Orthogonalit´ e des modes propres - Crit` ere de nor- nor-malisationnor-malisation

Il est `a noter que chaque couple comporte cinq inconnues (les trois composantes du d´eplacement m´ecanique, le potentiel ´electrique et la pulsation) et chacun d’eux est solution d’un probl`eme r´egi par quatre ´equations (2.96) associ´ees aux condi-tions aux limites homog`enes. Il est par cons´equent impossible de d´eterminer de fa¸con unique les fonctions solutions : ceci constitue l’ind´etermination existant sur l’amplitude des modes propres {v⁽ⁿ⁾}.

2.4.3 Orthogonalit´ e des modes propres - Crit` ere de nor-malisation

Afin de prouver la propri´et´e d’orthogonalit´e des modes propres, les ´equations d’´equilibre dont le vecteur propre{v⁽ⁿ⁾}est solution sont multipli´ees par le vecteur propre {v^(m)} puis int´egr´ees sur le volume du transformateur pi´ezo´electrique de sorte que la relation suivante soit v´erifi´ee :

Z En d´eveloppant le produit scalaire, l’expression pr´ec´edente se r´e´ecrit `a l’aide de la notation indicielle comme suit :

En appliquant la formule d’analyse vectorielle (2.41) aux deux derniers termes sous le signe int´egrale, il vient :

Z Il est alors possible d’appliquer le th´eor`eme de Green-Ostrogradsky aux deuxi`eme et quatri`eme termes de l’´equation pr´ec´edente. En outre, comme le champ ´electrique {E} d´erive du potentiel ´electrique φ de sorte que E<sub>i</sub> =−φ<sub>,i</sub> et que par d´efinition De plus, d’apr`es les conditions aux limites homog`enes (2.91) et (2.92) auxquelles est ajout´ee la condition (2.97), l’int´egrale surfacique se r´eduit `a :

Z Finalement, l’expression (2.99) s’exprime sous forme indicielle `a l’aide de la nota-tion de Voigt, comme suit :

Z

Ω

h

ρω²_nu^(m)_i u⁽ⁿ⁾_i −S_λ^(m)T_λ⁽ⁿ⁾−E_i^(m)D_i⁽ⁿ⁾i

dΩ +{v^(m)_s }^T{q⁽ⁿ⁾_s }= 0 (2.104) En tenant compte des lois constitutives de la pi´ezo´electricit´e relatives au primaire et au secondaire du transformateur, l’expression pr´ec´edente peut se mettre sous la forme :

Cette relation peut encore ˆetre simplifi´ee en d´eveloppant la relation suivante : Z

De ce fait, en invoquant une fois encore la relation d’analyse vectorielle (2.41) `a la suite de laquelle le th`eor`eme de Green-Ostrogradsky est appliqu´e, sachant que le

champ ´electrique {E} d´erive du potentiel ´electriqueφ, il vient : Compte tenu des lois constitutives de la pi´ezo´electricit´e relatives au primaire et au secondaire et des conditions aux limites homog`enes, l’expression pr´ec´edente se r´e´ecrit comme suit : dirig´es respectivement du primaire vers le secondaire et du secondaire vers le pri-maire. Par cons´equent, la relation n<sub>i</sub>(p→s) = −n<sub>i</sub>(s→p) est v´erifi´ee et l’int´egrale surfacique de l’´equation pr´ec´edente se r´eduit `a la formule suivante :

−

Ainsi, en r´einjectant l’´equation (2.108) compl´et´ee de (2.109) dans la formule (2.105), il vient la relation suivante :

Z

Une hypoth`ese peut ˆetre faite afin de s’affranchir de l’int´egrale surfacique dans l’expression pr´ec´edente. En effet, puisque les conditions aux limites homog`enes impose la nullit´e du potentiel ´electrique sur les ´electrodes excitatrices du primaire, cela implique un potentiel nul `a l’interface entre primaire et secondaire (hypoth`ese v´erifi´ee pour les g´eom´etries les plus simples comme le transformateur de type Rosen

ou la structure disco¨ıdale). Par cons´equent, l’int´egrale relative `a la surface (Σ<sub>p/s</sub>) est identiquement nulle. En outre, il est `a noter que pour les cas s´erie ({vs}= 0) et parall`ele ({q_s} = 0) le terme {vs^(m)}^T{qs⁽ⁿ⁾} est nul. Par la suite, seuls ces deux cas seront consid´er´es. Fort de ces remarques, la relation (2.110) se r´e´ecrit :

