Mod` ele num´ erique d’un transformateur pi´ ezo´ electrique

La mod´elisation num´erique d’un transformateur pi´ezo´electrique de type Rosen propos´ee dans cette section r´eside dans l’identification des param`etres du sch´ema

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electrique ´equivalent `a l’aide du logiciel de calcul par ´el´ements finis ANSYSr(v11.0).

Cette m´ethode, largement utilis´ee pour caract´eriser les dispositifs pi´ezo´electriques, permet une v´erification simple et accessible du mod`ele th´eorique ´etabli pr´ec´ edem-ment. Plus sp´ecifiquement, apr`es avoir d´efini la g´eom´etrie de la structure et pr´ecis´e les conditions aux limites m´ecaniques et ´electriques, la m´ethode d’identification s’appuie sur une ´etude statique et une analyse modale de l’architecture retenue afin d’extraire les capacit´es bloqu´ees du primaire et du secondaire et les ´el´ements modaux de chaque branche motionnelle [Pig10]. Les diff´erentes phases autour des-quelles s’articulent l’identification num´erique des param`etres du sch´ema ´electrique

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equivalent sont d´etaill´ees ci-apr`es.

G´eom´etrie du transformateur

La structure ´etudi´ee est naturellement le transformateur pi´ezo´electrique de type Rosen consid´er´e comme l’association de deux blocs rectangulaires (cf. figure 3.5(a))

pour lesquels les matrices des mat´eriaux sont d´efinies en respectant les directions de polarisation de chacune des parties (cf. tableau [1.4]). Le caract`ere multicouche du primaire n’est pas explicitement pris en consid´eration dans la d´efinition de la g´eom´etrie mais son influence pr´ealablement occult´ee sera directement r´epercut´ee dans les calculs d´evelopp´es par la suite. En outre, les effets thermiques et les effets non lin´eaires, issus physiquement de contraintes m´ecaniques trop ´elev´ees ou d’un champ ´electrique appliqu´e trop important, ne sont pas pris en consid´eration dans le mod`ele num´erique pr´esent´e dans cette section. Concernant les conditions aux limites, m´ecaniquement, `a l’instar des hypoth`eses avanc´ees pour l’´etablissement du mod`ele analytique, aucune contrainte n’est impos´ee sur la structure (conditions aux limites«libre-libre»). Pour les hypoth`eses ´electriques, plusieurs groupes de noeuds doivent ˆetre s´electionn´es afin de mat´erialiser les ´electrodes d’alimentation et de masse du primaire et l’´electrode du secondaire (cf. figure 3.5(b)). Sur chacune d’elles pourront ˆetre impos´ees `a loisir des potentiels ´electriques (pour diff´erencier par exemple le cas s´erie et le cas parall`ele) ou estimer la quantit´e de charges recueillie pour chacun des modes de vibration. Pr´ecisons que l’´etude num´erique se r´eduit au volume de l’´el´ement pi´ezo´electrique, omettant l´egitimement l’impact du milieu environnant sur le comportement ´electrom´ecanique ou ´electromagn´etique.

(a) G´eom´etrie et maillage

électrode d’alimentation du primaire

électrode de masse du primaire

électrode du secondaire

(b) D´efinition des ´electrodes

Figure 3.5 – Transformateur pi´ezo´electrique de type Rosen sous ANSYSr Etude statique´

L’´etude statique permet de d´eterminer les capacit´es bloqu´ees du primaire et du secondaire `a partir des propri´et´es di´electriques de la c´eramique. L’id´ee est d’appli-quer une diff´erence de potentiel entre les ´electrodes concern´ees (typiquement 1 V) et d’´evaluer la quantit´e de charges r´esultante. La capacit´e statique est alors obtenue par la simple relation :

C_i⁰ = q_i

V pour i=p, s (3.55)

o`uq_p,q_s etV sont respectivement les quantit´es de charges relatives aux ´electrodes du primaire et du secondaire et la tension appliqu´ee. Cependant, les capacit´es ainsi calcul´ees ne correspondent pas aux capacit´es bloqu´ees du sch´ema ´electrique

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equivalent. En effet, l’effet pi´ezo´electrique implique par son action une pond´eration de l’expression par le coefficient de couplage ad´equat. Il vient alors :

C_p =n²C_p⁰(1−k₃₁² ) (3.56)

C_s=C_s⁰(1−k²₃₃) (3.57)

Il est `a noter que le caract`ere multicouche du primaire a ´et´e pris en compte dans l’expression de la capacit´e bloqu´ee associ´ee. En effet, le primaire ´etant constitu´e de n couches, la capacit´e C_p se voit ˆetre multipli´ee par un facteur n².

Analyse modale

L’analyse modale permet d’extraire les fr´equences de r´esonance et les d´eform´ees m´ecaniques et ´electriques modales de la structure. Comme lors de l’analyse vibra-toire du mod`ele analytique pr´ec´edemment ´etabli, il existe une ind´etermination sur l’amplitude de ces d´eform´ees de sorte qu’il faille opter pour un crit`ere de norma-lisation afin de lever le voile sur cette inconnue. Le logiciel ANSYSr propose un choix entre deux crit`eres de normalisation : soit le maximum de l’amplitude des d´eform´ees est ramen´e `a l’unit´e, soit la matrice des masses modales est normalis´ee.

