Forme des impacts

Raidisseur Impact Peau 0,0 0,5 1,0 1,5 T emps t [µ s] (b) C-scan en amplitude 0 100 Position x [mm] 0 50 P osition y [mm ] Raidisseur Impact Peau 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 Amplitude [u .a .] (c) Forme 10 mm

(d) Contenu en temps de vol

0 π 4 π 2 3π 4 π ´^3π₄ ´^π₂ ´^π₄ 0,0 0,5 1,0

(e) Contenu en amplitude

0 π 4 π 2 3π 4 π ´^3π₄ ´^π₂ ´^π₄ 0,0 0,5 1,0

Figure 3.25 – Décomposition d’un impact en forme et contenu

Les cartographies du haut correspondent au temps de vol et à l’amplitude du premier écho après l’écho d’entrée. Les pixels restés blancs correspondent à une perte de détection d’écho due à une dégradation de la surface du matériau. Un opérateur certifié procède ensuite au détourage de l’impact permettant de séparer sa forme et son contenu. Le terme profil se réfère aux valeurs de contenu présentes sur un rayon de la Figure 3.25d ou de la Figure 3.25e selon qu’il s’agit d’un profil en temps de vol ou en amplitude.

3.3.2.1. Forme des impacts

Synthétiser la forme d’un impact revient à estimer la façon dont les dommages se sont étendus dans la pièce. La propension du délaminage à affecter une zone plus ou moins importante est notamment modulée par des variations locales des propriétés du matériau, par la forme de l’objet impactant ou encore par l’énergie de l’impact. L’influence respective de ces éléments ne peut pas être estimée depuis un C-scan, seul le résultat de leur influence combinée — à savoir le délaminage

100 mm

Figure 3.26 – Forme d’impacts réels

56impacts réels ont été inspectés et leur forme a été relevée par des opérateurs certifiés. Cet inventaire souligne que les formes d’impact sont telles qu’un segment reliant le centre de l’impact à la frontière est toujours inclus à l’intérieur du défaut : la situation de la Figure 3.24 ne se rencontre pas.

final — est observable. Ces sources de variabilité peuvent être vues comme induisant des pertur-bations aléatoires de la forme de l’impact. Il existe un cas pour lequel la source de perturbation est connue : lorsqu’un raidisseur est présent. Le raidisseur est une pièce qui assure la rigidité de la peau. Cet élément se traduit par une sur-épaisseur locale qui limite la propagation des délaminages comme le met en évidence le C-scan en temps de vol de la Figure 3.25a. En résumé, le compor-tement du front de l’impact est soumis à une somme d’aléas à laquelle s’ajoute la contrainte plus déterministe des raidisseurs.

Pour prendre en compte ces aléas et ces contraintes, le modèle proposé s’établit à partir d’une analogie empirique. L’établissement de la frontière entre la zone endommagée et la zone saine lors d’un impact est rapprochée d’un phénomène de diffusion. L’idée avancée dans cette thèse est née de l’observation des formes de la Figure 3.26 : elles ressemblent à de l’encre qui aurait diffusée à la surface d’un papier, ou à de la chaleur qui aurait diffusée dans un matériau. En suivant l’analogie avec la chaleur, les contraintes locales des raidisseurs sont vues comme des zones plus froides qui tendent à ralentir la diffusion alors que la peau permet la diffusion. Le modèle n’est requis qu’en deux dimensions puisqu’il s’agit de simuler la forme d’un impact sur un C-scan dans le plan px, yq. Pour simplifier au maximum l’équation, le modèle est limité à une seule dimension grâce aux coordonnées cylindriques. Soit r la distance entre le centre de l’impact et sa frontière, la fonction rpθqdéfinit la forme d’un impact et le modèle empirique de comportement proposé est le suivant :

Br Bτ ^{` λC</sup> Br Bθ<sup>` λD} B²r Bθ^{2 “ F pr, θq} (3.4)

avec : τ temps d’expansion de l’endommagement ;

r distance entre le centre de l’impact et la frontière de l’impact pour un angle donnée, à un instant donné rpθ, τq ;

λ_C coefficient de convection selon θ ; λ_D coefficient de diffusion selon θ ;

F sources de chaleur plus ou moins intenses (mais positive) selon l’absence ou la présence de raidisseurs.

