Cartographie du potentiel ´ electrique

Jusqu’`a pr´esent, le confinement des lignes de champ au sein du transforma-teur ´etait l´egitimement suppos´e en raison d’une permittivit´e di´electrique intrin-s`eque d’une valeur mille fois sup´erieure `a celle de l’air. Or, le bref ´etat de l’art du chapitre 1 et les investigations exp´erimentales du chapitre 4 indiquent la pr´esence d’un champ ´electrique environnant, cause pr´esum´ee des d´echarges plasma que peut promouvoir un transformateur pi´ezo´electrique. En d’autres termes, l’influence du plasma sur la carte de potentiel ´electrique et son couplage avec les propri´et´es pi´

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electriques avaient jusqu’alors ´et´e occult´ee. Toutefois, cette partie n’a pas vocation

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a expliquer les ph´enom`enes complexes qui lient intimement la pi´ezo´electricit´e et le plasma. Cette section constitue une premi`ere ´etape `a la compr´ehension de ce couplage et son objectif sera modestement d’´etablir une relation entre la vibration m´ecanique du transformateur et le potentiel ´electrique environnant. Pour ce faire, une mod´elisation num´erique 2D de ce potentiel ´etablie `a partir de la m´ethode des diff´erences finies est propos´ee. Apr`es avoir pos´e les hypoth`eses du probl`eme, la m´ethode des diff´erences finies sera bri`evement d´ecrite. Les r´esultats issus de cette mod´elisation clˆotureront cette partie.

Hypoth`eses

La figure 3.20 illustre le domaine d’´etude dans lequel seule la moiti´e sup´erieure du transformateur pi´ezo´electrique est consid´er´ee. Le milieu environnant, le pri-maire, le secondaire et la bordure du domaine d’´etude sont respectivement not´es Ω, Ω_p, Ω_s et Γ_D. Afin d’obtenir une cartographie 2D du potentiel ´electrique, les hypoth`eses simplificatrices suivantes sont avanc´ees :

– Le transformateur est suppos´e baigner dans l’air dont la permittivit´e di´ elec-trique s’apparente `a celle du vide ε₀.

– Le primaire est consid´er´e comme un milieu di´electrique de permittivit´e ´egale

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a ε^T₃₃(1−k₃₁² ) calcul´ee `a partir des donn´ees consign´ees dans le tableau [3.4].

– Le potentiel ´electrique du secondaire est impos´e. Sa r´epartition est issue de l’´etude aux vibrations forc´ees de la partie pr´ec´edente.

– Le potentiel ´electrique est suppos´e sym´etrique par rapport `a l’axe (Ox<sub>1</sub>) et invariant par translation selon l’axe (Ox<sub>3</sub>). Les effets de bord ne sont par cons´equent pas pris en compte dans ce mod`ele.

– Le r´egime permanent est ´etabli de sorte que le potentiel ´electrique ´evolue sinuso¨ıdalement avec le temps.

– Une condition aux limites de Dirichlet est consid´er´ee : le potentiel ´electrique est pris nul sur le contour Γ_D.

Fort de ces consid´erations, le potentiel ´electrique dans le domaine d’´etude consid´er´e v´erifie le probl`eme suivant :











ε₀∆φ = 0 dans Ω ε^T₃₃(1−k₃₁² )∆φ = 0 dans Ω_p

φ = φ_{P T} dans Ω_s φ = 0 sur Γ_D

(3.118)

o`u ∆ symbolise l’op´erateur laplacien etφ<sub>P T</sub> le potentiel ´electrique issu de l’analyse aux vibrations forc´ees de la partie pr´ec´edente. Une remarque interm´ediaire peut d’ores et d´ej`a ˆetre formul´ee sur le mod`ele num´erique propos´e ici : les ´equations de la pi´ezo´electricit´e gouvernant le comportement ´electrom´ecanique du transformateur ne sont pas explicitement r´esolues par la m´ethode des diff´erences finies, le primaire

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etant consid´er´e comme un simple milieu di´electrique et le potentiel ´electrique ´etant impos´e au secondaire. De ce fait, cette approche constitue clairement une mod´ eli-sation num´erique 2D `a couplage faible.