Z

D`es lors, si les rˆoles des diff´erents modes sont intervertis, c’est-`a-dire si les ´equations v´erifi´ees par le mode m sont projet´ees selon le vecteur propre{v⁽ⁿ⁾}, une ´equation similaire `a (2.111) est obtenue avec une permutation sur les indices. L’expression ainsi d´etermin´ee ne diff`ere alors que par la pulsation relative au vecteur propre qui v´erifie les ´equations r´egissant la dynamique d’un transformateur pi´ezo´electrique en r´egime harmonique, de sorte que :

Z

En soustrayant les relations (2.111) et (2.112), la condition d’orthogonalit´e sur le vecteur d´eplacement pour deux modes distincts est obtenue :

Z

Ω

ρu^(m)_i u⁽ⁿ⁾_i dΩ =δ_mn (m, n= 1, ..., n_m) (2.113) o`u δ_mn est le symbole de Kronecker. Par cons´equent, la relation d’orthogonalit´e concernant les champs de d´eplacement et les potentiels ´electriques induits par deux modes propres m et n (m, n= 1, ..., n_m) s’´ecrit : Il est possible de g´en´eraliser les deux relations d’orthogonalit´e pr´ec´edentes en les exprimant par le truchement des vecteurs des amplitudes modales{η}, des tensions d’alimentation du primaire {v_p} et des quantit´es de charges du secondaire {q_s}. Pour (m, n)∈{1, ..., n_m}², il vient alors :

{η}^T[M]{η} = δmn

{η}^T[K]{η} − {vp^(m)}^T[C_p]{v⁽ⁿ⁾p } − {qs^(m)}^T[C_s]⁻¹{qs⁽ⁿ⁾} = δ_mnω_m² (2.115) Il est d´esormais ais´e de donner les relations d’orthogonalit´e des modes propres dans les cas s´erie et parall`ele :

– Cas s´erie : les modes propres du cas s´erie sont ´etablis lorsque le primaire et le secondaire sont simultan´ement court-circuit´es ({v_p} = {v_s} = 0). Or, d’apr`es le syst`eme d’´equations (2.85), le vecteur des quantit´es de charge du

secondaire {q_s}est li´e au vecteur des amplitudes modales{η} par la relation {qs} = [Cs][χs]^T{η}. Ainsi les relations d’orthogonalit´e pour le cas s´erie se simplifient comme suit :

∀(m, n)∈{1, ..., n_m}²

{η}^T[M]{η} = δ_mn

{η}^T([K]−[χ_s][C_s][χ_s]^T){η} = δ_mnω_m² (2.116)

– Cas parall`ele : les modes propres du cas parall`ele sont ´etablis lorsque le primaire et le secondaire sont respectivement court-circuit´e et ouvert ({v_p}= 0 et {qs} = 0). Par cons´equent, les relations d’orthogonalit´e pour le cas parall`ele s’´ecrivent tr`es simplement :

∀(m, n)∈{1, ..., n_m}²

{η}^T[M]{η} =δ_mn

{η}^T[K]{η} =δ_mnω²_m (2.117)

Le fait que les vecteurs modaux ne soient d´efinis qu’`a un facteur pr`es laisse le choix quant `a la normalisation des formes propres `a adopter. Voici quelques possibilit´es : – Une solution est de donner une valeur unitaire `a la i<sup>`eme</sup> composante du vec-teur des amplitudes modales {η} de sorte que η⁽ⁱ⁾ = 1. En r`egle g´en´erale, il s’agit de la premi`ere composante, doncη⁽¹⁾ = 1.

– Une autre possibilit´e est de fixer `a l’unit´e la plus grande des composantes du vecteur des amplitudes modales : max

i∈[1,nm]

η⁽ⁱ⁾= 1.

