Comportement ´ electrique [Sar05][Ive02]

1.3.2.1 Approche par sch´ema ´electrique ´equivalent

Traditionnellement, l’analyse du comportement ´electrom´ecanique d’un trans-formateur pi´ezo´electrique s’effectue au travers d’un sch´ema ´electrique ´equivalent.

L’obtention de tels sch´emas repose g´en´eralement sur l’exploitation des mod`eles uni-dimensionnels tr`es largement ´eprouv´es des transducteurs pi´ezo´electriques dont les

´

equations r´esultantes sont interpr´et´ees en termes de sch´ema ´electrique ´equivalent.

Ces sch´emas se pr´esentent sous la forme d’un hexapˆole comprenant un acc`es ´ elec-trique et deux acc`es m´ecaniques (sch´ema de Mason [Ike96]). Une illustration de ce type de repr´esentation est donn´ee sur la figure 1.16 pour une c´eramique parall´el´ e-pip´edique de longueurL, de largeurlet d’´epaisseure, polaris´ee selon cette derni`ere dimension, et sollicitant un mode de couplage pi´ezo´electrique transversal.

F₁

Z₁ = Z_m jsin (kL)

F 1 :ψ

C0

V

Z₂ =jZ_mtan (kL/2) Z₂ =jZ_mtan (kL/2)

F₂ Z_m =lL

r ρ s^E₁₁ C₀ = lL

e ε^T₃₃(1−k₃₁² ) ψ = ld₃₁

s^E₁₁

Figure 1.16 – Sch´ema de Mason d’une c´eramique pi´ezo´electrique de forme paral-l´el´epip´edique sollicitant un mode de couplage transversal [Ike96]

Ainsi, si le transformateur pi´ezo´electrique est vu comme la r´eunion de deux transducteurs distincts, le sch´ema ´electrique r´esultant se pr´esente comme l’as-sociation de deux sch´emas de Mason caract´erisant respectivement la conversion d’´energie s’op´erant au sein du primaire et du secondaire [Sar05]. D`es lors, le com-portement ´electrodynamique du transformateur est classiquement repr´esent´e par le sch´ema ´electrique de la figure 1.17. Les dipˆoles RC en entr´ee et en sortie du sch´ema rendent compte des propri´et´es purement di´electriques de la structure ; C<sub>p</sub> et Cs d´esignent respectivement les capacit´es dites «bloqu´ees» du primaire et du secondaire auxquelles ont ´et´e adjointes les r´esistances R<sub>p</sub> et R<sub>s</sub> afin de tenir compte des pertes di´electriques. Le dipˆole RLC s´erie traduit les propri´et´es ´ elas-todynamiques du transformateur pi´ezo´electrique dont les composants Rm, Lm et C<sub>m</sub> sont l’image respective des pertes m´ecaniques, de la masse et de l’´elasticit´e de la structure. Le transformateur id´eal de rapport de transformationψ symbolise quant `a lui la double conversion ´electrom´ecanique et m´ecano´electrique de l’´energie et caract´erise le gain en tension du transformateur pi´ezo´electrique.

v_p(t)

R_p C_p

R_m L_m C_m

1 :ψ

R_s C_s

v_s(t) Branche motionnelle

Branche statique du primaire Branche statique du secondaire

Figure 1.17 – Sch´ema ´electrique ´equivalent d’un transformateur pi´ezo´electrique

1.3.2.2 Grandeurs caract´eristiques

Par le biais de l’approche d´ecrite pr´ec´edemment, une simulation compl`ete des caract´eristiques ´electriques du transformateur pi´ezo´electrique telles que le gain en tensionG, la puissance de sortieP<sub>s</sub>ou encore le rendementηpeut ˆetre r´ealis´ee avec une pr´ecision g´en´eralement satisfaisante pour une approche qualitative aux envi-rons d’une fr´equence de r´esonance de la structure. Pour ce faire, `a l’instar de ce qui est propos´e dans [Sar05] et [Ive02], des param`etres exprim´es `a partir des ´el´ements du sch´ema ´electrique ´equivalent sont introduits permettant de simplifier la mise en œuvre de l’´etude et d’analyser l’impact sur les diff´erentes grandeurs ´electriques de la fr´equence d’alimentation et du niveau de charge en sortie de l’architecture. Voici la d´efinition et l’expression des quantit´es introduites :

– ω_s est la pulsation de r´esonance s´erie correspondant `a un fonctionnement du transformateur `a secondaire court-circuit´e. Elle s’apparente ´egalement `a la pulsation de r´esonance de la branche motionnelle de sorte que :

ω_s= 1

√LmCm

(1.34) – ω_p est la pulsation de r´esonance parall`ele pour un fonctionnement du trans-formateur `a secondaire ouvert. Elle est ´egalement la pulsation de r´esonance de l’association en s´erie de la branche motionnelle et de la capacit´e du se-condaire ramen´ee au primaire du transformateur. Par cons´equent, elle revˆet l’expression suivante :

– Q_m symbolise le facteur de qualit´e m´ecanique et permet de rendre compte des pertes m´ecaniques qui s’op`erent au sein de la structure lors de sa mise en vibration. Son expression s’´ecrit classiquement :

