Mesure expérimentale de la fonction de Wigner

W^{(N )}(Θ, Φ) =^XN k=0

(−1)kPk(Θ, Φ) avec Pk(Θ, Φ) = hne, k| ˆR^†_Θ,Φρ ˆˆRΘ,Φ|ne, ki (III.45) pour N = 0, 2, 4, 6, 8 et 50 = ne− 1. Sur la Figure III.17 (a), on observe que seuls les niveaux k pairs sont peuplés, ce qui est caractéristique d’un état Chat de Schrödinger pair dont la fonction de Wigner prend une valeur positive à l’origine.

On observe sur la sous-figure (b) que si l’on ne s’intéresse qu’aux franges centrales de grandes amplitudes, seule une somme sur les états peuplés de manière non négligeable suffit. La fonction de Wigner correspondant en effet à la parité de l’état tourné, les valeurs de cette fonction proches de l’origine correspondent à la parité d’un état faiblement ho-modyné. Ces états légèrement tournés présentent des populations non négligeables dans une gamme d’états k à peine augmentée par rapport à celle de la sous-figure (a). Les rotations d’homodynage ne peuplent en effet que faiblement les niveaux k ≫ 8, ce qui fait de la troncature de la somme alternée une bonne approximation de ces franges cen-trales. Cette troncature ne fait apparaître des artefacts qu’au-delà de l’angle Θ = ± 28◦ (représentés en pointillé gris) pour lequel l’état est fortement homodynés et commence à peupler significativement les niveaux k ≫ 8.

On conclut de cette analyse sur l’état |ψchati, qui est une superposition théorique d’états cohérents du moment cinétique que, dans le cas d’une dynamique confinée au sous-espace HN, une somme tronquée aux premiers niveaux k = 0, ..., 5 – seuls niveaux significativement peuplés – permet de reproduire dans une bonne approximation la dis-tribution de Wigner au centre et en particulier les franges d’interférence centrales, où la quasi-distribution de probabilité prend des valeurs négatives. Ceci nous permet de mesu-rer expérimentalement la fonction de Wigner de l’état du moment cinétique à l’instant du rebond sur la barrière Zénon.

III.4.3 Mesure expérimentale de la fonction de Wigner

La séquence expérimentale est identique à celle mise en œuvre pour la reconstruction de l’état, dont la séquence avait déjà été présentée pour l’obtention de la fonction Q

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 k ρk^k (a) -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 60 70 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 W (N )(Θ ,Φ ) Angle (°) N=0 N=2 N=4 N=6 N=8 N=50 (b)

Figure III.17 – Fonction de Wigner de l’état |ψchati (III.43) par somme alternée tronquée. (a)

Pro-babilités d’occupation des niveaux |51, ki pour k = 0, ..., 13. (b) Coupes (xOz) des fonctions de Wigner W(N )(Θ, Φ) définies par la somme tronquée à N (III.45) pour N = 0 (rouge), N = 2 (vert), N = 4 (rose),

N = 6 (bleu), N = 8 (orange) et N = 50 = ne− 1 (noir). Les lignes verticales à ± 28◦ représentent les

positions des composantes cohérentes qu’on observerait sur une coupe (yOz).

en Figure III.9 page 157. A la différence de la mesure de la fonction Q, on mesure les populations des différents niveaux |ne, ki pour k = 0, ..., 5. La Figure III.18 (a) représente, sur la sphère de Bloch généralisée vue de dessus, les probabilités d’occupation Pk(Θ, Φ) de ces différents niveaux pour l’état tournéρe(Θ, Φ). Les mesures en 192 points de l’espace des phases sont interpolées linéairement. La durée de l’impulsion radiofréquence, d’amplitude Ωtomo

RF /2π = 866 ± 5 kHz, générant la rotation d’homodynage prend 16 valeurs différentes séparées de 10 ns, cela pour 12 phases différentes espacées tous les 30◦. On compare ces mesures avec les simulations numériques (ligne (b)). On rappelle ici que les rotations d’homodynage ne peuvent s’effectuer qu’en présence du couplage Zénon. Ainsi, on compare aussi nos mesures brutes (ligne (a)) avec les simulations numériques des distributions

Pk(Θ, Φ) que l’on obtiendrait si l’on avait pu effectuer le découplage adiabatique de la micro-onde Zénon avant les rotations (ligne (c)).

