Poursuite de correspondance

La SVD en temps est intrinsèquement limitée à des échos à position fixée tandis que la SVD en espace n’offre qu’une solution partielle pour gérer des échos à position variable. Prendre en compte correctement la profondeur d d’un TFP demande donc d’explorer d’autres techniques de compression. Par ailleurs, il est préférable de chercher une méthode applicable directement aux A-scans plutôt qu’aux C-scans — ou même qu’aux B-scans — afin d’éviter toutes les difficultés qu’impliquent la redéfinition des entrées/sortie du méta-modèle17.

Parmi le spectre des méthodes de compression proposées en Section 4.2, il en est certaines qui décomposent le signal en éléments de base pouvant prendre des positions arbitraires : l’ondelette, l’atome, l’extremum ou encore la gaussienne dans le cas de la méthode proposée pour approximer l’enveloppe du A-scan. La compression d’un A-scan par de tels éléments reste valide pour n’importe quelle position des échos puisque les éléments adapteront leur position en conséquence. Il demeure cependant une difficulté : le lien entre les composantes compressées et une signification physique. La compression multi-pic illustre très bien ce problème. Soit un A-scan réduit à ses extrema, Y contient donc une liste de q coordonnées d’extrema. Selon l’algorithme d’extraction des extrema et selon la morphologie des A-scans, il est tout à fait possible que le premier extrema stocké dans le vecteur Yi corresponde à un écho de défaut tandis que le premier extrema stocké pour un second vecteur Yj corresponde à un écho de fond18. Dès lors, le méta-modèle qui s’applique sur les vecteurs Y composante par composante va tenter de modéliser une composante décrivant tantôt le comportement d’un écho de défaut, tantôt celui d’un écho de fond. Or, ces deux types d’échos ont des comportements complètement différents en fonction des paramètres d’entrée. Donc,

17. Comme indiqué au paragraphe précédent, lors de l’utilisation du simulateur opérationnel, le signal doit être synthétisé pour une position donnée du traducteur. Si la sortie Y du méta-modèle est un C-scan, la synthèse du A-scan demande de simuler la totalité de la zone affectée par le défaut, alourdissant considérablement les calculs. En outre, le traducteur peut se trouver à une position non prévue dans le C-scan synthétisé et il faut alors ajouter une phase d’interpolation pour raffiner la sortie du méta-modèle.

(a) SVD en temps de signaux réels 3 4 6 7 8 9 12 16 Diamètre d’entraînement [mm] 3 4 6 7 8 9 12 16 Diamètre de validation [mm ] 0,000 0,002 0,004 0,006 0,008 0,010 0,012 0,014 0,016 Erreur quadratique m oy enn ne [u .a .]

(b) SVD en temps de signaux simulés

3 4 6 7 8 9 12 16 Diamètre d’entraînement [mm] 3 4 6 7 8 9 12 16 Diamètre de validation [mm ] 0,000 000 0,000 001 0,000 002 0,000 003 0,000 004 0,000 005 0,000 006 0,000 007 0,000 008 Erreur quadratique mo yennn e [u .a .]

(c) SVD en espace de signaux réels

3 4 6 7 8 9 12 16 Diamètre d’entraînement [mm] 3 4 6 7 8 9 12 16 Diamètre de validation [mm ] 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040 Erreur quadratique m oy enn ne [u .a .]

(d) SVD en espace de signaux simulés

3 4 6 7 8 9 12 16 Diamètre d’entraînement [mm] 3 4 6 7 8 9 12 16 Diamètre de validation [mm ] 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040 Erreur quadratique mo yen nne [u .a .]

Figure 4.14 – Extension d’une base SVD à de nouveaux diamètres

La base SVD est systématiquement extraite de l’inspection d’un unique TFP, dit diamètre d’entraînement. Cette base est ensuite utilisée pour compresser d’autres diamètres, dit de validation. L’écart quadratique moyen entre la donnée avant compression puis après compression/décompression est reportée pour chaque cas. Il apparaît notamment qu’un grand diamètre permet de mieux capturer le comportement du système mais que le bruit des données réelles diminue globalement la généricité de la base de compression. La compression par SVD en temps est plus efficace que la SVD en espace mais elle ne permet pas de gérer différentes profondeurs de défaut.

le méta-modèle sera grandement perturbé à cause de l’instabilité de la représentation de Y . Ce constat s’étend à toutes les méthodes dont les éléments de base prennent des positions variables. Ainsi ces méthodes apportent une solution efficace pour compresser n’importe quel A-scan, mais il n’est pas nécessairement facile d’utiliser ensuite les composantes compressées pour établir une régression stable...