Q_m = 1

– Q est la facteur de surtension ´electrique et permet de part son expression de prendre en consid´eration la r´esistance de charge R_ch plac´ee au secondaire du transformateur. Par d´efinition, il s’´ecrit :

Q= 1

R_eqC_sω_s avec 1 R_eq = 1

R_s + 1

R_ch (1.37)

– δ est d´efini comme le rapport de la capacit´e du secondaire ramen´ee au pri-maire sur la capacit´e motionnelle. Il est possible de montrer que cette quantit´e est d´ependante du facteur de couplage ´electrom´ecanique effectif du transfor-mateur et, en ce sens, elle peut ˆetre interpr´et´ee comme la fraction d’´energie m´ecanique convertible en ´energie ´electrique au secondaire. Son expression s’´ecrit comme suit :

δ= ψ²Cs

C_m (1.38)

Il est `a noter qu’au cours d’un fonctionnement du transformateur pi´ezo´electrique charg´e par une r´esistance de valeur quelconque, la fr´equence de r´esonance de l’ar-chitecture est n´ecessairement comprise entre les fr´equences de r´esonance s´erie et parall`ele (f_s ≤ f_r ≤ f_p). Les pulsations s´erie et parall`ele sont de surcroˆıt li´ees par

Compte tenu de ces nouvelles variables, les grandeurs ´electriques sont d´esormais accessibles par simple application des lois de Kirchoff au sch´ema ´electrique ´ equi-valent de la figure 1.17. Le module du gain en tension, la puissance de sortie et le

rendement ont par cons´equent pour expression :

A noter que dans l’´etablissement de l’expression du rendement, seules les pertes m´ecaniques, au travers du facteur de qualit´e Qm, et la charge Rch sont prises en consid´eration. Les pertes di´electriques ont ´et´e n´eglig´ees en imposant une valeur infinie aux r´esistances R_p et R_s. Ceci peut se justifier par un emploi du transfor-mateur pi´ezo´electrique g´en´eralement autour de sa fr´equence de r´esonance, plage d’utilisation o`u les pertes di´electriques sont g´en´eralement n´egligeables devant les pertes m´ecaniques [Ber68].

1.3.2.3 R´egimes de fonctionnement

Afin de tirer parti des meilleures performances du transformateur pi´ezo´ elec-trique, il est souhaitable de l’alimenter `a une fr´equence voisine d’une de ses fr´ e-quences de r´esonance m´ecanique. En effet, `a charge fix´ee, pour une g´eom´etrie et un mat´eriau donn´es, le transformateur pi´ezo´electrique se comporte comme un filtre passe-bande. En t´emoignent les trac´es fr´equentiels du module du gain en tension, de la puissance de sortie et du rendement (cf. figure 1.18) dont les expressions ont pu ˆetre ´etablies dans la section pr´ec´edente. Outre cette d´ependance fr´equentielle, les performances du transformateur sont tr`es largement influenc´ees par le niveau de charge auquel il est soumis. La premi`ere grandeur affect´ee est la pulsation de r´esonance ωr qui varie consid´erablement avec la r´esistance de charge Rch. Cette suj´etion est formalis´ee par l’´equation suivante d’inconnue xsymbolisant le carr´e de la pulsation r´eduite : Cette ´equation est obtenue en annulant la d´eriv´ee du d´enominateur de l’expres-sion (1.40), condition `a respecter pour obtenir le gain en tension maximum. Il est int´eressant de consid´erer les cas extrˆemes pour lesquels le fonctionnement du transformateur s’effectue `a secondaire ferm´e et ouvert. En effet, pour ces deux

0

ω_s ω_r ω

η P_s

|G|

Figure 1.18 – ´Evolution du gain en tension, de la puissance de sortie et du ren-dement en fonction de la fr´equence

configurations, il vient :







R_ch = 0 ⇔ Q → ∞ ⇒ x = 1 R_ch → ∞ ⇔ Q = 0 ⇒ x = 1 + 1

δ − 1 2Q²_m

(1.44) Par cette simple analyse de l’´equation (1.43) et dans l’hypoth`ese o`u le facteur de qualit´e m´ecanique est grand devant l’unit´e, il est `a constater que la pulsation de r´esonance tend effectivement vers les pulsations s´erie ω<sub>s</sub> et parall`ele ω_p pour les cas de fonctionnement `a secondaire ferm´e et ouvert respectivement. En conservant l’hypoth`ese d’un important facteur de qualit´e m´ecanique, il est possible d’extraire une expression analytique de la solution de l’´equation (1.43) exprimant directement la pulsation de r´esonance en fonction des grandeurs Qet δ :

ω²_r ω²_s = 1

2

1 + 1 δ −Q²

+

s 1 4

1 + 1

δ −Q² 2

+Q² (1.45)

Une d´ependance inversement proportionnelle deω_ravec la r´esistance de chargeR_ch (proportionnelle `a 1/Q) est `a noter. D’apr`es [Sar05], l’´evolution de la fr´equence de r´esonance s’effectue sur deux d´ecades du facteur de qualit´e ´electrique, ph´enom`ene qui peut s’av´erer n´efaste lors de l’utilisation du transformateur sur charge variable.

