II. L’ EOLIENNE D ARRIEUS
II.1.1 Paramètres caractéristiques et référentiels
II.1.1.1 Données géométriques
On considère N pales profilées et identiques, de corde c et d’envergure h, placées à une distance R de l’axe de rotation. Le point d’attache d’une pale est défini comme le point où la ligne radiale partant de l’axe de rotation intercepte la corde de la pale perpendiculairement (voir figure 2), il est repéré par la distance xatt entre le bord d’attaque
17 et le point d’attache. Pour comparer les tailles des éoliennes, la notion de surface balayée, notée S, a été introduite. Il s’agit de la surface offerte au vent, projetée suivant la direction du vent. Pour une machine Darrieus à pale droite et à rayon constant, la surface balayée vaut S = 2Rh où h est la hauteur du rotor (égal à l’envergure des pales).
Figure 2 – Données géométriques d’une machine Darrieus dans une vue en coupe transversale.
A partir de ces données géométriques, on peut construire des nombres adimensionnels caractérisant la géométrie du rotor. Le niveau de blocage du vent par la seule présence de l’éolienne est symbolisé par la solidité. Il existe plusieurs définitions de la solidité. Nous la définirons comme le rapport entre la surface totale des pales et la surface balayée, qui pour une machine classique s’exprime par la relation (1). Une autre définition considère par exemple le rapport entre la longueur cumulée des cordes des pales et la périphérie du rotor. La différence entre l’une et l’autre des définitions revient à appliquer simplement un facteur de proportionnalité constant.
= NchS = Nc2R (1)
On peut aussi définir une solidité de pale σp, égale au rapport entre la corde de la pale et le rayon du rotor :
p = Rc (2)
Bien que le fonctionnement puisse être expliqué par une analyse bidimensionnelle (cf. II.1.2), le caractère tridimensionnel du rotor peut amener des modifications importantes du comportement. On définit ici un paramètre adimensionnel pour exprimer ce niveau de tridimensionnalité : l’allongement, noté AR (acronyme de l’expression anglaise Aspect Ratio). Il est défini comme le rapport entre le carré de l'envergure et la surface portante d’une pale,
R xatt c Sens de l’écoulement Trajectoire du point d’attache de la pale Point d’attache
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qui est aussi égal au rapport entre l’envergure et la corde si la corde est constante sur la totalité de l’envergure :
AR = hch2 = hc (3)
Un aspect du caractère tridimensionnel peut aussi être spécifié par la nature hélicoïdale de l’éolienne. On introduit Λ l’angle d’inclinaison des pales, généralement constant, qui représente l’angle local formé entre l’axe de rotation et la ligne génératrice de la pale considérée comme une extrusion (voir figure 3). La ligne génératrice est la ligne que suit le point d’attache sur toute l’envergure de la pale. Pour une pale droite, l’angle d’inclinaison vaut zéro. L’appellation n’est pas une appellation standard, il n’en existe vraisemblablement pas pour les éoliennes Darrieus. On peut toutefois faire l’analogie avec l’angle de flèche pour les ailes ou les pales trapézoïdales. Amet [18] introduit plutôt l’angle de couverture circonférentielle, qui correspond à la variation d’angle azimutal entre les deux bouts de pale ( dans la figure 3) et qui peut s’exprimer en fonction de Λ et AR. L’angle d’inclinaison peut être vu comme étant l’angle de la ligne génératrice si on déroule le cylindre sur laquelle elle se repose (voir figure 3). On l’exprime par la relation suivante :
Λ = atan (Rθh ) (4)
a) b)
Figure 3 – Schéma de définition de l’angle d’inclinaison par développement de la ligne génératrice. a) Vue simplifiée du rotor avec la ligne génératrice d’une pale en trait bleu épais.
b) ↑ue développée en déroulant le cylindre sur laquelle la ligne génératrice s’appuie (projection isométrique dans le plan vertical).
