Etude aux vibrations forc´ ´ ees

electrique environnant, `a l’origine pr´esum´ee de la d´echarge plasma, est d´evelopp´e

`

a l’aide d’une formulation par diff´erences finies. Si cette premi`ere mod´elisation ne prend pas en consid´eration le couplage entre le plasma et le milieu pi´ezo´electrique, elle permettra n´eanmoins de souligner la corr´elation entre la r´epartition du poten-tiel ´electrique et le motif lumineux de la d´echarge plasma. Cette premi`ere ´etape de mod´elisation sera qualifi´ee de couplage faible.

3.5.1 Etude aux vibrations forc´ ´ ees

L’´etude aux vibrations forc´ees d’un transformateur pi´ezo´electrique de type Ro-sen est bas´ee sur les ´equations d´evelopp´ees dans la section§3.2.2 et sur l’hypoth`ese d’une ´evolution harmonique des grandeurs. Le transformateur est suppos´e ˆetre ali-ment´e par une tension sinuso¨ıdale de la forme v<sub>p</sub>(t) = V<sub>p</sub>cos(ωt) o`u ω est une pulsation prise autour d’une r´esonance m´ecanique de l’architecture. A l’instar de l’hypoth`ese formul´ee lors de l’´etude aux valeurs propres (cf.§3.2.4), le d´eplacement m´ecanique et le potentiel ´electrique ont une ´evolution harmonique de sorte que :

u₁(x₁, t) = u₁(x₁) cos(ωt) (3.102) φ(x₁, x₃, t) = φ(x₁, x₃) cos(ωt) (3.103)

A partir des ´equations du mouvement (3.14) et (3.15), les amplitudesu₁ etφ de la d´eform´ee m´ecanique et du potentiel ´electrique ont alors pour expression :

u₁(x₁) = L’´etude aux vibrations forc´ees d’un transformateur pi´ezo´electrique s’op`ere pour une structure libre de toutes contraintes m´ecaniques (hypoth`ese de conditions aux limites «libre - libre ») aliment´ee par une tension sinuso¨ıdale au primaire. Les hypoth`eses ´electriques avanc´ees dans la section§3.2.1 sont suppos´ees ˆetre v´erifi´ees impliquant par cons´equent la constance de l’amplitude du champ ´electrique au sein du primaire de sorte que :

E₃ =−nVp

e (3.106)

En outre, l’´etude se limite au cas du transformateur ´evoluant `a secondaire ouvert (cas parall`ele) conform´ement aux conditions exp´erimentales dans lesquelles ont

´

et´e obtenues les d´echarges plasma (cf. chapitre 4). La constante C_φ, image du courant en sortie du transformateur, est par cons´equent nulle. Afin de d´eterminer les sept autres constantes d’int´egration, les conditions aux limites m´ecaniques et

´

electriques, auxquelles il faut ajouter les relations de continuit´e `a l’interface entre primaire et secondaire, sont exploit´ees.

Les conditions de raccordement aux abscisses x₁ = 0⁻ etx₁ = 0⁺ sont en premier lieu examin´ees. Pour ces derni`eres, la continuit´e du d´eplacement m´ecanique, de la contrainte et du potentiel ´electrique est assur´ee. Il vient alors :

 En ce qui concerne les conditions aux limites, les conditions «libre-libre» don-n´ees par la relation (3.4) doivent ˆetre associ´ees `a la condition relative `a la valeur du potentiel ´electrique impos´ee par la tension en entr´ee du transformateur. Par cons´equent, les relations suivantes sont v´erifi´ees :



Les constantes d’int´egration A_φ etB_φ peuvent ˆetre directement d´etermin´ees. Elles ont pour expression :

A_φ= nVp

e et B_φ= nVp

2 (3.107)

A partir de ces relations, la constante D_φ revˆet l’expression suivante : Ainsi, le syst`eme d’´equations de l’´etude aux vibrations forc´ees se r´eduit `a la d´ eter-mination des constantes d’int´egrationA_u,B_u,C_u etD_u. Il s’´ecrit matriciellement :



Sa r´esolution m`ene aux expressions des constantes d’int´egration, il vient alors :



o`u la quantit´e ∆∞ est issue du d´eterminant de la matrice du syst`eme d’´equations pr´ec´edent comme suit :

