Éléments d’atomistique
I.3 Déviations au modèle de l’échelle harmonique de niveaux Starkniveaux Stark
I.3.3. a Calcul numérique des niveaux d’énergie de l’atome de rubidium Une conséquence du défaut quantique est de diminuer le degré de dégénérescence d’uneUne conséquence du défaut quantique est de diminuer le degré de dégénérescence d’une
multiplicité n, les niveaux de faible moment cinétique orbital l ≤ 4 étant repoussés vers le rouge. Ainsi, même s’il n’affecte en champ nul que les niveaux de faible moment cinétique orbital, il a tout de même une influence sur les autres niveaux, moins nombreux dans la multiplicité.
La Figure I.20 représente les spectres Stark pour l’atome d’hydrogène (a) et pour l’atome de rubidium (b), tous deux obtenus par diagonalisation du hamiltonien pour différentes amplitudes du champ électrique statique Fst entre 0 et 0, 3 V/cm. C’est en effet la gamme de champ électrique d’intérêt pour l’excitation laser des atomes de Rydberg qui sera présentée au chapitre suivant, pour laquelle il est essentiel de bien connaître le spectre Stark. 0,0 0,1 0,2 0,3 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 F ré q u e n ce r e la ti ve ( G H z) Champ électrique (V/cm) (a) nf ng (b)
Figure I.20 – Ouverture de la multiplicité Stark n = 51 pour les niveaux m = 2 dans le cas de l’atome
d’hydrogène (a) et de l’atome de rubidium (b) où les défauts quantiques sont pris en compte jusqu’aux
niveaux l = 7 pour la diagonalisation du hamiltonien ˆH0− qFst· ˆr.
Sur le spectre Stark de l’atome d’hydrogène, on observe, dû au degré élevé de dégé-nérescence de la multiplicité égal à n2, un effet Stark linéaire dès de très faibles champs électriques statiques. On remarque au contraire sur le spectre du rubidium, un départ quadratique pour les niveaux affectés par le défaut quantique qui sont exclus de la multi-plicité. L’ouverture de la multiplicité Stark demeure, elle, linéaire. Ainsi, cette différence de courbure provoque un rapprochement des niveaux en bordure de multiplicité, poussés vers le rouge par effet Stark, et des niveaux |n, gi et |n, fi32, qui rejoignent progressive-32. Pour les niveaux 5 ≤ l ≤ 7, l’effet du défaut quantique est si faible qu’il produit une levée de dégénérescence en champ nul négligeable devant l’effet Stark dès lors que le champ électrique n’est plus nul.
ment la multiplicité. Les niveaux |n, si, |n, pi et |n, di sont trop éloignés de la multiplicité en champ nul pour présenter de tels comportement vis-à-vis de la multiplicité du même
n. Avec l’augmentation du champ électrique statique, les niveaux f et g rejoignent la multiplicité - les effets du défaut quantique se gommant relativement à l’effet Stark crois-sant. A partir de ce champ, les états m ≥ 3 sont hydrogénoïdes. Pour les états m ≤ 2, il manquera – pour ces champs électriques de quelques V/cm – trois niveaux m = 0, deux niveaux m = 1 et un niveau m = 2 dû à l’effet du défaut quantique bien supérieur sur les niveaux |n, si, |n, pi et |n, di. Le spectre Stark pour ces valeurs de m demeurera pour tout champ électrique très irrégulier.
Remarque : Nous avons au cours de ce premier chapitre eu le souci d’insister sur les vertus complémentaires des bases des états sphériques et paraboliques. Ce spectre Stark est une nouvelle occasion d’entendre cette dialectique entre les états sphériques et paraboliques. Aux plus faibles champs électrostatiques, le modèle du défaut quantique fait des états sphériques une base de choix. A plus fort champ, l’effet Stark favorise la base des états paraboliques et les états propres sont alors (aux contaminations induites par l’effet Stark quadratique près) les états paraboliques.
A champ électrique constant, on aime à classer les niveaux de la multiplicité par
m croissants, 0 ≤ m ≤ n − 1. La Figure I.21 représente schématiquement les niveaux pour un champ électrique tel que les niveaux |n, fi et |n, gi ont réintégré la multipli-cité. Cette représentation permet de constater tout d’abord que les niveaux de plus basse énergie et de plus faible nombre quantique magnétique m ne sont pas, comme pour m ≥ 3, des niveaux n1 = 0. Par ailleurs, les transitions entre ces niveaux, c’est-à-dire |n, n1 = 3, m = 0i → |n, n1 = 2, m = 1i et |n, n1 = 2, m = 1i → |n, n1 = 1, m = 2i, ne sont pas résonantes avec les transitions hydrogénoïdes entre deux niveaux voisins ∆m = ±1 pour m ≥ 3. Néanmoins, et cela malgré l’absence du niveau n1 = 0 dans la colonne des niveaux m = 2, il est appréciable de constater que ces niveaux
m = 2 en bord de multiplicité sont quasi-réguliers et en particulier que la transition |n, n1 = 1, m = 2i → |n, n1 = 0, m = 3i est quasi résonante pour n ∼ 51 avec les tran-sitions d’échelle suivantes en bord de multiplicité. Cette heureuse quasi-résonance nous permet, pour la diagonale de niveaux la plus basse, de considérer le modèle de l’échelle quasi harmonique de spin valable depuis m = 2 jusque m = n − 1.