La solution de cette équation aux dérivées partielles est calculée en utilisant un schéma nu-mérique en différences finis, implémentée en Cython pour augmenter la rapidité d’exécution. Une condition aux limites périodique complète l’équation : il faut que la forme définie puisse se “re-fermer” sur elle-même sans discontinuité rpθ “ 0q “ rpθ “ 2πq. Pour mieux appréhender et comprendre ce modèle, fixons F comme une constante réelle avec la condition initiale suivante rpτ “ 0, θq “ 0. La solution obtenue est alors simplement rpτ, θq “ F τ : la frontière de l’impact est un cercle qui s’élargit depuis le point d’impact à une vitesse donnée par la source F . En stoppant l’expansion au bout d’un certain temps, une forme d’impact plus ou moins grande est obtenue. Physiquement, cette approche suppose que la forme finale d’un impact est due à la propagation de délaminages au sein du matériau. L’étude par caméra rapide du phénomène d’impact menée par Knauss et al. [204] motive cette intuition : l’impact se décompose en deux phases distinctes, les premiers instants initient des délaminages dans le matériau et peuvent laisser une indentation

locale et permanente au point d’impact, puis la zone endommagée s’étend jusqu’à la forme finale de l’impact. L’équation proposée ici vise à modéliser cette seconde phase au premier ordre. Une telle approximation n’est possible que pour de courtes durées puisqu’un impact ne s’étend pas indéfiniment à vitesse constante. Les mesures de position du front d’endommagement en fonction du temps montrées par Knauss et al. établissent une vitesse moyenne de l’ordre de 150 m s´1avec une durée de quelques centaines de micro-secondes soit une expansion sur quelques dizaines de millimètres.

La solution obtenue avec une source F constante et une initialisation à zéro n’est pas satisfai-sante : les formes d’impacts réels ne sont pas de simples cercles. Pour que ce modèle empirique puisse synthétiser la diversité des formes obtenues, il faut perturber la solution en fonction de la direction. Lorsqu’une position de la frontière de l’impact est perturbée, il faut que les positions voisines soient également affectées car la forme finale ne présente pas de discontinuité. Les dérivées partielles en θ imposent cette dépendance. Attention, les termes diffusion et convection donnés aux constantes sont issus de l’analogie avec la chaleur et s’appliquent selon θ : contrairement à F , ils ne contrôlent pas l’expansion de la forme depuis le point d’impact mais ils traduisent l’“étalement” sur les positions voisines d’une perturbation de la forme à une position donnée. L’analyse du problème montre trois sources contribuant à perturber la forme de l’impact :

1. l’objet impactant via la distribution de dommages qu’il crée dans les premiers instants de l’impact ;

2. la géométrie de la pièce et notamment la présence d’un raidisseur ;

3. la micro-structure du matériau et plus globalement sont aspect anisotrope.

Le premier point est pris en compte via les conditions d’initialisation de l’Equation 3.4. Pour simuler ces conditions inconnues, un bruit blanc de moyenne λmoyet d’écart-type λvar est utilisé. Les deuxième et troisième types de perturbation de la forme sont modélisés à travers le terme source : F “ Fa` Fb. Fa traduit la contrainte rencontrée par l’impact lorsque la pièce présente un raidisseur. A chaque position du front de diffusion rpθq, soit l’épaisseur de la pièce est identique à celle présente au centre de l’impact et la propagation est encouragée — i.e. Fa est maximal —, soit l’épaisseur y est différente et la propagation est freinée — i.e. Fa est minimal. Le calcul de Fa

suppose que la géométrie de la pièce étudiée est connue. Sur une pièce saine, il existe une façon simple de caractériser cette géométrie : le C-scan en temps de vol de l’écho de fond utofpx, yq qui donne l’épaisseur en chaque point de la pièce. La synthèse d’impact supposera donc que ce C-scan est connu. La source Fa est alors définie comme suit :