Une de ces méthodes a été plus particulièrement étudiée : la poursuite de correspondance. Cette méthode s’était montrée presque aussi efficace que la SVD en Figure 4.4 ; et, elle est capable de s’adapter à n’importe quelle position d’écho grâce à la notion d’atomes. Le signal est compressé en sélectionnant les atomes Ψi les plus pertinents à partir d’un dictionnaire : Y ptq “ ř^qr

i“0

wiΨipt ´ τiq où wi permet d’adapter l’amplitude de l’atome et τi sa position. Par contre, rien n’assure que les atomes sélectionnés soient toujours les mêmes entre deux signaux compressés, ni même que l’ordre des atomes sélectionnés soit cohérent d’un signal à l’autre... Une version dégradée de la poursuite de correspondance est proposée ici afin de renforcer la stabilité de la représentation obtenue. Le qualificatif dégradé est employé ici car, à la place de laisser l’algorithme détecter seul la position optimale des atomes (comme le fait le module mptk [229]), il va être forcé d’utiliser une position fixée a priori. En effet, dans le cas des TFP, la profondeur d du défaut est maîtrisée donc, connaissant la vitesse v de propagation des ultrasons dans le matériau en question, il est possible de calculer l’écart 2d{v entre l’écho de défaut (FE) et l’écho de fond (BWE). Cette connaissance

permet de forcer les atomes à se centrer sur l’un et l’autre des échos : Y ptq “ q_r{2 ÿ j“0 wjΦ^{F E}_j `t ´ 2pe ´ dq{v˘ ` q_r{2 ÿ k“0 wkΦ^{BW E}_k pt ´ 2e{vq (4.3) avec : Y signature A-scan d’un défaut de profondeur d connue et dans un matériau pour

lequel la vitesse de propagation des ultrasons est v ; w coefficient de la décomposition ;

Φ^{F E} atomes pertinents pour compresser un écho de défaut ; ΦBW E atomes pertinents pour compresser un écho de fond.

La Figure 4.15 résume schématiquement la méthode de compression. La sélection des atomes pertinents ΦF E et ΦBW E se fait à partir d’une base de données de signaux obtenus sur des défauts de profondeur d connue :

— calculer la position des échos dans les signaux disponibles grâce à la connaissance de la profondeur du défaut observé ;

— pour chaque type d’écho (l’exemple est donné avec l’écho de défaut noté FE, mais il en va de même pour l’écho de fond noté BWE) :

— isoler tous les échos de défaut disponibles, le nombre d’échos extraits sera noté n ; — constituer un dictionnaire avec un très grand nombre d’atomes Φ susceptibles de

com-presser l’écho efficacement, typiquement 25 000 atomes de Gabor de formes variées sont utilisés ;

— sélectionner les atomes les plus pertinents à garder au vu des échos à compresser. Pour ce faire, chaque écho connu est compressé par poursuite de correspondance [223], avec l’implémentation proposée par scikit-learn [46]. L’écho est projeté sur le dictionnaire d’atomes, l’atome pour lequel la correspondance est maximale sera le premier atome dans la décomposition de l’écho. Cet atome est soustrait à l’écho puis le résidu est à nouveau projeté sur le dictionnaire. Après chaque itération, les coefficients associés à chaque atome sont ré-optimisés pour prendre en compte le dernier atome ajouté. A l’itération k, le ièmeécho de défaut s’écrit YF E

i ptq “

k

ř

j“0

wi,jΦ^{F E}_j ptq ` εkavec εkle résidu de la décomposition et wi,jles coefficients de la décomposition. La pertinence de l’atome ΦF E

j ptqà compresser un écho de défaut est alors estimée en sommant sa contribution sur tous les échos de la base de données 1{nřⁿ

i“0

|wi,j|. Après chaque itération k de la décomposition des échos, le kèmeatome le plus pertinent est sélectionné. Si cet atome est déjà présent dans le dictionnaire optimisé pour les échos de défaut, alors le premier atome le plus pertinent non encore sélectionné sera gardé. Lorsque le nombre d’atomes à sélectionner est atteint ou que le résidu est suffisamment faible lors des compressions, la phase de sélection des atomes est stoppée. Il en résulte une sélection de qr{2atomes optimaux pour compresser un écho de défaut `ΦF E

j ptq^˘_0ďjăq

r. De même, les qr{2atomes optimaux pour compresser un écho de fond seront calculés `ΦBW E

j ptq^˘

0ďjăqr.