Conclusion
Après une approche quelque peu historique sur le modèle semi-classique de l’atome d’hydrogène, qui fut l’occasion d’introduire un certain nombre d’outils et de considéra-tions essentielles de symétrie, nous avons montré qu’un traitement quantique de l’atome d’hydrogène en champ nul faisait naturellement - par des arguments de symétrie associés à la séparabilité des équations de Schrödinger - émerger les bases des états propres
sphé-2 3 4 . . . n-3 n-2 n-1 1 0 . . . � = �� n1=1 n1=0 n1=0 n1=0 n1=0 n1=2 n1=3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n1=0 n1=0 n-4 m E
Figure I.21 – Représentation schématique des niveaux de la multiplicité n = 51 pour l’atome de rubidium
en champ électrique statique tel que les niveaux |51, gi et |51, fi ont déjà rejoint la multiplicité. Au-delà de
m = 3 (niveaux en noir), les niveaux ont un comportement hydrogénoïde et les transitions ∆m =±1 sont
toutes dégénérées. Pour les m ≤ 2 (en bleu), l’absence de certains niveaux due au défaut quantique modifie l’allure du spectre. Malgré l’absence d’un niveau, les niveaux d’énergie m = 2 en bord de multiplicité
sont à peu près réguliers. La transition |51, n1= 1, m = 2i → |51, n1= 0, m = 3i est ainsi sensiblement
dégénérée avec les transitions d’échelle suivantes.
riques et paraboliques. L’utilisation de la base parabolique découplée permet de montrer que les états atomiques, au sein d’une certaine multiplicité associée au nombre quantique principal n, peuvent être décrits par deux nombres quantiques m1 et m2, valeurs propres (à un facteur ~ près) de deux opérateurs ˆJ1,z et ˆJ2,z, associés à deux moments cinétiques de même norme.
La symétrie cylindrique du problème de l’atome d’hydrogène en champ électrique statique extérieur fait de cette base des états paraboliques une base de choix pour traiter perturbativement la levée de dégénérescence des n2 niveaux d’une même couche n par effet Stark. Au premier ordre, la structuration linéaire des niveaux Stark d’une multiplicité permet d’identifier différentes échelles harmoniques finies de niveaux, sur lesquelles on peut alors, à partir des composantes des opérateurs ˆJ1 et ˆJ2, définir des opérateurs d’échelle, de montée ˆJ+ et de descente ˆJ−. On montre alors que la composante σ+ d’un rayonnement radiofréquence couplé à l’atome en champ électrique statique ne se couple qu’à l’opérateur
ˆ
J1 - l’autre composante de la polarisation σ− se couplant à l’autre opérateur moment cinétique ˆJ2. Ceci permet par un réglage de la polarisation du champ radiofréquence de confiner la dynamique de l’atome dans un sous-espace formellement identique aux états propres d’un unique moment cinétique qui serait « porté » par l’atome. Nous pouvons donc utiliser les outils de représentation des moments cinétiques pour décrire l’état de notre atome. Ainsi, l’état atomique peut être représenté sur une sphère de Bloch dite généralisée par la fonction Q associée ou de manière équivalente par sa distribution de Wigner - les deux représentations contenant toute l’information inclue dans l’opérateur densité.
Finalement, nous avons présenté les limites de cette description du problème en in-troduisant les déviations au modèle linéaire dues tout d’abord à la prise en compte des effets Stark d’ordres supérieurs au sein de l’atome d’hydrogène, puis des déviations dues aux effets de pénétrabilité et de polarisabilité33 du cœur atomique des états de Rydberg de l’atome de rubidium. Les résultats de la diagonalisation complète du hamiltonien en champ électrostatique, prenant en compte les défauts quantiques des niveaux de faible moment cinétique orbital, ont ensuite été présentés. Outre la description de l’atome cou-plé, en champ électrostatique, à un champ radiofréquence polarisé σ+ par un moment cinétique « porté » par celui-là, ces résultats nous sont en particulier utiles pour deux choses essentielles dans ce manuscrit :
i. Ils nous permettent de connaître précisément la position en énergie des états de faible moment cinétique orbital à faible champ électrostatique pour l’excitation laser des états de Rydberg, puis pour l’optimisation de la préparation des atomes de Rydberg circulaires à partir des niveaux de faibles m, procédés qui seront décrits au chapitre suivant.
ii. La prise en compte des effets Stark linéaire, quadratique et cubique seront aussi essentiels afin de décrire les dynamiques de l’état de l’atome initialement dans l’état circulaire couplé à un champ radiofréquence polarisé en champ électrique élevé, dans le cadre des expériences de métrologie quantique. Lors de la manipulation des atomes de Rydberg depuis le niveau circulaire d’une multiplicité fixée, ces données nous confirment donc le comportement hydrogénoïde de l’atome depuis le niveau circulaire jusqu’aux niveaux m ≥ 3, permettant ainsi de considérer la rotation du moment cinétique j = 25 pour −23 ≤ m ≤ 25.