Plan d’expérience

L’objectif de cette section est de déterminer les valeurs optimales des paramètres de la boucle à horizon glissant pour notre modèle. Le rôle de la boucle à horizon glissant est de tenir compte de l’incertitude en prévision de trajectoire dans notre modèle. Le calibrage de la boucle à horizon glissant est donc intimement lié à l’incertitude introduite dans les simulations. Afin d’observer la réponse du système en fonction du paramétrage de la boucle à horizon glissant, nous proposons de fixer un intervalle de modulation de vi-tesse ainsi qu’une valeur de l’incertitude sur la vivi-tesse des vols pour réaliser une série de simulations. Dans la section précédente, nous avons choisi de nous focaliser sur deux intervalles de modulation de vitesse et trois valeurs de l’incertitude sur la vitesse des vols. L’objectif est d’introduire un maxi-mum d’incertitude dans le système de façon à identifier le rôle de chaque paramètre en présence d’une forte incertitude. Pour ce plan d’expérience nous choisissons donc d’utiliser le faible intervalle de modulation de vitesse,

I_f = [−6%,+3%], ainsi qu’une forte incertitude, e = 6%, sur les vitesses des vols. Nous utilisons l’instance RFL ≥380 pour réaliser les simulations du plan d’expérience. La méthodologie employée pour ce plan d’expérience est celle des surfaces de réponse ; pour plus de détails sur les fondements de cette approche nous renvoyons le lecteur à [88].

10

30

10

30 ¹⁰

3

H

H’

p

Dans la section précédente nous avons présenté deux paramètres liés à la boucle à horizon glissant : le pas de la boucle p_opt ainsi que l’horizon de prévision Hn. Dans la section 4.2, nous avons proposé de décomposer l’horizon de prévision en deux horizons distincts de façon à amortir le coût des conflits potentiels à long terme lors de l’optimisation. Nous avons ainsi défini l’horizon nominal H_n¹ et l’horizon d’amortissement H_n^a comme deux horizons complémentaires constituant l’horizon de prévision. Nous disposons donc de trois paramètres à calibrer :

• Le pas :p_opt

• L’horizon nominal : H_n¹

• L’horizon d’amortissement : Ha n

La méthodologie des surfaces de réponse consiste à identifier un domaine de définition pour chaque paramètre à étudier afin de définir un espace de recherche représentant toutes les combinaisons possibles des valeurs des paramètres étudiés. Dans la section précédente, nous avons choisi de borner le pas de la boucle à horizon glissant par : 3 ≤ p_opt ≤ 10 (en minutes), et l’horizon de prévision par : 10 ≤ Hn ≤ 30 (en minutes). Nous rappelons l’équation 4.4 liant les différents horizons :

H_n=H_n¹+H_n^a

Les domaines de définition des différents paramètres à calibrer nous per-mettent de définir un espace de recherche pour notre plan d’expérience. L’espace de recherche est ainsi défini par les contraintes (exprimées en mi-nutes) :

3≤p_opt ≤10 10≤H_n¹+H_n^a≤30

0≤H_n¹ ≤30 0≤H_n^a≤30

Les deux dernières contraintes découlent naturellement du fait queH1

nou

H_n^a peut potentiellement être réduit à zéro s’il s’avère inefficace en pratique. Cet espace de recherche peut être visualisé comme un trapèze tridimen-sionnel (voir figure 5.1). Pour chaque point de cet espace, notre modèle est capable de fournir une réponse, c’est-à-dire une réduction de la durée des

%&' (%(' ) %&' *%(' *)%+' *(%(' *&%,' *%' ,' ( ,' ),' +,' -,' *,' ,' &,' .,' Žƒ†̵‡š’±”‹‡…‡͵’ƒ”ƒ°–”‡•ǣ ”±†—…–‹‘†‡Žƒ†—”±‡†‡•…‘ˆŽ‹–• ,' ,' /0,12/30, /0 , 12/30, /0),12/30 , /0 , 12/30), 40) 40,