Pour procéder à la compression, il suffit d’assembler les atomes sélectionnés en leur imposant un décalage temporel compatible avec le type de signal à compresser comme le montre l’Equation 4.3. Les coefficients w de la compression sont obtenus par une poursuite de correspondance utilisant les atomes dont la position est fixée. L’Equation 4.3 montre aussi que la décompression consiste juste en une somme pondérée des atomes.

La Figure 4.16 montre la perte d’information induite par cette compression par écho. Appliquée à des signaux simulés donc exempts de bruit, la méthode offre des taux de compression intéres-sants. 180 échantillons temporels peuvent être réduits à 20 atomes sans dégradation significative du signal. Pour les signaux réels seulement disponibles à une profondeur de défaut fixé, l’étude montre une compression un peu moins efficace. Les échos peuvent être affectés d’une légère dérive par rapport à la position théorique et la présence de bruit augmente rapidement les erreurs cal-culées par écart quadratique moyen. La méthode reste néanmoins utilisable comme le montre la Figure 4.16c qui présente un A-scan original et compressé/décompressé à 91,6 % : les deux signaux sont visuellement équivalents avec une erreur quadratique moyenne de reconstruction de 0,061 u.a., et une erreur relative sur l’amplitude maximale de 0,03 %.

Base de données d’échos

OMP

Assemblage de la base des atomes pour une profondeur de défaut d

Construction de la base Compression

2e{v

écho de défaut écho de fond

OMP

“ . . . ` wi,jˆ ` . . . Sélection des atomes

adaptés pour décrire un écho de défaut. Idem pour l’écho de fond. Dictionnaire d’atomes de Gabor centrés ΦF E j ptq ΦF E j ptq Φ^{BW E}_j ptq ` . . . ` w_i,j1 ˆ ` . . .

Figure 4.15 – Méthode de compression par poursuite de correspondance appliquée écho par écho

Pour ne pas surcharger le schéma, l’acronyme anglais de la poursuite de correspondance (Orthogonal Matching Pursuit OMP) est utilisé. La méthode présentée ici adapte la poursuite de correspondance au cas particulier de deux échos séparés par une durée connue. Avant la compression, les atomes pertinents pour décrire chacun des échos sont sélectionnés puis ils sont décalés de la durée requise avant de servir à la compression du signal.

Les problèmes d’instabilité de la représentation compressée sont-ils résolus par cette technique ? En d’autres termes, les composantes des signaux compressés par la méthode illustrée en Figure 4.15 représentent-elles toujours la même caractéristique physique du signal et peuvent-elles ainsi être modélisées par un méta-modèle ? Pour répondre à cette question, un méta-modèle par krigeage est construit sur les données compressées par cette méthode. Les données en question sont issues d’inspections simulées par le logiciel CIVA permettant d’explorer n’importe quelle profondeur de TFP d P t0,1 ; 0,2 ; 0,4 ; 1 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10 ; 12u mm. Pour ce test, le diamètre du TFP et l’épaisseur de la pièce seront fixés φ “ 10 mm, e “ 14 mm et l’inspection se fera à 4,2 MHz. La mise en œuvre concrète de la méthode de compression montre que les instabilités ne sont pas entièrement résolues si des précautions ne sont pas prises :

— la phase de sélection des atomes pertinents doit se faire sur des données dont les échos sont bien séparables, sinon les atomes risquent d’inclure un comportement spécifique à une profondeur de défaut et de ne plus être utilisables pour d’autres cas. L’excitation utilisée ici — fréquence centrale de 4,2 MHz et largeur de bande de 60 % — entraîne une durée moyenne des échos d’environ t´echo“ 1µs. Dans ce cas, les échos doivent être séparés d’au moins 1 µs pour ne pas s’influencer mutuellement, ce qui correspond au temps d’un aller-retour sur une épaisseur de matériau de 1,5 mm soit un choix de profondeur de TFP d ą techo´ v “ 1,5 mm, avec t´echo la durée d’un écho19 et v la vitesse de propagation dans le matériau.

