Equations d’´ ´ equilibre d’un milieu pi´ ezo´ electrique [GA98]

energie potentielle U une enthalpie libre ´electrique G2 dont la densit´e volu-mique est donn´ee par la relation suivante (cf. tableau [1.2]) :

G₂(S, E) = 1

2{S}^T[c^E]{S} − {S}^T[e]^T{E} − 1

2{E}^T[ε^S]{E} (2.23) Le lagrangien d’un milieu pi´ezo´electrique pour une application de type ac-tionneur s’´ecrit finalement comme la diff´erence entre la co´energie cin´etique T^∗ et l’enthalpie libre ´electriqueG² telle que :

L= 1 – Dans le cas d’une application de type capteur, la c´eramique pi´ezo´electrique est utilis´ee en circuit ouvert aux bornes de laquelle la tension induite par effet direct est mesur´ee. La quantit´e de charges sur les ´electrodes est par cons´equent impos´ee justifiant le choix du couple de variables ind´ependantes extensives (S, D) pour la mod´elisation du comportement ´electrom´ecanique de la c´eramique employ´ee en tant que capteur. Par ailleurs, la quantit´e de charge ´etant le degr´e de libert´e de la fonction r´ealis´ee, s’apparantant de ce fait

`

a une coordonn´ee g´en´eralis´ee, la convention«´electrostatique» se justifie pour ce type d’application. Ainsi, cette formulation de type d´eplacement/charge revient `a adopter comme ´energie potentielle U une ´energie libre ´electrique F dont la densit´e volumique est donn´ee par la relation suivante (cf. tableau [1.2]) :

F(S, D) = 1

2{S}^T[c^D]{S} − {S}^T[h]^T{D}+1

2{D}^T[β^S]{D} (2.25) Le lagrangien d’un milieu pi´ezo´electrique pour une application de type cap-teur s’´ecrit quant `a lui comme la diff´erence entre la co´energie cin´etiqueT^∗ et l’´energie libre ´electrique F telle que :

L= 1 Il est `a noter que la mise en œuvre du principe de moindre action ne souffre pas de la convention adopt´ee. Les deux formulations sont strictement ´equivalentes dans l’application du principe de Hamilton et leur choix est seulement tributaire de la fonction `a mod´eliser. Fort de ce constat, l’´etablissement des ´equations gouvernant la dynamique d’un milieu pi´ezo´electrique va pouvoir ˆetre entrepris.

2.3.3 Equations d’´ ´ equilibre d’un milieu pi´ ezo´ electrique [GA98]

Un solide pi´ezo´electrique est un corps g´en´eralement assimilable, d’un point de vue m´ecanique, `a un milieu continu d´eformable et, d’un point de vue ´electrique,

semblable `a un di´electrique (cf. hypoth`eses ´enonc´ees au§1.2.3). Les ´equations qui r´egissent la dynamique d’un tel milieu d´ecoulent tout naturellement du principe de Hamilton. Pour s’en convaincre, il est convenu d’appliquer le principe de moindre action `a un milieu pi´ezo´electrique subissant un mouvement amenant le solide de sa configuration au repos κ0 `a sa configuration d´eform´eeκdans laquelle ce dernier occupe un volume (Ω) d´elimit´e par une surface ferm´ee (Σ). Comme l’illustre la figure 2.4, l’enveloppe du corps pi´ezo´electrique peut ˆetre subdivis´ee en surfaces compl´ementaires telles que les relations suivantes soient v´erifi´ees [Yan05] :

Σ_u∪Σ_T = Σ_φ∪Σ_D = Σ

Σ_u∩Σ_T = Σ_φ∩Σ_D =∅ (2.27)

avec (Σ_u) et (Σ_T) d´esignant respectivement les surfaces relatives aux conditions aux limites m´ecaniques sur lesquelles sont impos´ees les d´eplacements et les contraintes.

De mˆeme, pour les conditions aux limites ´electriques, (Σ_φ) et (Σ_D) correspondent respectivement aux surfaces o`u le potentiel ´electrique et l’induction ´electrique sont donn´es. Il est `a noter qu’il n’est pas n´ecessaire de d´efinir un domaine rassemblant les zones o`u aucune condition m´ecanique n’est impos´ee car il peut facilement ˆetre assimil´e `a une surface soumise `a une contrainte d’amplitude nulle.