x y

−3L1 −L1 0 L2 3L2

0 e/2 15e 30e

Ω

Γ_D

Ωp Ωs

Figure 3.20 – Domaine d’´etude de la mod´elisation num´erique du potentiel ´ elec-trique g´en´er´e par un transformateur pi´ezo´electrique de type Rosen

M´ethode des diff´erences finies

Afin de r´esoudre le probl`eme stationnaire pr´ec´edemment ´enonc´e, la m´ethode des diff´erences finies est mise en œuvre. Cette m´ethode num´erique permet de r´ e-soudre les ´equations aux d´eriv´ees partielles par une discr´etisation des op´erateurs

diff´erentiels r´ealis´ee `a l’aide de d´eveloppements de Taylor. Dans le cas pr´esent, le potentiel ´electrique v´erifie une ´equation de Laplace aussi bien dans le primaire que dans le milieu environnant. Afin de discr´etiser cette ´equation aux d´eriv´ees par-tielles elliptique, le sch´ema `a 5 points utilisant un pas de discr´etisation quelconque est utilis´e (cf. figure 3.21). A partir de ce maillage, les d´eriv´ees secondes selon les variablesxetypr´esentes dans l’´equation de Laplace sont discr´etis´ees `a l’aide d’une diff´erence centr´ee. Il vient finalement :

φi−1,j

h₁(h₁+h₃)+ φi,j−1

h₂(h₂+h₄)− 1

h₁h₃ + 1 h₂h₄

φ_i,j+ φ_i+1,j

h₃(h₁+h₃)+ φ_i,j+1

h₄(h₂+h₄) = 0 (3.119) Pour un maillage uniforme (h₁ =h₂ =h₃ =h₄), cette ´equation se simplifie comme suit :

φi−1,j+φi,j−1−4φ_i,j +φ_i+1,j+φ_i,j+1 = 0 (3.120) En plus de l’´equation v´erifi´ee par le potentiel ´electrique dans les diff´erents milieux, il faut pr´eciser les ´equations aux interfaces et en bordure du domaine. Ici, le po-tentiel v´erifie une condition de Dirichlet aux limites du domaine (φ = 0 sur Γ_D) et une condition de sym´etrie par rapport `a l’axe (Ox) sur la bordure inf´erieure.

Les ´equations aux interfaces entre l’air et le transformateur sont d´evelopp´ees dans l’annexe C. Finalement, l’application de la m´ethode aux diff´erences finies pour r´ e-soudre l’´equation de Laplace se r´eduit `a la simple r´esolution d’un syst`eme lin´eaire de la forme Aφ=B.

x y

i−1 i i+ 1

j−1 j j+ 1

h₁

h₂ h₃

h₄

φ(i, j)

Figure 3.21 – Sch´ema `a 5 points `a pas de discr´etisation quelconque

R´esultats

Le mod`ele num´erique ainsi ´etabli est simul´e pour les quatre premiers modes longitudinaux du transformateur pi´ezo´electrique Rosen CMT-Noliac. Le domaine d’´etude est un rectangle de dimensions [−3L1,3L2]×[0,30e] r´eduit aux intervalles [−2L₁,2L₂]×[0,15e] sur les r´esultats pour plus de clart´e. Les trac´es sont regroup´es sur la figure 3.22. Afin de confirmer la pertinence des simulations num´eriques, les cartographies 2D du potentiel ´electrique sont rapproch´ees des clich´es exp´ erimen-taux figurant des d´echarges plasma obtenues pour les diff´erents modes vibratoires.

