Bases réduites appliquées à une approche en éléments finis

Le paragraphe précédent pointe du doigt une limitation importante de l’application de la DOP à un schéma par différences finies : la base réduite fige la géométrie de la pièce et du défaut. La littérature propose toutefois une technique séduisante pour étendre les bases réduites à des géomé-tries variables [86]. L’idée est de travailler sur une géométrie de référence — pour laquelle la base réduite est valide — puis d’exprimer tous les changements de géométrie comme des déformations de cette référence. De telles déformations ne peuvent être envisagées dans le cas des différences finies pour lesquelles le maillage doit rester régulier ; un schéma numérique par éléments finis a donc été implémenté. Comme pour les différences finies, cet environnement de test a été développé en Python.

L’étude menée s’intéresse à la modification de la taille d’un défaut. La pièce prise pour réfé-rence est carrée avec un défaut également carré en son centre, le tout limité à deux dimensions. Pour changer la taille du défaut, deux possibilités sont illustrées en Figure 2.6. Soit la forme du maillage est inchangée et les propriétés de certains nœuds changent. Par exemple, dans le schéma aux différences finies du paragraphe précédent, des conditions de Dirichlet sont imposées à tous les nœuds se trouvant sur le défaut, ce qui revient à les supprimer11. Soit le maillage est modifié de façon à déplacer les bords du défaut mais en gardant les propriétés de chaque nœud. Cette dernière option est notamment rendue possible grâce aux éléments finis avec lesquels le maillage n’est pas nécessairement régulier. La déformation de maillage permet ainsi de lier la simulation de n’importe quelle taille de défaut à une simulation de référence sur laquelle une réduction de modèle peut être appliquée. Les travaux de Huynh [87] exploitent cette propriété pour construire un modèle réduit sur une géométrie identique à celle étudiée ici mais dédiée à des simulations d’élasticité linéaire en régime statique. Cet exemple sera repris et complété de façon à traiter le régime dynamique.

Dans un premier temps, Huynh découpe la zone de calcul en sous-domaines triangulaires dont la déformation affine permet de contrôler la taille du défaut. La Figure 2.7 montre le découpage utilisé où 16 points de contrôle paramétrés par le vecteur µ définissent la taille du défaut. Le défaut mesure ainsi 2µ1 selon x et 2µ2selon y. La méthode de calcul des déformations de chaque sous-domaine est explicitée en Annexe B.1.

11. Imposer un déplacement nul au niveau de ces nœuds revient à les omettre dans les calculs de propagation.

(a) Pièce de référence

Position x

P

osition

y

(b) Taille de défaut modifiée par ajout/suppression d’éléments

Position x

P

osition

y

(c) Taille de défaut modifiée par déformation d’éléments

Position x

P

osition

y

Figure 2.6 – Deux stratégies pour la modification de la taille d’un défaut

A partir d’un maillage de référence, modifier la géométrie d’une pièce peut être fait soit en modifiant le nombre d’éléments, soit en déformant les éléments existants.

0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 Position x rmms 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 P osition y rmm s 2 1 5 6 3 4 9 10 11 12 8 7 15 16 14 13 2µ₂ 2µ₁

Figure 2.7 – Définition des sous-domaines pour un défaut rectangulaire

La zone de défaut correspond à la zone vide tracée en blanc sur la figure, elle peut représenter un défaut de délaminage comme discuté en paragraphe 4.1.

Dans un deuxième temps, Huynh évalue les conséquences sur le schéma en éléments finis de l’application de cette transformation. Dans le cas statique, seule la matrice des rigidités K est considérée et il montre que (cf. Annexe B.2) :

K “ nc ÿ i“0 Θ^K_i pµq ˆKi (2.17) avec : ΘK

i fonction relative au sous-domaine i et traduisant l’effet de la déformation affine ΘK i pµq : Rⁿc ÞÝÑ R ;

ˆ

Ki matrice des rigidités associée au sous-domaine i dans sa forme de référence et donc indépendante de µ ;

nc nombre de sous-domaines (dans certains cas, les transformations affines sont identiques pour plusieurs sous-domaines permettant ainsi de diminuer le nombre de termes à sommer).