1

2 3

O

M₀ X M

x

configurationκ₀ Ω₀ Σ₀

Ω Σ

R

Σ_ϕ

Σ_u

configuration κ Σ_T

v_e⁽ⁱ⁾ v_e^(N)

v_e⁽¹⁾

Figure 2.4 – Configurations d’un solide pi´ezo´electrique dans le r´ef´erentiel (R) La g´eom´etrie de la structure ayant ´et´e pr´ecis´ee, les conditions aux limites du probl`eme peuvent ˆetre explicit´ees. M´ecaniquement, le corps pi´ezo´electrique est sou-mis conjointement `a des forces de densit´e volumique f s’exer¸cant dans (Ω) et `a des contraintes de densit´e surfaciquet, de composantest<sub>i</sub> distribu´ees sur la partie (Σ<sub>T</sub>) de la surface (Σ). Les d´eplacements u sont de surcroˆıt suppos´es ˆetre impos´es sur (Σ<sub>u</sub>). ´Electriquement, le milieu pi´ezo´electrique est aliment´e parN g´en´erateurs qui d´ebitent respectivement une quantit´e de charges qe<sup>(k)</sup> sur chaque surface ´electrod´ee (Σ<sup>(k)</sup><sub>φ</sub> )<sup>1</sup>ce qui revient `a fixer le potentiel ´electrique φ `a la valeur ve^(k). En outre,

1. La relation suivante est par cons´equent implicitement v´erifi´ee : Σφ =

N

[

k=1

Σ^(k)_φ

compte tenu de la forte permittivit´e du mat´eriau, l’influence sur le milieu pi´

ezo-´

electrique du champ ´electrique ext´erieur n’est pas prise en consid´eration. A noter que toutes les quantit´es introduites sont des grandeurs donn´ees et d´ependantes de la seule variable temporelle t.

D’apr`es la section§2.2.5, le PMA sugg`ere que la variation de l’int´egrale d’action S est nulle pour un syst`eme se mouvant sur un intervalle de temps consid´er´e. Si les travaux virtuels des forces non-conservatives appliqu´ees `a la structure sont pris en consid´eration, la variation de l’action est donn´ee par la relation (2.14) et en vertu de la propri´et´e de commutativit´e de la variation et de l’int´egrale, il vient :

δS =

tf

Z

ti

(δL+δW_nc)dt= 0 (2.28)

D’apr`es la relation pr´ec´edente, la variation de l’action est directement issue de la variation du lagrangien du syst`eme, or, pour une structure pi´ezo´electrique, deux formulations sont a priori envisageables. Pour fixer les choses, la premi`ere for-mulation bas´ee sur la convention magn´etostatique utilisant le couple de variables ind´ependantes (S, E) est exploit´ee. Compte tenu de ce choix, la variation δL du la-grangien se d´eduit des variations de la co´energie cin´etiqueT^∗et de l’enthalpie libre

´

electrique G2 (cf. tableau [1.2]). Ainsi, `a l’aide de la convention sur la sommation des indices r´ep´et´es, il vient :

Concernant la variationδW_nc des travaux virtuels des forces non-conservatives, elle s’exprime simplement comme la somme des travaux virtuels des forces ext´erieures et des tensions ´electriques appliqu´ees. D’apr`es [Tie67], le terme m´ecanique, pour toute variation virtuelle des composantes des d´eplacements δu_i, s’´ecrit :

Z

Le terme ´electrique n’est autre que la somme des travaux ´el´ementaires fournis par lesN g´en´erateurs ext´erieurs au milieu pi´ezo´electrique. La formulation magn´ etosta-tique ´etant adopt´ee, la contribution ´electrique aux travaux virtuels des forces non conservatives s’´ecrit par cons´equent :

N

X

k=1

i^(k)_e δϕ^(k)_e (2.31)

o`ui<sup>(k)</sup>e etϕ<sup>(k)</sup>e sont respectivement le courant traversant lak<sup>`eme</sup>´electrode excitatrice et le flux magn´etique associ´ee `a la tension ve<sup>(k)</sup>. Bien que ce dernier n’ait pas de v´eritable r´ealit´e physique dans le probl`eme ´etudi´e, sa pr´esence ne modifie en rien les ´equations obtenues `a partir du principe de moindre action. Il ne constitue en

effet qu’un interm´ediaire de calcul et par la suite une simple int´egration par par-ties permettra de s’en affranchir et de faire apparaˆıtre les quantit´es physiquement existantes. Fort de cette remarque, `a partir de la somme des expressions (2.30) et (2.31), la variation des travaux virtuels des forces non-conservatives s’exprime par le relation suivante : Au principe de moindre action, il faut ajouter l’hypoth`ese d’une ´evolution entre limites d´efinies du syst`eme consid´er´e. Elle s’exprime comme suit :

δu_i(t_i) = δu_i(t_f) = 0

δϕ^(k)e (ti) = δϕ^(k)e (tf) = 0 (k= 1, ..., N) (2.33) Il faut en outre pr´eciser les conditions aux limites impos´ees sur le d´eplacement m´ecanique et le potentiel ´electrique :

u_i = u_i sur Σ_u

φ = ve^(k) sur Σ^(k)_φ (k = 1, ..., N) (2.34) Les hypoth`eses ´etant explicit´ees, l’expression (2.28) peut ˆetre d´evelopp´ee. Tout d’abord, la contribution de la co´energie cin´etique `a la variation de l’action sur l’intervalle [t_i, t_f] peut ˆetre r´e´ecrite `a l’aide d’une int´egration par parties. Il vient alors :