A noter qu’aucun relev´e exp´erimental n’a pu ˆetre obtenu pour le mode 2λ en rai-son d’un faible potentiel ´electrique produit, ph´enom`ene justifi´ee analytiquement et num´eriquement pour un transformateur pr´esentant des longueurs de primaire et de secondaire approximativement ´egales. La comparaison permet de constater une bonne corr´elation entre les r´egions de fort champ ´electrique et les zones lumines-centes pour les trois premiers modes longitudinaux. Pour information, le tableau [3.9] mentionne les conditions exp´erimentales d’obtention des d´echarges plasma. Le chapitre 4 reviendra plus en d´etail sur la production de ces d´echarges.

mode P [mbar] V_p [V] f [kHz]

λ/2 2.4 1.8 70.80

λ 2.4 1.8 140.9

3/2λ 4.2 1.8 207.6

Table 3.9 – Conditions exp´erimentales d’obtention des d´echarges plasma pour les trois premiers modes longitudinaux d’un transformateur pi´ezo´electrique Rosen CMT-Noliac.

(a) Modeλ/2

(b) Modeλ

(c) Mode 3/2λ

Aucun relevé expérimental

(d) Mode 2λ

Figure 3.22 – Cartographie 2D du potentiel ´electrique (en V) produit par un transformateur pi´ezo´electrique CMT-Noliac pour les quatre premiers modes longi-tudinaux simul´ee `a l’aide de la m´ethode des diff´erences finies – Comparaison aux motifs lumineux des d´echarges plasma obtenues exp´erimentalement

3.6 Conclusion

Au cours de cette partie, la mod´elisation th´eorique d´evelopp´ee dans le chapitre pr´ec´edent a ´et´e ´eprouv´ee sur une architecture classique : le transformateur pi´

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electrique de type Rosen. A partir d’hypoth`eses simplificatrices, notamment une

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evolution spatiale unidimensionnelle des grandeurs caract´eristiques, les ´equations du mouvement ont ´et´e obtenues et interpr´et´ees en termes de sch´ema ´electrique ´ equi-valent pour permettre une comparaison `a l’exp´erimentation. En parall`ele et afin de conforter la mod´elisation th´eorique, une identification num´erique et exp´erimentale des caract´eristiques modales selon les quatre premiers modes longitudinaux a ´et´e entrepris.

Il est `a rappeler que la d´emarche pr´esent´ee offre, en comparaison aux m´ethodes classiques, un caract`ere multimodal int´eressant dans l’optique d’une optimisation de la structure r´epondant `a des sp´ecifications pr´ecises et s’av`ere de surcroˆıt ˆetre exploitable pour tout type de g´eom´etrie de transformateur pi´ezo´electrique.

Les conclusions tir´ees des diff´erents trac´es comparatifs ont permis de mettre en exergue les limites de la mod´elisation unidimensionnelle, hypoth`ese classique-ment invoqu´ee dans tous les mod`eles analytiques visant `a d´ecrire le comporte-ment ´electrodynamique des transducteurs et autres r´esonateurs pi´ezo´electriques.

Ces mod`eles constituent n´eanmoins un support remarquable pour aborder de ma-ni`ere rigoureuse le pr´edimensionnement ou l’optimisation d’un dispositif devant r´epondre `a un cahier des charges bien d´etermin´e. En outre, l’originalit´e et l’inexp´ e-rience relatives `a l’application des transformateurs pi´ezo´electriques `a la promotion de d´echarges plasmas de surface n´ecessitent incontestablement une connaissance en amont du comportement ´electrom´ecanique du transformateur, ici obtenu grˆace au syst`eme d’´equations issu de la m´ethode d´evelopp´ee dans ce chapitre.

En outre, une extension de cette mod´elisation a permis de poser les premiers ja-lons `a l’´etude de l’interaction entre les domaines de la pi´ezo´electricit´e et du plasma.

Mˆeme si l’approche s’est av´er´ee ´el´ementaire, compte tenu de nombreuses hypo-th`eses simplificatrices, et notamment un couplage faible suppos´e entre le transfor-mateur et le milieu environnant, les r´esultats obtenus ont d’ores et d´ej`a montr´e une corr´elation remarquable entre les cartographies 2D du potentiel ´electrique issues du mod`ele num´erique et les zones luminescentes des d´echarges plasma g´en´er´ees exp´erimentalement. L’objectif final d’une telle entreprise est de d´evelopper un mo-d`ele champ-circuit complet et pr´ecis reliant le plasma et les grandeurs ´electriques mesurables en entr´ee du transformateur.

Investigations exp´ erimentales et