∆∞= detM(ω) c^E₁₁k1∞c^D₃₃k2∞

=c^E₁₁k1∞sinX1∞cosX2∞+c^D₃₃k2∞cosX1∞sinX2∞ (3.110) Finalement, l’amplitude de la d´eform´ee m´ecanique s’exprime ainsi :

u_1∞(x₁) = U_m tandis que l’amplitude du potentiel ´electrique s’´ecrit :

φ(x₁, x₃) =

Ainsi, l’analyse aux vibrations forc´ees a permis de d´eterminer les expressions des amplitudes du d´eplacement m´ecanique et du potentiel ´electrique du transfor-mateur `a secondaire ouvert. Toutefois, ´evaluer ces derni`eres pour une fr´equence proche d’une r´esonance m´ecanique de la struture les am`enerait `a diverger. En effet, la quantit´e ∆∞ ´etant proportionnelle au d´eterminant de la matrice du sys-t`eme d’´equations pr´ec´edent, dont le polynˆome caract´eristique a exactement pour racines les valeurs propres de cette dynamique, elle tend n´ecessairement vers z´ero pour n’importe quelle fr´equence de r´esonance. Par cons´equent, afin de quantifier l’amplitude du potentiel ´electrique de surface, il semble n´ecessaire de prendre en compte les pertes qui, `a la r´esonance, sont d’origine majoritairement m´ecanique (dues aux frottements internes) [Ber68]. Pour ce faire, une repr´esentation complexe des constantes de raideur c^E₁₁ etc^D₃₃ est `a consid´erer dans l’expression (3.112). Clas-siquement, ces grandeurs complexes sont d´efinies de la mani`ere suivante [Kar04] :

ˆ o`u Qm est le facteur de qualit´e m´ecanique. A partir de ces expressions, dans l’hy-poth`ese d’un facteur de qualit´e m´ecanique ´elev´e (Q_m 1), les vecteurs d’onde du primaire et du secondaire s’´ecrivent et se simplifient comme suit :

kˆ_i∞ =ki∞ Fort de ces consid´erations, l’amplitude complexe du potentiel ´electrique peut ˆetre calcul´ee. Dans l’hypoth`ese o`u la variation selon l’axe (Ox₃) est n´eglig´ee et pour une fr´equence d’alimentation cal´ee sur une r´esonance m´ecanique du transformateur, cette amplitude prend la forme suivante :

φˆ⁽ⁱ⁾_∞(x₁) = ˆφ⁽ⁱ⁾

A l’issue de cette approche une valeur finie de l’amplitude du potentiel ´ elec-trique est obtenue. Afin d’´eprouver le mod`ele ainsi ´etabli, le transformateur pi´ e-zo´electrique Rosen CMT-Noliac est consid´er´e. Ses caract´eristiques g´eom´etriques et les param`etres structurels de cette architecture sont rappel´es dans le tableau [3.4].

Tout d’abord, une comparaison de la r´epartition du potentiel ´electrique de surface le long du transformateur est propos´ee sur le figure 3.17. Pour cette g´eom´etrie, les

−1 0 1 2 3 4 5

[kV]

φ⁽ⁱ⁾

∞(x1)

−L1 0 L2

modeλ/2 modeλ mode 3/2λ mode 2λ

Figure 3.17 – R´epartition spatiale selon l’axe (Ox₁) du potentiel ´electrique de surface issu de la mod´elisation avec pertes pour les quatre premiers modes longi-tudinaux du transformateur pi´ezo´electrique CMT-Noliac – Cas parall`ele

deux premiers modes sont relativement similaires en termes de r´epartition, l’am-plitude maximale atteinte par le mode λ/2 ´etant l´eg`erement sup´erieure `a celle du mode λ. Pour un facteur de qualit´e m´ecanique ´egal `a 300, l’ordre de grandeur de ces amplitudes est de quelques kilovolts. Par ailleurs, il est `a noter l’amplitude n´egligeable du mode 2λ comparativement `a celles des autres modes, ph´enom`ene dej`a constat´e dans la section§3.4.