Or, d’apr`es la relation (2.33), le premier terme de la relation pr´ec´edente est nul et la contribution de la co´energie cin´etique `a la variation du lagrangien se r´eduit `a :

t_f

La contribution de l’´energie ´elastique de l’enthalpie libreG²`a la variation du lagran-gien est maintenant consid´er´ee. En substituant dans ce terme l’expression lin´earis´ee (1.9) du tenseur des d´eformations et fort de la propri´et´e de commutativit´e entre la d´erivation et la variation, cette quantit´e se met sous la forme suivante :

Z D’o`u, par int´egration par parties, en notant que la variation des d´eplacements ne peut se faire que sur la partie (Σ<sub>T</sub>) de la surface ferm´ee (Σ) o`u ils ne sont pas

o`u dΣ<sub>j</sub> symbolise les composantes de l’´el´ement de surface dΣ, aire ´el´ementaire sur laquelle le milieu pi´ezo´electrique imprime au milieu ext´erieur une force TijdΣj. Ainsi, en vertu de la propri´et´e de sym´etrie du tenseur des contraintes, la contribu-tion de l’´energie ´elastique `a la variation du lagrangien s’exprime finalement par la relation suivante :

Concernant la contribution de la partie ´electrique de l’enthalpie libre G², comme le champ ´electrique {E} d´erive du potentiel scalaire φ, cette derni`ere peut, en invoquant une fois encore la propri´et´e de commutativit´e entre la d´erivation et la variation, se mettre sous la forme suivante :

Z

Sachant que pour tout scalaire f et tout vecteurv, la formule d’analyse vectorielle suivante est v´erifi´ee :

div(fv) =fdiv(v) +v.gradf (2.41) Enfin, en appliquant le th´eor`eme de Green-Ostrogradsky au deuxi`eme terme du membre de droite de l’´egalit´e pr´ec´edente, la contribution de l’´energie ´electrique `a la variation du lagrangien s’exprime comme suit :

Z Le contribution ´electrique `a la variation des travaux des forces non-conservatives sur l’intervalle [t<sub>i</sub>, t<sub>f</sub>] peut ´egalement faire l’objet d’une int´egration par parties de sorte que : Or, comme l’´evolution du syst`eme se fait entre limites d´efinies, d’apr`es la relation (2.33), la relation pr´ec´edente se simplifie comme suit :

N

Finalement, en tenant compte de l’expression (2.32) donnant la variation des tra-vaux virtuels des forces non conservatives et puisque sur chaque ´electrode la quan-tit´e de charges q^(k)e d´elivr´ee par lek<sup>`eme</sup> g´en´erateur est reli´ee `a la densit´e surfacique

Ainsi, puisque les variations δu_i et δφ sont arbitrairement choisies `a l’int´erieur du volume (Ω), les ´equations d’´equilibre v´erifi´ees au sein de ce mˆeme volume s’´ecrivent :

T_ij,j+f_i =ρ¨u_i

D_i,i = 0 dans Ω (2.47)

En outre, pour les int´egrales surfaciques, les variations du d´eplacement δui et du potentiel δφ ont ´egalement des valeurs arbitraires sur les surfaces (Σ_T) et (Σ_D) respectivement. Il vient alors :

T_ijn_j =t_i sur Σ_T

D_in_i = 0 sur Σ_D (2.48)

Concernant le dernier terme de la variation de l’int´egrale d’action (2.46), du fait de la condition (2.34) donnant le potentiel ´electrique sur (Σ_φ), la stationnarit´e de l’ac-tion n´ecessite que soient simultan´ement v´erifi´ees sur (Σ_φ) les relations suivantes :

φ = v^(k)e

D_in_i = −σ_e sur Σ^(k)_φ (k= 1, ..., N) (2.49) Ainsi, grˆace au principe de moindre action, les ´equations d´ecrivant la dyna-mique d’un milieu pi´ezo´electrique de volume (Ω) et les conditions aux limites m´ e-caniques et ´electriques v´erifi´ees sur l’enveloppe (Σ) de ce mˆeme volume ont pu ˆ

etre ´etablies. La d´emarche employ´ee dans cette partie va constituer dans la section suivante le cadre th´eorique permettant une description globale du comportement

´

electrom´ecanique de tous dispositifs pi´ezo´electriques et plus particuli`erement des transformateurs.

2. Il est possible de d´efinir la densit´e surfaciqueσecomme une fonction continue par morceaux respectant une condition de nullit´e sur les parties non ´electrod´ees du milieu pi´ezo´electrique. La charge d´ebit´ee par le k^`eme g´en´erateur est par cons´equent exactement l’int´egrale sur (Σ^(k)_φ ) de la densit´e surfacique de charge [GA98].

2.4 Mod´ elisation des transformateurs pi´ ezo´