Modèle physique utilisé

Pour appliquer la méthode proposée ci-avant au cas des TFP, il faut disposer d’un modèle physique M décrivant la signature ultrasonore de ce défaut. Le modèle doit être le plus rapide possible puisqu’il sera intensivement utilisé par le krigeage même en ligne. Concernant son degré de précision, il suffit qu’il permettre d’identifier les paramètres d’entrée qui entraînent une sortie similaire du système, i.e. les configurations d’inspection qui mènent à des signaux ultrasonores similaires.

Les équations de la physique évoquées en Section 2.1 décrivent efficacement les phénomènes impliqués dans l’inspection d’un TFP, mais leur utilisation implique de longs calculs. Un modèle beaucoup plus approximatif et rapide sera établi à partir d’une analogie géométrique. Le traducteur émet une onde ultrasonore ayant une certaine directivité. A l’instar d’un faisceau lumineux, le terme faisceau ultrasonoreest utilisé pour désigner la zone de l’espace où l’amplitude de l’onde ultrasonore est importante. Ce faisceau ultrasonore peut être modélisé par un axe central définissant une direction de propagation et une section qui peut varier selon la distance au traducteur. Cette section est souvent définie comme la zone délimitée par une chute d’amplitude de ´6 dB par rapport au maximum d’amplitude de l’excitation. La Figure 4.18 donne une idée de la forme de ce faisceau lors de l’inspection des TFP. L’idée est de modéliser ce faisceau localement à la profondeur du TFP par un cylindre délimitant une zone d’insonification de rayon R : à l’intérieur du cylindre l’amplitude de l’excitation est constante, à l’extérieur elle est nulle. R dépend des caractéristiques du traducteur et du matériau et peut être estimé à partir d’une simulation du faisceau. Dès lors, tant que le défaut ne pénètre pas dans le faisceau, il est invisible. Lorsque le défaut — considéré comme un réflecteur parfait — se trouve dans le faisceau, il va renvoyer une partie de l’excitation vers le traducteur et il devient visible. Des considérations géométriques permettent alors d’estimer l’amplitude du signal réfléchi par le défaut, donnant ainsi un modèle physique MR approximant l’effet du défaut sur le signal mesuré. Sous ces hypothèses simplificatrices, MR se calcule simplement à partir de l’aire d’intersection entre deux disques, le faisceau de rayon R et le défaut de diamètre φ. Une normalisation par πR2 permet d’assurer que MR“ 1lorsque la totalité de l’excitation incidente est réfléchie. L’approximation cylindrique du faisceau rend MR indépendant de l’épaisseur de la pièce et de la profondeur du défaut : MRpφ, px, p_yq. De toute façon, les données expérimentales ne permettent pas d’explorer en détails l’effet de ces paramètres, donc ils seront gardés constants. La Figure 4.19 compare le modèle géométrique ainsi obtenu avec l’amplitude de l’écho de défaut prévue par une simulation CIVA par méthode des pinceaux dans les mêmes conditions. Pour réduire au mieux l’écart entre le modèle géométrique et la simulation CIVA au sens des moindres carrés, le rayon du faisceau ultrasonore doit être de R “ 4,5 mm, valeur cohérente avec la dimension estimée à partir de la simulation du faisceau faite en Figure 4.18. Les amplitudes prédites sont en bon accord pour les diamètres de défaut suffisamment grands. Par contre, lorsque le diamètre du défaut est petit devant la taille du faisceau, l’amplitude du signal réfléchi par le défaut dépend de la position du défaut dans le faisceau et de la véritable distribution d’amplitude du faisceau. Dans ce cas, l’approximation du faisceau par un cercle dans lequel l’excitation est constante n’est plus valable. En outre, pour des diamètres de défaut proches de la longueur d’onde de l’excitation des