— lorsque la position supposée des échos n’est pas parfaitement en accord avec les signaux, les atomes sélectionnés peuvent inclure l’erreur de positionnement et devenir spécifiques à un cas particulier. Cette erreur de positionnement s’explique par une mauvaise estimation de la vitesse de propagation v, ce qui rend l’erreur — et donc l’atome — dépendante de la profondeur du défaut.

— il faut noter également que, dans le cas particulier de deux échos correspondant à deux épaisseurs de matériau traversées très différentes, les échos auront des contenus fréquentiels différents. Cet effet s’explique par le comportement du matériau assimilable à un filtre passe-bande dû à l’empilement ordonné du matériau additionné à un filtre passe-bas dû à la visco-élasticité de la résine et à la multi-diffusion par les fibres [193]. Dans ce cas, les atomes

19. La durée techo´ des échos peut être approchée à partir de la durée de l’excitation déterminée par la largeur de bande ∆F de l’excitation. Pour une excitation gaussienne de largeur de bande à mi-hauteur ∆F et de fréquence centrale f0, le spectre est une gaussienne F pfq “ 1

σ^?2πexp ´ ´^{pf ´f}0q² 2σ2 ¯ avec σ “ ∆F 2^?2 ln 2 et l’excitation temporelle

correspondante est une sinusoïde modulée par une enveloppe gaussienne Eptq “ exp pj2πf0tq exp^`´2π²σ2t2˘ . Dans ce cas, la durée de l’excitation peut être caractérisée en fonction de la largeur de bande ∆F . L’amplitude de l’excitation sera supérieure à α % de l’amplitude maximale pendant une durée techo´ “²

? 2 ln 2 π∆F b 2 ln`1 α ˘ . Si α “ 1 %, ∆F “ 60 % ˆ 4,2 MHz, alors t´echo“ 0,9µs en accord avec la durée des échos constatée expérimentalement.

(a) Erreurs de reconstruction sur données simulées 70 80 90 100 Niveau de compression [%] 0,00 0,05 0,10 0,15 Erreur [u .a .] Erreur moyenne

100 %des erreurs ^{98 %}96 %^{des erreurs}des erreurs

(b) Erreurs de reconstruction sur données réelles

75 80 85 90 95 100 Niveau de compression [%] 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 Erreur [u .a .] Erreur moyenne

100 %des erreurs ^{98 %}96 %^{des erreurs}des erreurs

(c) Exemple d’un A-scan réel reconstruit

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 Temps t [µs] ´1,0 ´0,5 0,0 0,5 1,0 Amplitude [u .a .] Taux de compression : 91,6 % Erreur de reconstruction : 0,061 u.a.

Avant compression Après compression/décompression

Figure 4.16 – Qualité de la compression par poursuite de correspondance

Grâce à CIVA, des inspections de TFP de diverses profondeurs ont été simulés (d P t0,1 ; 0,2 ; 0,4 ; 1,0 ; 2,0 ; 4,0 ; 6,0 ; 8 ; 10 ; 12u mm pour une épaisseur de pièce e “ 14 mm) puis l’ensemble de ces signaux a été compressé par poursuite de correspondance. Le taux de compression est mis en regard de l’erreur quadratique moyenne entre le signal avant compression et le signal après compression/décompression. La méthode est aussi testée sur des signaux réels, mais ils ne sont disponibles que pour d “ 1,5 mm. La Figure 4.16c donne un aperçu concret de l’erreur de reconstruction obtenue pour le point matérialisé en noir sur la Figure 4.16b. Même avec un taux de compression à 91,6 % (i.e. passage de 250composantes à 21), le signal reste suffisamment réaliste pour l’utilisation en simulation opérationnelle.

pourraient devenir spécifiques à un type de défaut. Cette difficulté n’a pas pu être constatée en pratique car les données expérimentales disponibles contiennent uniquement un seul type de profondeur et la simulation par pinceau ne prend pas en compte le filtrage fréquentiel. Si ces difficultés sont avérées, il sera nécessaire de considérer des atomes dont le contenu fréquentiel peut également varier continûment.