II.1.1.2 Données fonctionnelles
Les données fonctionnelles sont les paramètres liés aux conditions extérieures de fonctionnement de la machine. De manière générale, on peut considérer le vent incident au rotor comme uniforme et constant sur la durée de l’étude. On le nomme vent infini amont
Λ Λ θ θ Rθ h h R A xe de rotation
19 et le note U∞. La vitesse angulaire de la machine est notée . La vitesse réduite de la machine, aussi appelée vitesse spécifique, paramètre de rapidité, rapport d’avance ou paramètre d’avancement, est le rapport entre la vitesse due à la rotation au point le plus éloigné de l’axe de rotation (c’est-à-dire le rayon maximal) et la vitesse infini amont. La vitesse réduite, notée λ, se déduit de la relation suivante :
λ = R←
∞ (5)
Ce nombre adimensionnel conditionne fortement le type de fonctionnement et les phénomènes aérodynamiques que va rencontrer la machine.
Le nombre de Reynolds sert à caractériser le régime d’écoulement perçu par les pales. Il représente le rapport entre les forces inertielles et les forces visqueuses. Pour l’étude locale d’une pale de machine Darrieus, on choisit généralement de considérer un nombre de Reynolds caractéristique à partir de la vitesse de rotation pour qu’il n’y ait pas de dépendance à la position des pales. Son expression est la suivante :
Re = R c = λ←∞c (6)
Le nombre de Mach informe sur le caractère compressible ou non de l’écoulement. Comme pour le nombre de Reynolds, on utilise une valeur caractéristique de la vitesse pour avoir un paramètre adimensionnel unique pour une condition de fonctionnement, qu’on compare à la vitesse du son notée a. Son expression est donnée par l’équation (7). Sa valeur est généralement très faible dans le contexte des éoliennes de petite taille, de l’ordre de 10-2 à 10-1.
M = Ra = λ←a∞ (7)
II.1.1.3 Référentiels, orientation et adimensionnement
Puisque l’éolienne Darrieus a des pales en rotation autour d’un axe, le changement de repère est un outil facilement maniable pour étudier les différents aspects de la machine. La figure 4 répertorie tous les repères utilisés. Ils sont définis en trois dimensions, mais pour la plupart de l’étude, nous nous placerons dans un plan transversal.
Nous définissons d’abord un repère global (O ; e⃗x; e⃗y ; e⃗z pour définir les caractéristiques globales de la machine, ses performances ou son sillage. Il s’agit d’un repère fixe à coordonnées cartésiennes. Le point O est fixé au pied du rotor, sur l’axe de rotation, le vecteur directeur e⃗xest orienté dans la direction de l’écoulement, e⃗z est un vecteur aligné avec l’axe de rotation. Le vecteur e⃗y pointe vers la position où la pale est placée lorsqu’elle est orientée face au vent infini amont.
Pour comprendre comment la force motrice est générée au niveau de la pale, nous définissons ensuite un repère tournant (Patt; e⃗n; e⃗t; e⃗z lié à une pale. Le point Patt est le point d’attache de la pale, e⃗n est le vecteur directeur normal au profil, orienté vers l’extérieur du rotor, et e⃗t est tangent au profil, orienté vers le bord d’attaque. Ainsi, une force sera motrice si sa composante selon e⃗t est positive. De plus, on peut définir à l’aide de cette base une position azimutale des pales, notée , qui est l’angle formé entre les vecteurs e⃗y et e⃗n. Ce
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choix permet de distinguer une phase amont de la rotation (0° ≤ < 180°) et une phase aval de la rotation (180° ≤ < 360°). On peut aussi distinguer deux zones remarquables que l’on mentionnera parfois : la zone de profil face au vent ( η 0°) et dos au vent ( η 180°). Par convention, en présence de plusieurs pales, la position azimutale du rotor se limite à la position azimutale d’une pale de référence située initialement face au vent.