Dans l’hypoth`ese d’une relation lin´eaire implicitement admise<sup>1</sup> entre le poten-tiel ´electrique de surface et la tension d’entr´ee, il est possible de tracer son ´evolution illustr´ee sur la figure 3.18 pour diff´erentes valeurs de V<sub>p</sub>. S’il est admis qu’il existe une tension seuil au del`a de laquelle la d´echarge soit g´en´er´ee, la r´epartition non uniforme du potentiel de surface conduira n´ecessairement `a faire ´evoluer la zone de

1. la limite de validit´e de cette hypoth`ese sera discut´ee au chapitre suivant

d´echarge, croissante avec la tension d’entr´ee. Il est `a noter par ailleurs que cette maˆıtrise de la zone de d´echarge peut ˆetre obtenue en sollicitant les diff´erents modes vibratoires. Cette capacit´e sera d´emontr´ee au chapitre suivant.

Tension d’amorçage

Augmentation de la zone de décharge

Augmentation de l’amplitude de la tension d’entrée

Figure 3.18 – ´Evolution du potentiel de surface en fonction de la tension d’entr´ee pour le mode λ d’un transformateur pi´ezo´electrique CMT-Noliac – Cas parall`ele

Outre le trac´e de la r´epartition du potentiel ´electrique, l’influence sur l’ampli-tude maximale disponible du rapport longueur du secondaire sur longueur totale du transformateur a ´et´e simul´ee pour les quatre premiers modes longitudinaux.

La figure 3.19 illustre cette ´etude. Tout d’abord, il est `a souligner l’apparition de quelques singularit´es math´ematiques sur les diff´erents trac´es modaux, dues aux propri´et´es de la fonction tangente pr´esente dans la formule (3.112). Ceci met en d´efaut l’hypoth`ese unidimensionnelle pour certaines g´eom´etries de transformateur Rosen. Ces singularit´es math´ematiques sont par la suite volontairement omises pour conduire les diff´erentes r´eflexions. Premi`erement, quelle que soit la proportion pri-maire/secondaire, l’amplitude maximale est la plus significative pour les modesλ/2 et λ, ce qui confirme, dans la plupart des applications employant un transforma-teur de type Rosen, l’exploitation de l’architecture autour des deux premiers modes longitudinaux afin de tirer parti des meilleures performances. Deuxi`emement, pour des g´eom´etries pr´esentant des longueurs de primaire et de secondaire approximati-vement ´egales (L₂/L₀'0.5), l’´el´evation en tension semble optimale pour les deux premiers modes, tandis qu’en comparaison, l’amplitude maximale du potentiel ´

elec-0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0

1 2 3 4 5

[kV]

L2

L0

φ⁽ⁱ⁾

∞m modeλ/2 modeλ mode 3/2λ mode 2λ

Figure 3.19 – ´Evolution de l’amplitude maximale du potentiel ´electrique issue de la mod´elisation avec pertes en fonction du rapport L₂/L₀ pour les quatre pre-miers modes longitudinaux du transformateur pi´ezo´electrique CMT-Noliac – Cas parall`ele

trique du mode 2λ est d´erisoirement faible. Ceci confirme son inexistence sur la figure 3.17 et ent´erine une fois encore les remarques faites dans la section §3.4. A noter que dans le cadre de la g´en´eration de d´echarge plasma par effet pi´ezo´ elec-trique, un avantage notoire consiste en la capacit´e `a d´eployer `a loisir un potentiel

´

electrique `a diff´erents endroits. A ce titre, le basculement d’un mode vibratoire `a un autre permet th´eoriquement de«d´elocaliser» le lieu de la d´echarge (fait remar-quablement v´erifi´e dans la section suivante sur la figure 3.22). Malheureusement, hormis pour les modes λ/2 et λ, il n’existe pas de rapport L₂/L₀ permettant de satisfaire simultan´ement `a un optimum de potentiel ´electrique pour l’ensemble des modes ici consid´er´es. Face `a un tel besoin, il sera alors n´ecessaire d’aboutir `a un compromis d’optimisation et compenser par l’amplitude de la tension d’entr´ee la faiblesse du facteur d’´el´evation des modes d´efavoris´es.