Figure 5.2 – Résultats du plan d’expérience à 3 paramètres : le pas d’op-timisationp, l’horizon nominalH1

n et l’horizon d’amortissement Ha

n.

conflits sur un espace-temps donné. Intuitivement, l’objectif de cette étude est de déterminer le point expérimental dans l’espace de recherche four-nissant la meilleure réponse du système observé. Cependant, l’espace de re-cherche étant ici un domaine tridimensionnel continu, il n’est pas concevable de tester notre modèle pour chaque point de cet espace. Dans ce cas de figure, la méthodologie des plans d’expériences suggère [88] d’observer la réponse du système en chaque sommet de l’espace de recherche (les points expéri-mentaux correspondants sont les sommets du trapèze de la figure 5.1). Cette étude permet d’identifier l’influence de chaque paramètre sur la réponse du système tout en fournissant des informations sur leur corrélation. Afin de se prémunir contre des résultats trop volatiles (en raison de l’incertitude en prévision de trajectoire), nous proposons de mesurer la réponse du système sur cinq simulations réalisées dans des conditions identiques. Ainsi, chaque résultat présenté correspond à la moyenne obtenue sur cinq simulations réa-lisées avec le même paramétrage. Les résultats de cette étude sont présentés dans la figure 5.2. Chaque donnée correspond donc à une moyenne sur cinq simulations réalisées avec un jeu de paramètres fixe dont les valeurs figurent dans le tableau sous l’histogramme. Pour chaque série de cinq simulations, la variance des résultats obtenus est inférieure à 0.02%, ce qui démontre une bonne stabilité de l’outil de simulation. Nous rappelons que pour chaque simulation, la performance du modèle est mesurée en comparant la durée totale des conflits obtenue avec la durée de référence (obtenue en mesurant la durée des conflits lorsqu’aucune régulation n’est mise en oeuvre).

10 30

10

30

H

H’

20

20

Figure 5.3 – Espace de recherche du plan d’expérience restreint.

Les résultats de cette première étape montrent clairement que l’utili-sation d’un petit pas, p_opt = 3 minutes, pour la boucle à horizon glissant produit de meilleurs résultats qu’un grand pas, p_opt = 10 minutes. En par-ticulier, pour popt = 3 minutes, la performance de l’optimisation semble presque indépendante de la taille de l’horizon de prévision : pour toute va-leur des horizons de prévision (nominal et d’amortissement) des résultats similaires sont obtenus. Cela souligne le fait qu’avec un court pas d’optimi-sation, des horizons de prévisions supérieurs ou égaux à 10 minutes suffisent pour obtenir une réduction significative de la durée des conflits : environ 1/4 de la durée des conflits subsiste après l’optimisation. Lorsqu’un grand pas d’optimisation est utilisé, le modèle est significativement moins performant, en particulier lorsque l’horizon de prévision (nominal ou d’amortissement) est égal au pas d’optimisation : Hn =popt = 10 minutes. Ce résultat nous confirme que l’horizon de prévision doit être grand devant le pas de la boucle à horizon glissant.

Pour poursuivre le calibrage de la boucle à horizon glissant, une possibi-lité consiste à discrétiser les domaines de définition des paramètres étudiés. Cette méthodologie peut toutefois s’avérer relativement coûteuse (en nombre

567 89 5:7 ; 9 5<7 89 5=7 : 9 557>9 5?7?9 5=7=9 5:7;9 5?7=9 =;9 < ;9 >;9 :;9 ? ;9 5;9 8;9 @;9 Žƒ†̵‡š’±”‹‡…‡ʹ’ƒ”ƒ°–”‡•ǣ ”±†—…–‹‘†‡Žƒ†—”±‡†‡•…‘ˆŽ‹–• ; 9 6 ;9 AB6; AB=; AB<; A6B6;;9CDAEB; 9 A6B:; 9CDAEB:; 9 A6B; 9CDAEB6;; 9