Lorsqu’il faut définir des répartitions de pression ou des propriétés de la couche limite, il est parfois plus utile de définir une base (e⃗ ; e⃗ ; e⃗z liée à la surface du profil. Le vecteur e⃗ est tangent à la surface du profil, e⃗ est normal au profil orienté vers l’extérieur du profil. Cette base sert en particulier quand il est question de coordonnées curvilignes. Pour mesurer l’abscisse curviligne le long de la surface du profil, le choix est fait de tourner dans le sens horaire, de telle sorte qu’en partant du bord de fuite, la face intérieure du profil (face à l’axe de rotation) est traversée avant la face extérieure (voir figure 4).
En suivant la base du repère global, on peut préciser que le vecteur vorticité calculé dans le plan transversal sera aligné avec le vecteur e⃗z. Ainsi, la vorticité sera positive si elle symbolise une rotation de l’écoulement dans le sens antihoraire (ou sens trigonométrique) et sera négative lorsqu’elle symbolise une rotation dans le sens horaire.
Si pour un profil en translation, les faces intrados et extrados sont bien définies : (l’intrados étant la face inférieure en surpression et l’extrados étant la face supérieure en dépression, donc dirigée du côté de la portance positive), pour un profil de pale d’une Darrieus, les faces sont alternativement en surpression et en dépression. On utilisera donc les termes de faces intérieure et extérieure, la face intérieure étant orientée vers l’axe de rotation. De la même manière, l’angle d’attaque est généralement supposé positif lorsque l’écoulement incident touche en premier la face inférieure (intrados). Pour garder une notation similaire lorsque la pale est dans sa position azimutale initiale ( = 0°), nous définirons un angle d’attaque comme étant positif lorsqu’il impacte en premier la face intérieure. De manière générale, l’angle d’attaque est alors négatif sur la phase amont de la rotation puis positif dans la phase aval (voir paragraphe II.1.2). Lorsque des formules seront tirées de la littérature, elles seront corrigées pour respecter cette règle d’orientation et les règles précédentes concernant l’orientation des vecteurs directeurs.
←ne dernière précision est à apporter sur l’adimensionnement des efforts aérodynamiques. De manière générale, une force F3D est adimensionnée par le produit de la pression dynamique par la surface alaire de telle sorte qu’on peut définir un coefficient CF de la force F3D pour une pale rectangulaire par la formule :
CF = 1 F3D
2 ch←r2 (8)
En pratique, la vitesse relative Ur est souvent inconnue (dans le cas de mesures expérimentales d’effort aérodynamique par exemple) et il n’est pas possible de procéder à cet adimensionnement. On procèdera aux adimensionnements en remplaçant Ur par λ←∞ (ou juste U∞) qui est une valeur connue, dans ce cas, on accolera au coefficient un astérisque :
CF* = 1 F3D
21 Pour l’adimensionnement de la puissance générée par le rotor, ce n’est plus la vitesse relative au profil qui est significative pour le processus de transfert d’énergie, mais la vitesse infini amont U∞.
Néanmoins, puisque le fonctionnement de l’éolienne Darrieus est par nature bidimensionnel, l’unité d’envergure n’est pas nécessaire pour les calculs et les forces en jeu sont souvent données par unité d’envergure. Si F est l’élément de la force F3D par unité d’envergure, les coefficients CF et CF* sont donnés par la formule :
CF = 1 F 2 c←r2
et CF* = 1 F
2 c λ←∞ 2 (10)
Sauf mention du cas contraire, l’ensemble des forces qui seront données par la suite seront des forces par unité d’envergure et les expressions (10) s’appliqueront pour l’adimensionnement de tout effort aérodynamique.
Figure 4 – Définition des référentiels et des bases associées dans un vue en coupe transversale et rappel des principales orientations (azimut, angle d’attaque, vorticité, abscisse curviligne).