C’est sur cette derni`ere option que se base l’analyse modale qui va suivre. En outre, comme la charge r´esistive plac´ee au secondaire influence le comportement ´ electro-m´ecanique du transformateur, l’imposition des conditions ´electriques au travers des ´electrodes d’alimentation et de masse de l’architecture m`ene `a une identifica-tion diff´erente des param`etres modaux. Par la suite, seuls les cas s´erie (R_ch = 0) et parall`ele (R<sub>ch</sub> →+∞) seront examin´es. Par cons´equent, l’obtention de tels cas sup-pose que soit impos´e un potentiel nul sur les ´electrodes d’alimentation et de masse du primaire. Un potentiel nul sera de surcroˆıt impos´e sur l’´electrode du secondaire pour l’´etude du cas s´erie. Pour le cas parall`ele, en revanche, aucune pr´ecision sur l’´etat ´electrique de l’´electrode du secondaire ne sera `a apporter (circuit secondaire ouvert).

A l’issue de l’analyse modale, sans distinction pr´ealable, une liste de modes de vibration et leur fr´equence associ´ee est obtenue. Une recherche syst´ematique des modes de fonctionnement op´erationnel doit ˆetre op´er´ee afin d’en extraire les d´ efor-m´ees caract´eristiques. Pour le transformateur pi´ezo´electrique de type Rosen, seuls les quatre premiers modes d’´elongation selon l’axe (Ox₁) suscitent un int´erˆet (les trois premiers sont physiquement pertinents car ils pr´esentent un gain en trans-formation significatif, en tout cas pour une structure pr´esentant des longueurs au primaire et au secondaire sensiblement ´egales). En guise d’illustration, les d´ efor-m´ees m´ecaniques 3D des modes longitudinaux d’une structure `a secondaire ouvert sont donn´ees sur la figure 3.6.

Outre l’estimation des fr´equences propres et le trac´e des d´eform´ees modales, cette m´ethode permet une identification des param`etres du sch´ema ´electrique ´ equi-valent bas´ee sur une estimation des ´energies caract´eristiques et l’exploitation des co-ordonn´ees g´en´eralis´ees du probl`eme consid´er´e. Plus concr`etement, ANSYSr peut

(a) Modeλ/2 (b) Modeλ

(c) Mode 3/2λ (d) Mode 2λ

Figure 3.6 – D´eform´ees m´ecaniques 3D obtenues sous ANSYSr pour les quatre premiers modes longitudinaux d’un transformateur pi´ezo´electrique de type Rosen calculer les ´energies cin´etique et ´elastique du transformateur, respectivement no-t´ees T et U, `a partir de l’amplitude maximale de d´eplacement qu, variable com-mun´ement adopt´ee comme coordonn´ee g´en´eralis´ee m´ecanique. Par d´efinition, ces

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energies sont li´ees `a q_u par les relations suivantes : T = 1

2Mq˙²_u = 1

2M ω_r²q_u² (3.58)

U = 1

2Kq_u² (3.59)

o`uM etK sont respectivement les masses et raideurs modales de la structure. Ces quantit´es sont d´etermin´ees pour chaque mode de pulsation de r´esonance ω_rretenu.

Les facteurs de conversion ´electrom´ecanique du primaire et du secondaire sont quant `a eux respectivement calcul´es `a partir des rapports entre les quantit´es de charges q_p et q_s et l’amplitude maximale de d´eplacement q_u. Comme le primaire est court-circuit´e, la quantit´e de charges qp est accessible de sorte que le facteur de conversion ´electrom´ecanique du primaire s’exprime, aussi bien pour le cas s´erie que pour le cas parall`ele, comme suit :

ψ_p =nq_p qu

(3.60)

Cette quantit´e est de plus proportionnelle au nombren de couches dont est consti-tu´e le primaire. Concernant le facteur de conversion ´electrom´ecanique du secon-daire, une pr´ecision est `a apporter sur son expression prise dans le cas parall`ele : comme il est impossible d’´evaluer la quantit´e de charges pr´esente sur l’´electrode du secondaire (transformateur ouvert), la grandeur ψs∞ est donn´ee en fonction de l’amplitude V_s du potentiel ´electrique pris par l’´electrode (cf. derni`ere ´equation du syst`eme (3.54)). De ce fait, le facteur de conversion ´electrom´ecanique du secondaire s’´ecrit diff´eremment, pour les cas s´erie et parall`ele, de sorte que :

ψ_s0 = q_s

q_u , ψs∞= C_sV_s

q_u (3.61)

Les caract´eristiques modales sont d`es lors ´evalu´ees, `a l’exception de la r´esistance motionnelle R_m et des pertes di´electriques, et les param`etres du sch´ema ´electrique

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equivalent peuvent ˆetre calcul´es. Ainsi, pour les cas s´erie et parall`ele, l’inductance motionnelleL_m, la capacit´e motionnelle C_m et le rapport de transformation ψ sont donn´ees par les relations suivantes :

– Cas s´erie :

Lm0 = M₀

ψ_p0² , Cm0 = ψ_p0²

K₀ , ψ0 = ψ_p0

ψ_s0 (3.62)

– Cas parall`ele: Lm∞= M∞

ψ_p∞² , Cm∞= ψ²_p∞

K_∞− ψ_s∞² C_s

, ψ∞ = ψp∞

ψ_s∞ (3.63)