Figure 5.4 – Résultats du plan d’expérience à 2 paramètres : l’horizon nominalH1 et l’horizon d’amortissement Ha.

de simulations à effectuer) selon la granularité de la décomposition de l’es-pace de recherche retenu. Etant donné que l’influence du pas de la boucle à horizon glissant est évidente (plus le pas est petit, meilleure est la réponse), nous choisissons de restreindre le plan d’expérience aux deux horizons : no-minal et d’amortissement. Ayant déjà identifié la réponse de notre modèle aux sommets du trapèze correspondant aux contraintes surH1

n etHa

n, nous proposons d’observer la réponse du système au milieu de chaque arête du trapèze, ainsi qu’en son centre. La figure 5.3 représente l’espace de recherche réduit aux deux horizons : les cinq nouveaux points expérimentaux ainsi que les sommets de la face du trapèze correspondante sont représentés. Pour ce plan d’expérience, nous classons les résultats en fonction de la taille totale de l’horizon de prévision :H_n=H1

n+Ha

n. En considérant les points expé-rimentaux retenus (voir figure 5.3), trois horizons de prévision peuvent être identifiés :H_n = 10, 20 ou 30 minutes. Pour chaque valeur de l’horizon de prévision, trois configurations distinctes sont observées, selon la répartition de la fenêtre d’anticipation entre les deux horizonsH_n¹ etH_n^a :

• H_n¹ = 100% etH_n^a= 0%,

• H_n¹ = 50% et H_n^a= 50%,

• H_n¹ = 0% et H_n^a= 100%.

La figure 5.4 présente l’ensemble des résultats numériques obtenus pour ce plan d’expérience restreint. Les résultats obtenus sont satisfaisants avec

une réduction d’au moins 70% de la durée totale des conflits pour tous les paramétrages de la boucle à horizon glissant observés. Les meilleurs résul-tats sont réalisés lorsque l’horizon de prévision est égal à 20 minutes. En particulier, la meilleure réponse du système est obtenue lorsque la fenêtre d’anticipation est équitablement répartie sur les deux horizons, nominal et d’amortissement. Les moins bons résultats obtenus avec un horizon de pré-vision de 30 minutes confirment l’impact de l’incertitude en prépré-vision de tra-jectoire sur le système de régulation. Soulignons cependant que l’ensemble des résultas obtenus sont du même ordre de grandeur et que même avec un court horizon de prévision - 10 minutes - peut en revanche suffire à réduire de 3/4 la durée totale des conflits à condition que tous les conflits soient pondérés équitablement dans l’objectif (H_n^a = 0). Pour fixer les paramètres de la boucle à horizon glissant, nous choisissons de retenir le paramétrage ayant abouti au meilleur résultat, les valeurs des paramètres retenues sont donc (en minutes) :

p_opt = 3

H_n¹ = 10

H_n^a= 10

Nous rappelons que ce paramétrage a été obtenu pour une modulation de−6% à +3% de la vitesse des vols et une incertitude maximale dee= 6%. La fenêtre d’anticipation retenue est donc de 20 minutes, ce qui, avec un pas d’optimisation égal à 3 minutes, correspond à un recouvrement de presque 85% entre deux horizons de prévision consécutifs. Cela souligne le rôle de la détection de conflit, qui en plus d’être réalisée fréquemment, est ajustée pour recouvrir une partie significative de la période de temps observée à l’itération précédente. Avec un horizon d’amortissement égal à 10 minutes, ce plan d’expérience suggère également que cet horizon s’adapte bien à la réduction des conflits.

Dans la section suivante nous proposons d’évaluer notre modèle sur l’ins-tance RFL ≥300 avec ce paramétrage de la boucle à horizon glissant. Nous présentons les résultats obtenus pour diverses valeurs de l’intervalle de mo-dulation de vitesse et de l’incertitude.