Fapx, yq “ λFa

¨

˝1 ´ ^{|utofpx, yq ´ utofpxI, yIq|} max

x,y |utofpx, yq ´ utofpxI, yIq| ˛

‚ (3.5)

avec : pxI, y_Iq coordonnées du centre de l’impact ;

λ_Fa coefficient contrôlant la valeur maximale de la source ; u_tofpx, yq épaisseur de la pièce à la position px, yq, mesure issue du

C-scan en temps de vol de l’écho de fond ; max

x,y |utofpx, yq ´ utofpxI, yIq| normalisation du résultat par la différence d’épaisseur maximale de sorte que l’amplitude de la source ne soit pas dépendante des valeurs d’épaisseur.

La source est ainsi liée à la géométrie de la pièce saine et permet de moduler la diffusion comme présenté en Figure 3.27. Pour assurer un ralentissement suffisant de la propagation aux abords d’un raidisseur, une fonction renforçant le contraste x ÞÑ 1´exppλBxq

1´exppλBq est appliquée à Fa, avec λB

un hyper-paramètre contrôlant la forme de la fonction de contraste.

Enfin, la source Fb permet de rendre compte du matériau lui-même. La base de données des impacts montre que les impacts sont souvent de forme allongée, probablement à cause de l’ani-sotropie du matériau lui-même. Pour encourager l’expansion des délaminages dans une direction privilégiée, Fb est définie comme l’équation d’une ellipse dont le grand axe définit cette direction privilégiée : F_bpθq “ λ_A1 b 1 ` λ2 A2cos2pθ ´ λA3q (3.6) avec : λA1 puissance de l’effet d’anisotropie ;

λA₂ excentricité ;

0 100 Position x [mm] 0 25 P osition y [mm ] τcroissant Raidisseur Peau 1 2 3 4 5 6 T emps t [µ s]

Figure 3.27 – Propagation du front de délaminage

La forme de l’impact à différents pas de temps τ est tracée sur le C-scan servant de support à la propagation. L’initialisation aléatoire est tracée en couleur claire tandis que l’état final apparaît en couleur foncée. Le phénomène de blocage par le raidisseur est bien répliqué sur ce cas.

En résumé, la forme de l’impact synthétisé dépend de :

— la cohérence des déplacements de la frontière de l’impact29, modélisés par la constante de convection λC selon θ et la constante de diffusion λD selon θ ;

— le temps maximum laissé à l’expansion du dommage τM;

— les conditions initiales traduites par un bruit blanc de moyenne λmoyet d’écart-type λvar; — la géométrie de la pièce saine autour du point d’impact, connue à travers le C-scan en temps

de vol et la position du choc. L’effet est traduit par le terme source Fa. Ce terme est contrôlé par l’amplitude maximale λFa et la forme de la fonction de contraste λB;

— le matériau dont l’anisotropie est modélisée par le terme source Fb contrôlé par λA₁, λA₂ et λA₃.