– Une autre approche est de supposer la matrice des masses modales [M] sem-blable `a la matrice identit´e. Au vue des relations d’orthogonalit´e (2.116) et (2.117), c’est la proc´edure de normalisation qui sera retenue par la suite.

Compte tenu de ce choix, les matrices des masses et des rigidit´es modales ([K]− [χs][Cs][χs]^T pour le cas s´erie et [K] pour le cas parall`ele) sont par cons´equent dia-gonales. En outre, dans le cadre de cette normalisation, il est donn´e de constater que la matrice des raideurs modales s’identifie `a la matrice des valeurs propres du syst`eme consid´er´e (en l’occurrence le carr´e des pulsations naturelles de la struc-ture). De plus, en revenant aux relations d’orthogonalit´e (2.115), il est ´egalement possible d’affirmer que les matrices des capacit´es du primaire [C_p] et du secondaire [Cs] sont diagonales.

A noter que l’analyse modale des cas s´erie et parall`ele permet au travers de leurs valeurs propres de mettre en exergue les bornes fr´equentielles de l’intervalle dans lequel ´evoluent les fr´equences de r´esonance du transformateur en fonction de la charge r´esistive plac´ee au secondaire.

2.5 Conclusion

Au cours de ce chapitre, une mod´elisation syst´ematique de la dynamique d’un transformateur pi´ezo´electrique a ´et´e propos´ee. Bas´ee sur des consid´erations ´ ener-g´etiques, le principe de moindre action a ´et´e mis en œuvre permettant au travers des propri´et´es locales de la pi´ezo´electricit´e de d´ecrire le comportement global du syst`eme.

D´evelopp´e `a l’origine dans un contexte purement m´ecanique, le principe de Hamilton offre une alternative int´eressante aux mod´elisations par sch´ema ´electrique

´

equivalent classiquement rencontr´ees dans la litt´erature. En s’inspirant de travaux ant´erieurs ayant trait `a la description de la dynamique d’un milieu pi´ezo´electrique par approche variationnelle, un mod`ele g´en´eral adaptable `a diff´erentes g´eom´etries de transformateur a pu ˆetre mis en place. Les propri´et´es d’orthogonalit´e des modes d’un transformateur pi´ezo´electrique pour un fonctionnement en court-circuit (cas s´erie) et en circuit ouvert (cas parall`ele) ont pu ˆetre d´emontr´ees et les solutions g´en´erales du probl`eme exprim´ees par le truchement d’une d´ecomposition modale ont ´et´e d´efinies. Nonobstant, la mise en œuvre de cette approche n´ecessite au pr´ealable une d´etermination du champ de d´eplacement et du potentiel ´electrique.

S’il semble tout `a fait utopique de vouloir calculer les solutions exactes du probl`eme consid´er´e, une approximation peut toutefois ˆetre propos´ee. L’approche retenue est la m´ethode d’approximation de Rayleigh-Ritz o`u le champ de d´eplacement s’´ecrit comme la combinaison lin´eaire de fonctions qui v´erifient conjointement les relations de continuit´e et les conditions aux limites cin´ematiques. La mise en ´equation du probl`eme et l’obtention des ´equations du mouvement consistent par cons´equent en l’application du principe de moindre action selon le champ de d´eplacement approxim´e et les coordonn´ees g´en´eralis´ees choisies.

L’int´erˆet d’une telle approche, en comparaison des mod`eles classiques de type sch´ema ´electrom´ecanique ´equivalent de Mason, est de pouvoir s’appliquer `a n’im-porte quelle g´eom´etrie de transformateur d’une part, et d’autre part d’offrir la possibilit´e de consid´erer plusieurs modes vibratoires dans sa formulation. De ce fait, cette mod´elisation analytique est particuli`erement adapt´ee `a l’optimisation d’une structure r´epondant `a un cahier des charges pr´ecis.

Dans le chapitre suivant, une architecture de type Rosen sera consid´er´ee afin d’illustrer la m´ethodologie pr´ec´edemment d´evelopp´ee et initier l’´etude analytique d’un transformateur d´edi´e `a la d´echarge plasma.

Application au transformateur