La mesure de P0(Θ, Φ) correspond à la mesure de la fonction Q. On retrouve en effet en (a) et (b) les représentations précédentes de la Figure III.9 page 157 pour t1 = 0, 76 µs, quoique sur une plage angulaire en latitude un peu plus grande cette fois. La comparaison des lignes (b) et (c) montre l’influence de la micro-onde Zénon sur la tomographie des niveaux |51, ki pour k = 0, ..., 5. Pour le niveau circulaire, on note une population moins importante lorsque la rotation d’homodynage est effectuée en présence de la micro-onde Zénon. La rotation ayant lieu avant le déshabillage, une partie de la population de l’état |+, kzi est dans la multiplicité n = 50 et n’est pas transférée dans l’état circulaire |51ci par la rotation. La contribution de l’état |+, kzi est donc légèrement sous-estimée dans la fonction Q et réduit la hauteur de P0(Θ, Φ) au voisinage de la latitude limite. L’autre différence majeure, apparaissant à la comparaison des lignes (a) et (b) avec (c), concerne

�0 �1 �2 �3 �4 �5 (�)

(�) (�)

Figure III.18 – Mesure des Pk(Θ, Φ), k = 0...5, représentées sur la sphère de Bloch vue de dessus. (a)

Mesures expérimentales interpolées linéairement. (b) Simulations numériques des états finaux tournés

e

ρ(Θ, Φ) et représentation des éléments de matrice diagonaux eρkk(Θ, Φ), k = 0...5. On prend ici en compte

l’imperfection de la mesure due à la présence de la micro-onde Zénon ainsi que l’inhomogénéité du champ électrique pendant la tomographie. (c) Simulations numériques similaires à (b) mais sans micro-onde Zénon pendant la rotation de tomographie, les états étant déshabillés avant tomographie.

le niveau |51, k = 2i pour lequel une importante frange apparaît au-delà de la barrière Zénon en bas de la sphère sur la vue de la Figure III.18. L’explication de cette différence est quelque peu complexe et nous nous contenterons de conclure que ces simulations prouvent que notre méthode de tomographie introduit des artefacts qui affecteront la fonction de Wigner.

La Figure III.19 représente la somme alternée tronquée ˜W(5)(Θ, Φ) interpolée linéai-rement calculée à partir des Pk(Θ, Φ) pour k ≤ 5 pour les lignes (a), (b) et (c) de la Figure III.18. On observe ainsi directement sur la fonction de Wigner approchée la pré-sence de lobes au-delà de la barrière Zénon, qui sont imputables à notre méthode de tomographie en présence de la micro-onde Zénon (apparaissant aussi sur les simulations numériques). La mesure de la distribution de Wigner par tomographie des niveaux Stark en présence du couplage Zénon fournit donc une représentation déformée de l’état du moment cinétique.

La Figure III.19 est donc obtenue par interpolation linéaire de plus de 192 points corres-pondant à des impulsions radiofréquences d’homodynage de durées et de phases variables. Derrière chacun des 192 points de cette Figure se cachent N + 1 mesures de probabilité d’occupation des niveaux |ne, ki (ici N = 5). Une grande partie de l’information est donc perdue pour un seul calcul de parité qui ne nécessite pas toute cette information. Finale-ment, malgré la possibilité de mesurer expérimentalement l’approximation de la fonction de Wigner par somme alternée, il faut reconnaître que la méthode nécessite tout de même

(�) (�) (�)