Afin de limiter cette variation, il est possible de dimensionner le transformateur pour maximiser le rapport δ. Cependant, toute augmentation de cette quantit´e se fait au d´etriment du coefficient de couplage ´electrom´ecanique effectif et, par cons´equent, des performances ´electriques du transformateur.

Pour la suite de l’´etude, il est suppos´e que le transformateur est asservi `a sa fr´equence de r´esonance, quel que soit le niveau de charge, pour une amplitude de la tension d’alimentation V_p fix´ee. Dans ces conditions, une ´evolution du module du

gain en tension, de la puissance de sortie et du rendement en fonction de l’inverse du facteur de qualit´e ´electrique est propos´ee sur la figure 1.19. Il est `a noter que les maximums de ces courbes sont disjoints laissant une libert´e de dimensionnement dans l’architecture et un compromis `a adopter entre ces diff´erentes quantit´es. Une decription des trois cas de fonctionnement envisageables est propos´ee ci-apr`es :

0

δ Q_m

1 r

1 + 1 2δ

Q_m δ+ 1

1 Q (|G|)_ηm

η= 0.5 ηm

(Ps)ηm

P_sm

η P_s

|G|

Figure 1.19 – ´Evolution du gain en tension, de la puissance de sortie et du ren-dement en fonction de la charge

– Fonctionnement `a gain maximal : le gain en tension est maximal pour un fonctionnement du transformateur pi´ezo´electrique `a secondaire ouvert.

La pulsation de r´esonance s’apparentant alors `a la pulsation parall`ele ωp, son introduction dans la relation 1.40 donne acc`es `a l’expression du gain maximal de sorte que :

|G|^max= Q_m δ

r 1 + 1

δ

(1.46)

Outre cette valeur caract´eristique, il est `a noter une d´ecroissance tr`es rapide du module du gain en tension avec la diminution de la charge.

– Fonctionnement `a puissance maximale : La puissance est maximale pour deux valeurs particuli`eres de la charge qui correspondent pour chacune d’elles `a un rendement ´egal `a 50 % (la d´emonstration de cette singularit´e est

donn´ee dans [Ive02]). En ins´erant cette derni`ere valeur de rendement dans l’expression (1.42), l’´equation donnant les valeurs de charge pour lesquelles la puissance est maximale est atteinte comme suit :

Q²−Q_m

δ Q+ω_r²

ω_s² = 0 (1.47)

Cette ´equation a deux solutions Q_1,2 = Q_m

, ces solutions se simplifient par les relations suivantes :

En outre, Q₁ pr´esentant une valeur faible en raison d’un fort facteur de qualit´e m´ecanique, il est judicieux d’assimiler le carr´e de la pulsation r´eduite

`

a la valeur 1 + 1/δ correspondant `a un fonctionnement du transformateur en circuit ouvert. Par cons´equent, les valeurs du facteur de qualit´e ´electrique correspondant au maximum de la puissance de sortie s’´ecrivent finalement :

1

Q₁ = Q_m

δ+ 1 et 1 Q₂ = δ

Q_m (1.50)

A noter que ces valeurs correspondent `a deux valeurs bien distinctes de gain en tension offrant, une fois encore, un choix en termes de dimensionnement pour ces deux situations.

– Fonctionnement `a rendement maximal : en regardant l’expression du rendement, il est ais´e de donner la condition qui le maximise. En effet, d’apr`es (1.42), ce dernier est maximal si le facteur de qualit´e ´electrique v´erifie la relation suivante :

1 Q = ω_r

ω_s (1.51)

D’apr`es [Ive02],Q et δ v´erifient alors l’´egalit´e suivante : 1

Q = r

1 + 1

2δ (1.52)

Le rendement maximal η_m obtenu pour cette condition co¨ıncide avec un mi-nimum local de la puissance de sortie compris entre les maxima globaux de cette derni`ere (cf. figure 1.19). L’expression de ce maximum peut en outre ˆ

etre pr´ecis´ee en injectant l’´equation pr´ec´edente dans l’expression du rende-ment (1.42) :

Les ´equations qui ont pu ˆetre d´evelopp´ees dans cette section mettent en lu-mi`ere les relations importantes qui lient les param`etres cl´e d’un transformateur pi´ezo´electrique. Le principal int´erˆet d’une telle approche est de pouvoir optimiser une structure r´epondant `a un cahier des charges pr´ecis, aussi bien en termes de gain en tension, puissance de sortie ou rendement. Dans [Ive02], les auteurs illus-trent la d´emarche pr´esent´ee pr´ec´edemment sur l’exemple d’un dimensionnement de transformateur utlis´e pour l’alimentation d’une lampe fluorescente d’une puissance de 18 W, le transformateur ´etant lui-mˆeme suppos´e ˆetre aliment´e par une source de tension de 150 V_rms.

Dans le document Contribution à la conception et la modélisation transformateurs piézoélectriques dédiés à la génération de plasma (Page 58-65)