Contenu des impacts

Le contenu d’un impact (cf. Figure 3.25d et 3.25e) présente des motifs caractéristiques. Ces motifs résultent d’un certain nombre d’aléas mais ils répondent aussi à la logique du cône de délaminage. En temps de vol, le C-scan montre généralement une succession de plans délaminés de plus en plus profonds à mesure que l’on s’éloigne du centre de l’impact. En amplitude, le C-scan montre une perturbation de l’amplitude du signal à chaque frontière de plans délaminés. Considérer ce contenu comme la réalisation d’un champ aléatoire de Markov ne suffit pas. La valeur d’un pixel est certes influencée par la valeur des pixels de son voisinage mais cette valeur dépend aussi fortement de la distance au centre de l’impact. Pour s’affranchir de cette double contrainte, l’approche proposée ici voit l’impact comme une suite de profils. Une analogie simple permet d’illustrer le concept. En supposant que le contenu d’un impact soit une tarte, le profil correspond à une part suffisamment fine pour être considérée comme unidimensionnelle33. Le profil est représenté par un vecteur dont les composantes correspondent aux valeurs prises par le contenu de l’impact le long d’un rayon. Deux types de tartes existent. Le premier type de tarte est le contenu en temps de vol de l’impact — la tarte est illustrée en 3.25d — et les parts sont des profils en temps de vol notés Ptof

θ . L’angle θ permet d’identifier la position de la part dans la tarte. Le second type de tarte est le contenu en amplitude de l’impact — la tarte est illustrée en 3.25e — et les parts sont des profils en amplitude notés Pamp

θ . La notation Pθfera référence à un profil quel qu’en soit le type.

L’hypothèse de Markov s’adapte beaucoup mieux à ces objets puisque la dépendance à la dis-tance au centre de l’impact disparaît : le profil ne dépend que de l’angle θ. La synthèse s’apparente alors à celle développée ci-avant pour les textures. D’abord, le comportement des voisinages est capturé à partir d’un ensemble de profils extraits des impacts disponibles. Ensuite, la construction

33. Dans cette thèse, les parts ont un angle au sommet de 2π

500raddonc 500 profils sont utilisés pour décrire un contenu donné. Le nombre de profils requis dépend du rayon maximum Rmaxde l’impact et de l’échantillonnage spatial ∆x, ∆y. Le nombre adéquat de profils est donné par 2π

arctan^{´minp∆x, ∆yq}

Rmax

¯. Avec 500 profils, la taille maximale de la part de tarte à Rmax“ 50 mmest de 0,6 mm et assure que tous les pixels du contenu seront présents dans au moins un profil.

0 2 000 4 000 6 000 Aire [mm2] 0 2 4 6 Densité [u .a .] ^10´4 Référence Simulation 0 100 200 300 Périmètre [mm] 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 Densité [u .a .] ^10´2 Référence Simulation 0 20 40 60 80 Petit axe [mm] 0 1 2 3 4 Densité [u .a .] ^10´2 Référence Simulation 0 25 50 75 100 Grand axe [mm] 0 1 2 Densité [u .a .] ^10´2 Référence Simulation 0,8 0,9 1,0 Solidité 0,0 0,5 1,0 1,5 Densité [u .a .] ¹⁰¹ Référence Simulation 0,25 0,50 0,75 1,00 Excentricité 0 1 2 3 Densité [u .a .] Référence Simulation

Figure 3.29 – Densités de probabilité associées à la forme des impacts

La forme d’un impact dépend d’un grand nombre d’hyper-paramètres ; pour tenter de comparer la simu-lation à l’expérience, il faut avoir recours à une approche statistique et comparer une collection de formes d’impact simulées à une collection de formes d’impact réelles. Pour ce faire, 60 impacts sont simulés, des indicateurs géométriques tels que l’aire, la taille de l’ellipse équivalente, etc. sont extraits de chacune de ces formes. L’ensemble de ces données permet de tracer la densité de probabilité associée à chaque indicateur. Le procédé est réitéré à 10 reprises pour illustrer la variabilité de l’estimation de ces densités de proba-bilités. Finalement, l’équivalent est réalisé sur les 54 impacts de la Figure 3.26 afin d’estimer la densité de probabilité de référence de chaque indicateur géométrique. La quantité de données expérimentales ne permet pas d’évaluer la marge d’erreur sur ces densités de référence. Cette construction permet cependant de vérifier que la variabilité introduite dans le modèle via le C-scan sain et les hyper-paramètres s’approche effectivement du comportement réel. En rendant cette comparaison moins gourmande en temps de calcul, il serait envisageable de l’utiliser pour optimiser automatiquement les paramètres du modèle d’impact.

d’un nouveau contenu s’effectue par sélection successive de profils compatibles. La conséquence de cette approche est que le processus de synthèse n’introduira aucune nouveauté au sein des pro-fils. Cependant, la possible apparition à plusieurs reprises d’un profil identique dans un contenu d’impact passe inaperçue. La même remarque avait été faite pour la synthèse 2+1D des textures ultrasonores, on pourrait d’ailleurs parler ici de synthèse d’un contenu d’impact en 1+1D plutôt qu’en 2D.

