris comme (4.1)) vers l’objectif X0 = 0 en temps fini (Khalil,2002a).
En pratique, comme présenté à la figure4.3, la valeur de X est comparée à la valeur de consigne X0 = 0 pour créer l’erreur ε = X0− X = −X qui est utilisée par le bloc de contrôle pour générer la commande selon :
u(ε) = −1 si ε < 0 +1 si ε > 0 0 si ε = 0 (4.8)
La commande négative engendre l’activation des jets du côté gauche de la maquette, tandis que l’actionnement positif active les jets du côté droit de la maquette.
1.3 Simulation de l’action du contrôle par mode glissant
Le contrôle par mode glissant employant la commande de la partie précédente est tout d’abord testé en simulation.
La figure 4.4 compare ainsi des données de bistabilité obtenues par simulation à partir du modèle dérivé du pendule inversé (cf. partie 4 du chapitre 3) et des données du même modèle de simulation soumis au contrôle par mode glissant pour lequel on a reconstitué un actionnement pulsé à 350 Hz.
On observe sur la courbe correspondant à la simulation des positions du barycentre contrôlées ( ) la disparition des positions statiques bistables. On remarque aussi que la position yb a une amplitude de fluctuations plus réduite. Cette simulation encourage
Section 2. Résultats expérimentaux préliminaires
Figure 4.4 – Simulations d’évolutions de yb dans le cas bistable ( ) et dans le cas du contrôle par mode glissant proposé en partie1.2.
donc l’utilisation du contrôle par mode glissant pour atténuer la bistabilité et recentrer en moyenne le barycentre.