Le choix des 10 hyper-paramètres notés λin’est pas aisé. Rapprocher ce modèle empirique des modèles analytiques de la littérature pourrait être une solution mais l’exercice est difficile car les caractéristiques des impacts et des matériaux ne sont pas connues. La technique utilisée ici repose sur une comparaison des formes obtenues via la simulation avec celles d’une base de données d’impacts réels. La comparaison doit se faire de façon statistique car à un ensemble donné des 10hyper-paramètres ne correspond pas une forme unique d’impact mais un ensemble de formes variées dépendant de la position du choc, de l’initialisation, de la géométrie de la pièce, etc. Pour en tenir compte, l’Equation 3.4 est résolue à plusieurs reprises pour différentes positions d’impact choisies aléatoirement sur un C-scan sain. A partir de l’ensemble des formes ainsi synthétisées, un ensemble d’indicateurs géométriques tels que l’aire, le périmètre, les axes de l’ellipse équivalente, la solidité ou l’excentricité sont extraits. Chaque indicateur n’est pas associé à une valeur unique mais à une densité de probabilité constatée sur l’ensemble des impacts synthétisés. 60 impacts sont simulés pour obtenir une densité de probabilité, le procédé est réitéré 10 fois pour estimer l’erreur d’estimation de la densité de probabilité. Une analyse équivalente est menée sur les 54 impacts réels connus. Elle donne une densité de probabilité de référence mais le nombre restreint d’impacts ne permet pas d’y associer la marge d’erreur. Si les hyper-paramètres sont bien choisis alors la densité de référence doit se trouver dans le faisceau de densité issus de la simulation. Pour atteindre cet objectif, certains des hyper-paramètres sont eux-mêmes associés à une densité de probabilité de sorte à introduire un aléa supplémentaire. De nombreuses synthèses ont permis d’évaluer l’influence de ces 10 hyper-paramètres et d’en aiguiller le choix :

29. A savoir, comment une perturbation de la frontière de l’impact à un endroit donné se répercute sur la forme de la frontière dans cette zone.

— la convection force la forme à rester globalement circulaire en répercutant la perturbation de la frontière d’un angle à ses voisins. λC est uniformément distribué entre 0 et 0,1 rad s´1. — la diffusion donne un effet proche de la convection mais autorise des courbures plus fortes de

la frontière aux abords d’un raidisseur. λD est fixée à 0,3 rad2s´1.

— le temps maximum laissé à la croissance du dommage influence notamment la taille finale de l’impact. En outre, plus ce temps est long, moins l’aléa d’initialisation est significatif et plus les formes obtenues sont régulières. Un bon compromis est atteint avec τM “ 400 s.

— la forme initiale de l’impact est un bruit gaussien. La moyenne λmoy de ce bruit contrôle la taille initiale de l’impact, qui peut être considérée comme la zone indentée lors du choc. L’écart-type λvar contrôle l’aléa des délaminages initiaux. Ces paramètres sont respective-ment fixés à λmoy“ 1 mmet λvar “ 4 mm. Pour éviter les initialisations négatives, la valeur absolue du bruit est utilisée.

— l’amplitude globale λF_a associée à la géométrie de la pièce contrôle indirectement la taille finale de l’impact. En effet, en tant que terme source, λF_a participe à la vitesse de croissance de la forme. λF_a est tiré d’une loi uniforme entre 0,01 et 0,05.

— la fonction de contraste appliquée au C-scan sain permet d’associer un gradient de la source λ_Fa plus ou moins important aux changements d’épaisseur. Une valeur de λB “ ´2permet d’obtenir un ralentissement correct de la propagation de l’impact dans les raidisseurs. — le terme Fb d’anisotropie introduit dans le modèle contrôle indirectement l’anisotropie de la

forme mais, puisqu’il s’agit d’un terme source, il influence aussi la taille finale de l’impact. La puissance de cet effet d’anisotropie λA₁ est associée à une loi uniforme entre 0,5λF_a et 3,0λF_a. La dépendance à λF_a assure de ne pas noyer l’effet d’anisotropie dans l’effet de la géométrie de la pièce.

— l’excentricité de l’anisotropie définit si la direction privilégiée s’étend largement — i.e. don-nant une forme globalement allongée dans une direction — ou au contraire s’il s’agit d’une direction très précise — i.e. donnant une forme globalement circulaire avec une extension brutale selon une direction30. λA₂ est décrit par une loi uniforme entre 1 et 50.