Grâce à la notion de profil, la méthode par voisinage utilisée pour les textures ultrasonores peut être adaptée à la synthèse de contenu d’impact. En outre, le voisinage des profils est unidi-mensionnel puisque les profils ne dépendent que de l’angle θ. Par conséquent, le nombre de voisins à considérer est nettement plus petit que pour les textures ultrasonores, il s’avère même qu’en ne considérant qu’un seul premier voisin, la synthèse se déroule correctement. Ces voisinages réduits à leur plus simple expression (λ1“ 1) permettent de construire une matrice des voisinages Vref

de taille raisonnable même sans compresser les vecteurs profils. Par contre, l’initialisation diffère de celle choisie pour les textures ultrasonores. Pour générer un contenu d’impact cohérent, il est primordial que chaque profil soit parfaitement compatible avec son voisin, c’est-à-dire qu’il ne pré-sente pas de discontinuité de leur valeur. En effet, que ce soit en temps de vol ou en amplitude, les variations des valeurs de contenu sont continues pour les vrais impacts. La compatibilité entre deux profils est estimée par la norme de leur vecteur différence, cf. Equation (3.7). Contrairement

aux A-scans des textures d’impact qui se ressemblent déjà beaucoup, les profils peuvent être très différents les uns des autres, i.e. présenter de grandes distances entre eux. Dans ce cas, l’initialisa-tion aléatoire n’est pas judicieuse car elle risque de mettre côte à côte des profils si différents que la phase de correction peinera à les corriger. Pour éviter ces situations, la synthèse se fait de proche en proche à partir d’un contenu initialement vide. En d’autres termes, le profil Pθ_i est déterminé en choisissant le voisin le plus compatible avec Pθi´1. De proche en proche, l’ensemble des profils rPθ0, ¨ ¨ ¨ , Pθi´1, P_θi, P_θNs se construit, un peu comme une chaîne de Markov unidimension-nelle. Il faut néanmoins ajouter une condition cyclique pour que le dernier profil sélectionné soit compatible avec le premier profil choisi à l’initialisation.

Une analogie géométrique permet de mieux appréhender la situation. Les profils sont des vec-teurs à q composantes ; en se plaçant dans un cas simple pour lequel q “ 2, un profil devient un point du plan. L’ensemble des profils connus — i.e. extraits depuis les impacts de référence — forme un nuage de points. Dès lors, un impact — qui se décompose en une succession de profils — se représente comme une ligne joignant plusieurs points. Puisque les profils sont placés côte à côte de façon circulaire34, le premier et le dernier profil d’un impact sont équivalents : la ligne qui représente l’impact fait un parcours fermé dans l’espace des profils. La synthèse d’un nouveau contenu d’impact revient à tracer une nouvelle ligne joignant des points voisins et faisant un circuit fermé. Le choix d’un nouveau profil Pθ_i de cette ligne doit prendre en compte : l’amplitude et le temps de vol du précédent profil Pθi´1 ainsi que l’amplitude et le temps de vol du profil initial P_θ0. La méthode suivie pour sélectionner le ièmeprofil est illustrée en Figure 3.30 :

— lister les premiers voisins de Pθ_i´1 en temps de vol et les premiers voisins en amplitude ; — ignorer les λsparepremiers voisins. Cette étape force à parcourir l’espace des profils un peu

plus largement et assure par ailleurs qu’il restera des profils non sélectionnés autour du point de départ.

— parmi les premiers voisins restants Pj, sélectionner celui qui n’a encore jamais été utilisé et qui minimise la distance mixte35d:

d “ p1 ´ λRq||Pj´ Pθi´1|| ` λR||Pj´ Pθ0|| (3.7) où

#

||Pj´ Pθi´1|| “ λP||P^tof_j ´ P^tof_θ

i´1||2` p1 ´ λPq||P^amp_j ´ P^amp_θ

i´1||2

||Pj´ Pθ₀|| “ λP||P^tof_j ´ P^tof_θ

0 ||2` p1 ´ λPq||P^amp_j ´ P^amp_θ

0 ||2

avec : ||Pj´ Pθ_i´1|| distance mixte au profil précédent ; ||Pj´ Pθ₀|| distance mixte au profil initial ; λR force de rappel au point de départ ;

λP poids relatif donné à la distance euclidienne entre profils en temps de vol et profils en amplitude.

Le choix d’un profil obéit à deux contraintes, l’une étant la proximité avec le profil précédent, l’autre étant la proximité avec le profil initial. Cette seconde contrainte est qualifiée de force de rappel car elle force le processus de sélection des profils à retourner à son point de départ. En pratique, cette force doit dépendre de la position du profil : en début de synthèse, la force de rappel doit être nulle pour encourager une marche aléatoire libre ; par contre en fin de synthèse, il faut une très forte force de rappel assurant que la synthèse se termine dans un voisinage du profil initial. Le choix s’est porté sur la forme suivante :

λ_Rpθiq “ # 0 si i ă I i´I N ´I sinon ^(3.8) avec : I “ 3

4N index limite à partir duquel la force de rappel au point de départ augmente linéai-rement ;

N nombre de profils à sélectionner pour constituer un contenu d’impact complet.

34. Les parts d’une tarte partagent tous le même point central et sont disposées de façon circulaire.

35. La distance est qualifiée de mixte en ce sens qu’elle combine une distance mesurée à partir des amplitudes et une distance mesurée à partir des temps de vol.

P^tof θ0 P^tof_j P^tof θi´1 0 1 2