(a) Plan px, yq 0 5 10 15 Position x [mm] 0 5 10 15 P osition y [mm ] (b) Plan px, zq 0 5 10 15 Position x [mm] 0 10 20 30 P osition z [mm ] Transducteur (c) Plan py, zq 0 5 10 15 Position y [mm] 0 10 20 30 P osition z [mm ] Transducteur ´30 ´25 ´20 ´15 ´10 ´5 0 Amplitude [dB ]

Figure 4.18 – Amplitude du champ de déplacement simulé sous le traducteur

Configuration de contrôle : traducteur de 32 éléments, taille d’élément de 0,9 mm ˆ 10 mm, ouverture de 8 éléments, hauteur d’eau de 40 mm, excitation à 4,2 MHz. 0 dB correspond à l’amplitude maximale du déplacement généré par le traducteur, le cercle correspond à l’approximation par faisceau circulaire à ´6 dB, le rayon mesuré est alors de R “ 3,8 mm.

effets de diffraction peuvent aussi mettre ce modèle géométrique en défaut. Pour pouvoir étendre le modèle à de petits défauts, une équation empirique est proposée ici : en simulation, le signal réfléchi par un petit défaut montre une forme gaussienne dont le maximum dépend du diamètre du défaut. Ainsi, dans le cas de petits défauts, une gaussienne dont le maximum dépend linéairement du diamètre est adaptée aux données simulées. Le modèle M devient :

M “#MRpφ, px, pyq si 2R ă φ paφ ` bq exp ´ ´<sup>pp</sup>x´cxq<sup>2</sup>`ppy´cyq² σF E ¯ sinon ^(4.6)

avec : pcx, cyq coordonnées du centre du défaut ;

MRpφ, px, pyq modèle géométrique correspondant à l’aire d’intersection de deux disques, l’un de rayon R centré en ppx, pyqet l’autre de diamètre φ centré en pcx, cyq; a, b paramètres définissant le maximum d’amplitude du signal réfléchi en

fonc-tion du diamètre du réflecteur ;

σ_{F E} dispersion spatiale de l’amplitude du signal réfléchi par des défauts de petits diamètres. σF E contrôle le rayon de la zone où la signature du défaut est visible.

Les paramètres a, b et σF E sont estimés directement à partir d’échos de défaut simulés et permettent d’étendre l’utilisation du modèle physique à de petits défauts. R est extrait soit d’une simulation du faisceau ultrasonore, soit d’une simulation d’inspection.

4.4.3. 3 atouts pour mieux exploiter les données

Le formalisme proposé précédemment introduit une connaissance physique dans le krigeage compatible avec l’utilisation de données compressées. En outre, ce formalisme peut exploiter un modèle physique dont la sortie est scalaire — tel que le modèle présenté en paragraphe 4.4.2.2 — pour améliorer un méta-modèle dont la sortie est vectorielle — cf. Figure 4.2. S’appuyer sur cette nouvelle source d’information doit permettre de rendre le méta-modèle plus adapté au contexte de cette thèse. Les atouts du krigeage amélioré face au krigeage ordinaire seront illustrés sur trois fronts : la robustesse face au manque de données, la généricité du méta-modèle et la gestion du bruit dans les données expérimentales. Pour étudier les deux premiers atouts, seuls des signaux simulés par la méthode des pinceaux de CIVA et exempts de bruit seront utilisés afin de ne pas introduire une difficulté supplémentaire ; le dernier atout permettra d’étendre la méthode au cas des données expérimentales et affectées par du bruit. L’étude s’appliquera à la simulation de TFP pour lequel l’Equation 4.5 devient :

(a) φ “ 2 mm

0 5 10 15 20 25

Position x sur le diamètre du TFP [mm] 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 Amplitude [u .a .] Référence (CIVA)

Approximation gaussienne ^{Intersection de disques}

Faisceau Défaut

(b) φ “ 8 mm

0 5 10 15 20 25

Position x sur le diamètre du TFP [mm] 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 Amplitude [u .a .] Référence (CIVA)

Approximation gaussienne ^{Intersection de disques}

Faisceau Défaut

(c) φ “ 10 mm

0 5 10 15 20 25

Position x sur le diamètre du TFP [mm] 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 Amplitude [u .a .]