— la direction principale de l’anisotropie λA₃ correspond à la direction des fibres du composite. Pour éviter d’avoir à caractériser préalablement le matériau, cette direction est aléatoirement choisie parmi t0 ; π

4 ; π 2 ; 3π

4u radcar la plupart des plis prennent ces directions privilégiées31. Un raffinement pourrait être apporté en analysant la texture du C-scan sain et en en déduisant les orientations principales de l’anisotropie.

Les hyper-paramètres ainsi définis ont permis d’obtenir des formes satisfaisantes32 comme le montre la Figure 3.28 et la comparaison des densités de probabilité de la Figure 3.29. La densité de référence est incluse dans les faisceaux de densité simulée pour quasiment tous les indicateurs de géométrie. Seule la solidité montre un écart significatif avec la référence avec une tendance de la simulation à avoir une faible solidité. Cependant, cet indicateur est très dépendant du bruit qui affecte la frontière. Plus le bruit augmente, plus la solidité augmente. L’extraction manuelle des frontières — aboutissant à des frontières plus bruitées que la simulation — peut expliquer cet écart important. Dans l’optique d’améliorer la performance de ce modèle, une optimisation automatique a été envisagée. Cependant, l’aspect non-déterministe de la synthèse couplé à la difficulté à définir les indicateurs géométriques les plus pertinents n’a pas permis de converger vers des hyper-paramètres plus satisfaisants que ceux identifiés manuellement. Les formes d’impact obtenues sont suffisamment réalistes pour donner l’impression de véritables impacts et être utilisées dans le cadre de la simulation opérationnelle, comme le montre les tests auprès des opérateurs (cf. Section 5.3.1). Pour aller plus loin, une mesure de réalisme moins couteuse en temps que le calcul de densité de probabilité ou l’appel à des opérateurs devrait être mis au point. Une telle métrique assurerait une définition automatique des hyper-paramètres et renforcerait l’adéquation entre simulation et réalité.

30. Une telle forme est assimilable au phénomène d’écharde. Lors d’un impact, il peut arriver qu’un groupe restreint de fibres se décolle donnant un axe franc de délaminage.

31. Il est alors supposé que le repère de l’inspection coïncide avec les directions principales du matériau. 32. Les formes synthétisées semblent provenir d’un mécanisme équivalent aux formes constatées en expérience. De plus, les comportements déterministes vis-à-vis des raidisseurs sont aussi pris en compte dès lors que le C-scan de la pièce saine est disponible et non bruité.

Par ailleurs, ce modèle empirique appliqué dans une situation où les paramètres expérimentaux sont bien maîtrisés pourrait permettre de lier les hyper-paramètres définis à des considérations physiques rigoureuses et de recouper cette approche avec l’abondante littérature sur les modèles analytiques de délaminage. Les premiers modèles de délaminage de Chai et al. se sont intéressés au lien entre déformation et taille du délaminage à partir de considérations énergétiques [205]. Plus tard, des équations dynamiques de propagation du front de délaminage en une seule dimension ont été proposées, elles prennent la forme de deux équations différentielles couplées d’ordre 2 en temps [206][207]. En revanche, l’étude de la propagation en deux dimensions de ce front semble s’appuyer essentiellement sur des méthodes numériques de type éléments finis [208][209][210]. Le modèle empirique proposé ici pourrait ainsi être étudié à la lumière de ces simulations. Dans les modèles physiques, trois types d’impact sont discriminés : l’impact balistique, l’impact de type grêlon et l’impact dû à la chute d’objets lourds [211]. La simulation offrirait une nouvelle source de validation du modèle en fonction des types d’impact.

100 mm

Figure 3.28 – Formes d’impacts simulées

56 impacts ont été simulés à diverses positions sur un C-scan sain, ils sont à mettre en regard de la Figure 3.26 qui présente des formes d’impact réelles.