Préparation d’atomes de Rydberg circulaires par passage adiabatiqueadiabatique

(b) 48,00 48,05 48,10 48,15 48,20 48,25 48,30 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 T ra n s fe rt Fréquence (  (c)

Figure II.18 – Rotation de l’axe de quantification, défini par la direction du champ électrique. (a) Vue en

coupe du montage. Le champ électrique est aligné le long des lasers L1et L2pendant la phase d’excitation

et aligné selon (Oz) pour les manipulations radiofréquences. (b) Séquence du champ électrique sur les électrodes (pointillé) et sur les miroirs (traits pleins) pour une rotation de l’axe de quantification en 1 µs. Le champ vertical à l’issue de la rotation est de 2, 35 V/cm. (c) Spectres vers la multiplicité n = 51 après la préparation du niveau |52f, m = 2i suivi ou non d’une phase de retournement. On compare les courbes rouge (retournement lent en 1 µs) et bleu (variation brutale) à la courbe noire (sans retournement). Le retournement du champ en 1 µs est adiabatique.

II.2.3 Préparation d’atomes de Rydberg circulaires par passage

adiabatique

On rappelle ici une conclusion majeure du premier chapitre de ce manuscrit : l’atome en champ électrique couplé à un champ radiofréquence polarisé σ+peut être décrit comme un état du spin ˆJ1 plongé dans un champ magnétique transverse. Dans le formalisme de l’atome habillé par le champ radiofréquence, on obtient par diagonalisation du hamilto-nien, les n valeurs propres associées aux énergies suivantes :

Ep = −p × ~Ω , (−p + 1) × Ω, . . . , p × Ω avec p = ^{n− 1}₂ , (II.5) où Ω = ^q(Ωσ+

RF)2+ δ2 avec δ = ωat − ωRF, le désaccord entre la pulsation atomique et celle du champ radiofréquence et Ωσ+

RF la pulsation de Rabi du champ radiofréquence polarisé σ+. Ces n énergies propres sont représentées en fonction du désaccord Figure II.19. Sur cette figure, on note pour chaque énergie propre l’état propre associé appartenant à la sous-famille des niveaux atomiques k habillés par N − n + k photons radiofréquences (N ≫ 1), couplés entre eux par le hamiltonien de couplage radiofréquence : |k, N − n + ki pour k = 0, ..., n − 1.

Figure II.19 – Énergies propres de l’atome à n niveaux habillé par le champ radiofréquence. Les énergies

sont ici tracées pour n = 10. On note pour chaque énergie propre l’état propre associé appartenant à la sous-famille des niveaux atomiques k habillés par N − n + k photons radiofréquences (N ≫ 1), couplés entre eux par le hamiltonien de couplage radiofréquence : |k, N − n + ki pour k = 0, ..., n − 1.

Nous sommes ainsi dans la configuration d’un anti-croisement des n niveaux habillés, qui sont,quel que soit le désaccord ou l’amplitude du champ habillant l’atome, équirépartis. A désaccord nul, on assiste à une levée de dégénérescence, les n états propres étant séparés deux à deux d’une quantité ~Ωσ+

RF, indépendamment de n ! Une inversion continue du signe du désaccord depuis δ → −∞ produit - dans le cadre de l’approximation adiabatique - un branchement du niveau « nu » de plus basse énergie sur le niveau de plus grande énergie, du pénultième niveau de plus basse énergie sur le pénultième niveau de plus haute énergie,

et cætera. Ainsi, partant du niveau |k = n − 1, N − 1i en δ → −∞, l’atome sera transféré

par passage adiabatique dans le niveau |k = 0, N − ni pour δ → +∞.

Ce passage adiabatique s’interprète aisément sur la sphère de Bloch généralisée. Le passage adiabatique depuis |j, −ji au pôle Sud vers |j, +ji au pôle Nord correspond à la précession du moment cinétique moyen h ˆJ₁i autour du vecteur rotation Ω, qui réalise lui-même une rotation autour d’un axe contenu dans le plan équatorial, depuis le pôle Sud jusqu’au pôle Nord. La trajectoire du moment cinétique moyen h ˆJ1i durant cette évolution est représentée sur la Figure II.20.

La condition d’adiabaticité s’interprète dans ce cadre comme le fait que le vecteur de Bloch h ˆJ1i précesse vite devant la rotation du vecteur Ω :

dδ

dt ≪ (Ω^σ+

RF)2 . (II.6)

En pratique, le désaccord ne pouvant être arbitrairement grand, il convient pour un désac-cord grand mais fini de « brancher » le niveau nu |j, −ji au niveau habillé de plus basse énergie lors de l’allumage du champ et de même de « brancher » le niveau habillé final

�̂

Figure II.20 – Représentation qualitative sur la sphère de Bloch généralisée du passage adiabatique dans

un système à n niveaux. La condition d’adiabaticité peut s’interpréter géométriquement : la vitesse de

rotation de Ω doit être lente devant la vitesse de précession du moment cinétique moyen h ˆJ1i. La vitesse

de précession minimale valant Ωσ+

RF (pour δ = 0) et le vecteur Ω tournant de 2π × dδ/Ωσ+

RF en une durée

dt, on trouve la condition d’adiabaticité II.6.

sur le niveau nu |j, +ji lors de l’extinction. De manière identique, ce branchement adia-batique est réalisé à la condition que la vitesse de précession du moment cinétique moyen h ˆJ1i est grande devant la vitesse de rotation de Ω. Cette phase d’allumage et d’extinc-tion du champ ayant lieu à grand désaccord (en valeur absolue), la vitesse de précession s’approxime à δ. La vitesse de rotation du vecteur Ω valant dΩRFσ+/δdt, on en déduit une seconde condition d’adiabaticité :

dΩσ+

RF

dt ≪ δ² . (II.7)

Un grand désaccord initial, associé à un allumage et une extinction lents du champ ra-diofréquence, concourront donc à l’adiabaticité du processus de branchement.