Figure III.19 – Mesure de la fonction de Wigner W(5)(Θ, Φ) de l’état obtenue par QZD à t1= 0, 76 µs

par parité tronquée à N = 5 à partir des données brutes présentées en Figure III.18. (a) Expérience :

somme alternée des Pk(Θ, Φ) mesurés expérimentalement (ligne (a) de la Figure III.18). (b) Simulations

numériques : somme alternée des Pk(Θ, Φ) simulés dans le cas d’une tomographie en présence du couplage

micro-onde Zénon (ligne (b) de la Figure III.18). (c) Simulations numériques similaires à (b) mais sans micro-onde Zénon pendant la rotation de tomographie, les états étant déshabillés avant tomographie.

la mesure des populations de multiples niveaux |n, ki. Surtout, notre méthode de mesure en présence de la micro-onde Zénon induit des artefacts préjudiciables à l’obtention d’un signal d’interférence.

Conclusion

Dans ce chapitre, après avoir présenté le principe général de la dynamique Zénon quantique, nous avons décrit et analysé l’observation expérimentale de cette dynamique implémentée au sein d’une multiplicité Stark d’un atome de Rydberg. Lors de cette dy-namique, le moment cinétique ˆJ1 qui décrit l’état de l’atome est couplé à un champ radiofréquence polarisé qui déclenche sa rotation. Le couplage continu de l’atome à une micro-onde dite Zénon résonante de manière sélective avec un niveau de l’échelle des états de ce moment cinétique permet de confiner l’évolution du système dans un sous-espace Zénon. La micro-onde définit deux sous-espaces Zénon HN et HS, dont la frontière consti-tue une latitude limite infranchissable à la surface de la sphère de Bloch généralisée. Au moment où le moment cinétique atteint cette latitude limite, le champ cohérent se scinde en deux, une composante apparaissant sur la longitude opposée. A l’instant où les deux composantes de phases azimutales opposées sont à poids égaux, la reconstruction de l’état par maximum de vraisemblance montre la cohérence de la superposition. La cohérence est manifeste sur la fonction de Wigner où, entre les deux composantes cohérentes, des oscil-lations prenant des valeurs négatives sont observées, signature du caractère non classique de l’état du moment cinétique.

Grâce à la QZD, nous avons donc généré de façon déterministe un état Chat de

Schrö-dinger du moment cinétique ˆJ₁. Nous pouvons même ajouter que cette dynamique est périodique et que le moment cinétique soumis au couplage radiofréquence en présence de la micro-onde Zénon se retrouvera donc périodiquement dans une superposition d’états mésoscopiques. Le motif d’interférence, présentant des oscillations rapides entre des va-leurs positives et négatives, peut être exploité afin d’améliorer la sensibilité de l’atome aux variations du champ électrique ou magnétique. En particulier, en réalisant une rotation globale de cet état sur la sphère de Bloch comme représenté à la Figure III.20, il est pos-sible de préparer un état extrêmement senpos-sible aux rotations induites par une variation d’énergie entre les états paraboliques. L’alignement des oscillations d’interférence le long de l’équateur permet donc d’être sensible à la fois aux effets Stark et Zeeman au-delà de la limite quantique standard.

Figure III.20 – Préparation d’états sensibles aux champs électrique et magnétique statiques. En réalisant

une rotation globale de l’état Chat de Schrödinger généré par dynamique de Zénon quantique, il est possible de préparer des états extrêmement sensibles aux rotations induites par une variation de champ électrique ou magnétique statique.

La mesure expérimentale de ces franges d’interférence et leur exploitation métrolo-gique se heurte tout d’abord au problème du découplage de la micro-onde Zénon, puis à la mesure d’une coupe de la fonction de Wigner nécessitant la mesure des populations d’un grand nombre de niveaux de l’échelle de spin. Il nous faut donc imaginer une mé-thode alternative permettant de mesurer directement un signal interférométrique de cette nature afin d’utiliser de telles superpositions d’états du type Chat de Schrödinger pour des expériences de métrologie. Ceci fera l’objet des deux derniers chapitres de ce manuscrit.