Référence (CIVA) Intersection de disques

Faisceau Défaut

(d) φ “ 16 mm

0 5 10 15 20 25

Position x sur le diamètre du TFP [mm] 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 Amplitude [u .a .]

Référence (CIVA) Intersection de disques

Faisceau Défaut

Figure 4.19 – Comparaison du modèle physique simplifié avec le modèle de pinceaux de CIVA

Le profil d’amplitude de l’écho de défaut le long d’un diamètre du TFP est obtenu par une simulation de ré-férence réalisée avec CIVA. Le modèle géométrique MRpφ, px, pyqconsistant à calculer l’aire d’intersection de deux disques est affiché en trait plein bleu. Les deux disques considérés — i.e. le faisceau ultrasonore et le défaut — sont aussi dessinés dans chacun des cas. La minimisation de l’écart quadratique moyen entre le profil d’amplitude prévu par ce modèle et celui prévu par CIVA pour trois diamètres de défaut différents t2, 6, 20u mmpermet d’estimer la taille du faisceau ultrasonore : R “ 4,5 mm. Cette taille diffère un peu du dimensionnement à ´6 dB mené en Figure 4.18 (R “ 3,8 mm, soit un écart de 16 %). La cause principale réside dans l’hypothèse cylindrique du faisceau dont la section n’est en réalité pas parfaitement circulaire. Par ailleurs, il apparaît que, pour les petits diamètres φ ă 2R, l’aire d’intersection de deux disques n’est plus une approximation valable du profil d’amplitude. Par exemple pour φ “ 2 mm (cf. Figure 4.19a), l’erreur relative entre le maximum du signal prévu par CIVA et celui prévu par l’intersection des disques est de 46 %. Dans ces cas, le profil de référence semble proche d’une gaussienne dont le maximum dépend du diamètre du défaut. En effet, ce modèle empirique gaussien — exprimé en Equation (4.6) — s’ajuste aux profils d’amplitude pour les petits diamètres de défaut φ ă 2R avec a “ 0,119 mm´1, b “ ´0,149, σF E “ 17,2 mm². Pour φ “ 2 mm (cf. Figure 4.19a), l’erreur relative entre le maximum du signal prévu par CIVA et celui prévu par le modèle empirique gaussien n’est plus que de 4 % et l’erreur relative maximale est de 18 % sur le bord du défaut. La combinaison de l’approximation par intersection de deux disques lorsque φ ą 2R et du modèle gaussien lorsque φ ă 2R donne un modèle physique très simplifié de l’effet de la géométrie du TFP sur sa signature ultrasonore.

||X1´ X2||²_M“ λ^|_d ¨ ˚ ˚ ˝ ||e1´ e2||²₂ ||φ1´ φ2||²₂ ||p_x1´ p_x2||²₂ ||p_{y 1}´ p_{y 2}||²₂ ˛ ‹ ‹ ‚ ` λϕ||Mpφ1, p_x1, p_{y 1}q ´ Mpφ2, p_x2, p_{y 2}q||²₂ (4.7)

avec : λd“ pλd_e, λd_φ, λd_px, λd_pyq^| hyper-paramètre vectoriel pour différencier le comportement de chaque paramètre d’entrée ;

λϕ hyper-paramètre scalaire ;

M modèle physique défini par l’Equation 4.6.

Ce krigeage amélioré a été implémenté en développant un nouveau noyau de krigeage compa-tible avec l’architecture du code proposé par scikit-learn et intégrant le modèle physique. La modification du noyau a été programmée en veillant à ne pas introduire de ralentissement significa-tif des calculs. Les calculs les plus lourds correspondent aux calculs de covariances qui demandent d’évaluer de nombreuses fois la valeur de la norme (4.5). Ces calculs étant indépendants, ils ont été parallélisés grâce au module Python PyCUDA [246].