Ne pas suivre ces précautions ne perturbe pas nécessairement la qualité de la compression mais dégrade considérablement les performances du méta-modèle construit avec les données compres-sées. En effet, le méta-modèle ne peut pas capturer le comportement global du système si chaque observation est décrite par des atomes spécifiques à un cas particulier ! En prenant soin de sélec-tionner les atomes à une profondeur de défaut suffisante d “ 2 mm et en mesurant précisément la vitesse de propagation dans le matériau, le méta-modèle par krigeage construit sur les signaux compressés correspondants à 3 TFP de profondeur t2 ; 6 ; 12u mm permet de simuler correctement les signaux ultrasonores correspondants à des TFP de profondeurs intermédiaires. La Figure 4.17 montre que le méta-modèle commet une erreur quadratique moyenne faible par rapport aux si-gnaux de référence issus de CIVA. Cette phase de compression n’empêche donc pas l’utilisation d’un méta-modèle.

Il faut noter un dernier élément important sur cette méthode de compression : le décalage temporel des atomes forme une première approximation de l’effet de la profondeur du défaut. Sans utiliser le krigeage, le simple fait de compresser le signal issu d’un TFP de profondeur d1

par exemple d2“ 0,2 mm, permet d’obtenir un signal très proche du signal de référence d’un TFP de profondeur d2. En effet, la décompression avec une profondeur de défaut différente induit un décalage des atomes cohérent avec la nouvelle géométrie du défaut. Le signal issu de ce simple décalage est illustré en Figure 4.17 : son écart au signal de référence est faible. L’utilisation du krigeage entre la phase de compression et de décompression permet de réduire un peu plus cet écart. Cette amélioration de la simulation par le krigeage prouve que les composantes compressées sont compatibles avec la construction d’un méta-modèle. Dans le cas d’une extrapolation pour lequel le krigeage n’est pas adapté, il est possible d’avoir une bonne approximation du signal en s’appuyant seulement sur le décalage des atomes lors de la décompression. Finalement, cette méthode de compression par poursuite de correspondance appliquée écho par écho est suffisamment stable pour la construction d’un méta-modèle dans l’espace compressé mais permet également un premier niveau de modélisation de l’effet de la profondeur d’un défaut. Il faudra confirmer ces conclusions sur des données expérimentales présentant des TFP à différentes profondeurs.

(a) Profondeur du défaut d “ 0,1 mm

0 2 4 6 8 10 12 Temps t [µs] ´1,0 ´0,5 0,0 0,5 1,0 Amplitude [u .a .] Non simulé

Référence ^{Décalage - Erreur : 0,023 u.a.}Krigeage - Erreur : 0,021 u.a.

(b) Profondeur du défaut d “ 0,4 mm 0 2 4 6 8 10 12 Temps t [µs] ´1,0 ´0,5 0,0 0,5 1,0 Amplitude [u .a .] Non simulé

Référence ^{Décalage - Erreur : 0,026 u.a.}Krigeage - Erreur : 0,026 u.a.

(c) Profondeur du défaut d “ 1,0 mm 0 2 4 6 8 10 12 Temps t [µs] ´1,0 ´0,5 0,0 0,5 1,0 Amplitude [u .a .] Non simulé

Référence ^{Décalage - Erreur : 0,025 u.a.}Krigeage - Erreur : 0,023 u.a.

(d) Profondeur du défaut d “ 10,0 mm 0 2 4 6 8 10 12 Temps t [µs] ´1,0 ´0,5 0,0 0,5 1,0 Amplitude [u .a .] Non simulé

Référence ^{Décalage - Erreur : 0,016 u.a.}Krigeage - Erreur : 0,011 u.a.

Figure 4.17 – Prise en compte de la profondeur du défaut

Deux méthodes sont comparées ici. La première qualifiée de décalage correspond à une compression du signal correspondant à un TFP de 12 mm de profondeur puis à sa décompression à la profondeur cible à savoir 0,1, 0,4, 1,0 et 10 mm. Le décalage des atomes induit par la compression/décompression approxime l’effet de décalage des échos induit par le changement de profondeur des défauts. La seconde méthode de simulation consiste à ajouter un méta-modèle par krigeage entre la phase de compression et celle de décompression afin de s’assurer qu’il est possible de construire un méta-modèle avec des signaux compres-sés. La base de données du méta-modèle contient les signaux ultrasonores correspondant à l’inspection de TFP à 3 profondeurs différentes t2 ; 6 ; 12u mm. Deux conclusions peuvent être tirées des faibles écarts quadratiques moyens obtenus vis-à-vis des signaux de référence : d’une part, la phase de compres-sion/décompression est un premier modèle traduisant assez bien l’effet de la profondeur du défaut sur les signaux ultrasonores ; et d’autre part, un méta-modèle par krigeage peut effectivement être construit sur les données compressées et améliorer la simulation.