Dans le cadre d’une description plus précise et réaliste de l’atome de rubidium en champ électrostatique, deux déviations principales rentrent en jeu : l’effet du défaut quan-tique pour les niveaux de faible moment cinéquan-tique orbital et l’effet Stark quadraquan-tique. Le calcul numérique des énergies des états n1 = 1, associés aux états du spin ˆJ₁, habillés par la radiofréquence polarisée σ+ de fréquence fixée à 230 MHz, dans la multiplicité n = 51 du rubidium est présenté Figure II.21 avec un couplage nul (a), et avec une radiofréquence telle que Ωσ+

2,36 2,38 2,40 2,34 2,32 2,30 Champ électrique (V/cm) 0 -100 -200 -300 100 200 300 E n er g ie r el at iv e (M H z) 2,36 2,38 2,40 2,34 2,32 2,30 Champ électrique (V/cm) 0 -100 -200 -300 100 200 300 E n er g ie r el at iv e (M H z) 20 30 0 10 2,350 2,348 2,346 2,344 (�) (�)

Figure II.21 – Énergies des états habillés par la radiofréquence dans la multiplicité n = 51 du rubidium

avec un couplage nul (a), et avec une radiofréquence telle que Ω^σ+

RF = 1 MHz (b). Les niveaux sont tracés

en fonction du champ électrique. Les niveaux sensibles au défaut quantique sont représentés en couleur

(bleu, vert et rouge pour les niveaux |n, n1= 1, m = 0i, |n, n1= 1, m = 1i et |n, n1= 1, m = 2i). Exceptés

les niveaux |n, n1= 1, m = 0i et |n, n1= 1, m = 1i, tous les niveaux se croisent à un champ électrique

voisin de 2, 35 V/cm. On remarque sur l’agrandissement Figure (a) que l’effet Stark quadratique décale progressivement le croisement des niveaux.

Considérant l’échelle de spin des n niveaux tels que n1 = 1, nous avons vu que les deux niveaux de plus basse énergie |n, n1 = 1, m = 0i et |n, n1 = 1, m = 1i ne sont pas équidistants des autres niveaux de l’échelle en raison du défaut quantique qui affecte les états de faible moment cinétique orbital. Le niveau m = 2 s’intègre lui plus ou moins au modèle hydrogénoïde. On observe clairement Figure II.21 (a) le comportement singulier joué par les niveaux |n, n1 = 1, m = 0i (courbe bleue) et |n, n1 = 1, m = 1i (courbe verte) dans le croisement des 48 niveaux représentés en noir. Le niveau |n, n1 = 1, m = 2i (courbe rouge), s’il n’est pas parfaitement hydrogénoïde, a cependant un statut moins « patho-logique » et va pouvoir constituer le niveau initial d’un passage adiabatique vers l’état circulaire. En effet, l’élément de matrice de la transition du niveau |n, n1 = 1, m = 2i vers le niveau |n, n1 = 1, m = 3i ne diffère que de 0, 4 % de l’élément de matrice hydrogénoïde des transitions d’échelle. Les niveaux |n, n1 = 1, m = 0i et |n, n1 = 1, m = 1i croisant les autres niveaux pour des champs électriques plus élevés, il est par ailleurs pertinent de décrire un passage adiabatique en champ décroissant de façon à éviter ces croisements (bien que les éléments de matrice du couplage avec ces niveaux soient très faibles).

L’effet Stark quadratique, qui brise l’équidistance des niveaux de l’échelle, a pour conséquence principale le fait que tous les niveaux atomiques ne se croisent pas au même champ électrique. Ceci est manifeste sur l’agrandissement des niveaux de la Figure II.21 (a), autour de la résonance5. Un passage adiabatique en champ électrique décroissant 5. Strictement parlant, il existe maintenant cinquante résonances distinctes car aucune des 50

transi-a cependtransi-ant l’transi-avtransi-anttransi-age « d’transi-absorber » ltransi-a non-htransi-armonicité due à l’effet Sttransi-ark qutransi-adrtransi-a- quadra-tique et d’ordres supérieurs. En effet, en champ décroissant, le croisement des niveaux |n, n1 = 1, m = 2i et |n, n1 = 1, m = 3i a lieu avant celui des niveaux |n, n1 = 1, m = 3i et |n, n1 = 1, m = 4i et ainsi de suite.

Un passage adiabatique depuis le niveau |n, n1 = 1, m = 2i jusqu’au niveau circulaire de la multiplicité n par une rampe décroissante de champ électrique (ligne fléchée bleue Figure II.21 (b)) est donc un procédé suffisamment robuste pour s’accommoder de la légère non-harmonicité des niveaux d’échelle introduite par l’effet Stark quadratique, ainsi que de la situation singulière des niveaux de faible moment cinétique orbital de l’atome de rubidium.