Sous une telle forme, les propriétés du matériau et les effets de géométrie sont découplés. Les ma-trices ˆKi traduisent le comportement intrinsèque du matériau. Elles peuvent être simplifiées par projection sur une base réduite à l’image de la stratégie mise en place pour les différences finies. Cette base réduite concerne uniquement les propriétés du matériau donc elle peut être établie sur la géométrie de référence et reste valide pour n’importe quelles déformations. Le contrôle de la géométrie — i.e. de la taille du défaut — passe simplement par les fonctions ΘK

i .

Dans un troisième temps, il faut étendre l’approche proposée par Huynh au régime dynamique en traitant le cas de la matrice des masses M. Il faut notamment calculer l’effet de la déformation affine sur cette matrice et l’exprimer sous une forme équivalente à la matrice de rigidité (2.17) :

M “

nc

ÿ

i“0

Θ^M_i pµq ˆMi (2.18)

Les calculs sont menés en Annexe B.3 et aboutissent à : M1 e“ ρ |det T| SABC 1 12 ¨ ˝ 2 1 1 1 2 1 1 1 2 ˛ ‚ (2.19)

Seul |det T| dépend des paramètres de la déformation µ, ainsi la matrice des masses est fa-cilement décomposée en une fonction ΘM

“ |det T| dépendant des paramètres du défaut et une matrice ˆM “ ρ SABC ₁₂¹ ¨ ˝ 2 1 1 1 2 1 1 1 2 ˛

‚dépendante uniquement des propriétés du matériau.

Les premiers tests de cette approche ont été menés sur un matériau homogène sans défaut. Un schéma en éléments finis sur un maillage régulier est utilisé comme référence. Il s’agit de s’assurer que la propagation de l’onde se comporte de façon équivalente si le maillage est déformé. Les résultats de la Figure 2.8 montrent qu’au contraire la déformation des éléments modifie la propagation de l’onde, il s’agit probablement d’un effet d’anisotropie numérique. Cet effet s’estompe dès lors que le nombre d’éléments du maillage est augmenté ou que la déformation affine est faible. Les possibilités en termes de taille de défaut s’en trouvent donc limitées. La projection de ce schéma dans une base réduite revient à projeter les ˆK_i et les ˆM_i et permet de conserver l’accès à la géométrie via les déformations affines ΘK

i pµqet ΘM

i pµq. En revanche, pour conserver le bon comportement numérique de la solution, il faut augmenter considérablement le nombre d’éléments, une tendance en contradiction avec le but recherché... Il serait peut-être envisageable d’optimiser le comportement de cette technique via des éléments finis d’ordre supérieur. Par ailleurs, il faut noter que l’ensemble de ces résultats sont obtenus à partir d’une ré-implémentation du schéma en éléments finis dédiée à cette étude. Malgré les tests effectués, le code ne saurait être aussi robuste et rapide qu’une implémentation commerciale. Pour aller plus loin, il faudrait confirmer ce comportement à partir d’une implémentation en éléments finis éprouvée. Il a été envisagé de se tourner vers des codes libres de droit qui pourraient être modifiés pour intégrer une base réduite. Cependant, les éléments tirés des premiers essais permettent déjà de relever l’intérêt de l’approche mais aussi ses difficultés, discutées dans le paragraphe suivant.

(a) Éléments de référence et déformés P osi ti on y Transducteur Position x P osi ti on y Transducteur

(b) Écart entre les A-scans simulés

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 Taille ∆x de l’élément [mm] 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 Erreur qu adratique mo yenne ru .a .s Référence Déformation

Figure 2.8 – Analyse de l’écart entre une grille régulière et une grille déformée.

Une grille régulière est prise commeréférence pour modéliser l’inspection d’une pièce carrée sans défaut de 7,2 mm de côté. La grille déformée comprend le même nombre d’éléments que la grille de référence, en revanche ses éléments centraux sont compressés de moitié tandis que les autres éléments sont dilatés du double pour conserver la même géométrie de pièce. Un A-scan est simulé sur chacune des grilles pour différentes densité d’éléments puis ils sont comparés par différence quadratiqueb

puref´ u_{de ´f}q2. Il faut un grand nombre d’éléments pour assurer l’équivalence des deux approches.