Optimisation multiobjective

Il n’est pas rare qu’un problème réel comporte en réalité plusieurs critères à satisfaire. Par exemple, on peut imaginer qu’il faut améliorer l’efficacité aérodynamique et le poids des ailes d’un avion et cela surement conjointement avec l’efficacité d’une autre partie de l’avion ; ou encore diminuer le temps de parcours des voitures dans le centre d’une ville conjointe- ment à la réduction des émissions polluantes dans la journée et aux heures de pointe, etc. La transposition d’un problème réel en un problème d’optimisation mono-objective, même boite noire, devra proposer, a priori avant toute résolution, une agrégation pertinente de ces critères en une fonction objectif qui associe un seul nombre réel à chaque solution potentielle. La transposition en problème d’optimisation multiobjectif offre une souplesse supplémentaire en différant le moment où l’on décide de l’importance relative des objectifs. L’optimisation multiobjective s’inscrit dans un processus de décision. Un décideur modélise le problème en exprimant plusieurs critères, aussi appelés objectifs, souvent contradictoires dont, a priori, il ne peut pas ou ne veut pas donner une classification, une hiérarchisation ou une pondération afin de ne pas, par exemple, introduire de biais dans les solutions finales trouvées. Typi- quement, les objectifs sont souvent relatifs à des notions de qualité et de coût. Ensuite, la résolution du problème multiobjectif apporte non plus une solution mais un ensemble de solu- tions qui optimisent conjointement l’ensemble des objectifs. Le décideur peut alors étudier les solutions obtenues à postériori de la résolution, et selon le contexte sélectionner une solution particulière. La modélisation multiobjective apporte donc une souplesse dans la modélisation et une meilleure connaissance sur le problème par l’analyse à postériori d’un ensemble de solu- tions possibles, mais oblige le décideur à une étape supplémentaire d’analyse. L’optimisation multiobjective est de plus souvent d’une plus grande complexité (temps de résolution plus long par exemple). Formellement, un problème d’optimisation multiobjective se distingue de l’optimisation mono-objective par l’espace d’arrivée de la fonction d’évaluation. Un problème d’optimisation multiobjectif est un couple (X, F ) où X est l’ensemble des solutions poten- tielles, l’espace de recherche aussi appelé espace de décision dans ce cas, et F : X → Rn

est la fonction qui associe à chaque solution un vecteur de dimension n > 2 de nombres réels correspondant aux valeurs des objectifs. Lorsque l’espace X est discret, l’optimisation est dite combinatoire et l’optimisation peut être aussi boite noire lorsqu’aucune information supplé- mentaire n’est fournie lors de la résolution. Les composantes de la fonction F sont appelées les objectifs ou encore critères, chacun peut être minimisé ou maximisé. Dans la suite, les objec- tifs seront tous minimisés. L’image de X par F est nommé l’espace objectif par opposition à l’espace de décision. Comme pour l’optimisation mono-objective, nous nous intéressons dans ce travail à l’optimisation combinatoire boite noire. En optimisation multiobjective, la notion d’optimalité repose sur la relation de dominance de Pareto entre les solutions, définie à partir d’un ordre (strict) partiel dans l’espace objectif :

Definition 1 Une solution x ∈ X domine une solution x0 _{∈ X, et on le note x ≺ x}0_{, si et}

seulement si ∀k ∈ [1, d] fk(x) ≤ fk(x0)et∃j ∈ [1, d], fj(x) < fj(x0). Si x ⊀ x0 et x  x0, alors

les solutions x et x0 _{sont dites mutuellement non-dominées (x k x}0_{). Lorsqu’une solution est} strictement meilleure qu’une autre pour tous les critères, on parle de dominance forte (≺≺), et si au contraire aucun des critères n’est strictement meilleure que pour l’autre solution on

parle de dominance faible ().

Il est alors possible de définir une notion d’optimalité d’une solution comme étant une solution non dominée vis-à-vis de toutes les autres solutions :

Definition 2 Une solution x ∈ X est Pareto-optimale ou non dominée si et seulement si

∀x0 _{∈ X, x  x}0.

Sauf cas particulier, contrairement au cas mono-objectif, il n’existe pas une unique solution optimale pour un problème d’optimisation multiobjective mais il existe plusieurs solutions non dominées, ou Pareto optimales. Chaque solution Pareto optimale exprime un compromis particulier entre les objectifs. L’optimalité d’un problème d’optimisation multiobjective est un ensemble de solutions :

Definition 3 L’ensemble des solutions non dominées (Pareto optimales) est appelé l’en-

semble Pareto optimal. L’image de cet ensemble par la fonction d’évaluation F est appelé le front de Pareto. x2 x1 x3 f2 f1 Espace de recherche Espace objectif

Front de Pareto Ensemble de Pareto

Solution Pareto optimale (non dominée)

But de l'optimisation : trouver l'ensemble de Pareto

(ou une approximation)

Images par la fonction objectif

Solution dominée

Figure 4.1 – Illustration des notions de solution dominée et non dominée, de l’ensemble de Pareto et du front de Pareto. Cas d’une minimisation des critères pour une optimisation bi objectif.

La Fig. 4.1 illustre de manière simplifiée ces notions de solution dominée, d’ensemble de Pareto et de front de Pareto. La résolution d’un problème multiobjectif consiste à trouver l’ensemble Pareto optimal. Néanmoins, suivant la difficulté des problèmes à résoudre, il est commun de se contenter d’une approximation de cet ensemble, de cardinalité plus petite et dont la qualité en termes d’approximation du front de Pareto, c’est-à-dire de proximité de l’image des solutions trouvées au front de Pareto, et en termes de diversité, c’est-à-dire la répartition des images des solutions trouvées sur le front de Pareto, sont définies par le décideur. Il existe plusieurs indicateurs permettant de mesurer la qualité d’un approximation. Ces indicateurs peuvent soit caractériser la performance d’un front, soit comparer deux fronts entre eux. Un des indicateurs les plus utilisé pour caractériser un front et l’hypervolume [115], noté IH qui représente le volume dans l’espace objectif couvert par le front de pareto,

par rapport à un point de référence. Dans le cas où les critères sont minimisés, ce point de référence peut être choisi à l’origine du repère. Dans ce cas-là, l’hypervolume est défini comme le volume formé par la réunion de tous les parallélépipèdes formés par la projection des points

CHAPITRE 4. ÉTAT DE L’ART - PRINCIPES DE L’OPTIMISATION

du front sur les axes. Dans le cas d’une recherche bi critère, ces parallélépipèdes sont en fait des rectangles, dont les diagonales sont formées par les points du front et le point origine. Toujours dans le cas de la minimisation des critères, plus cet indicateur est petit, meilleur sera le front. Pour comparer deux fronts entre eux ensuite, il est possible dans un premier temps d’étendre la relation de domination définie pour les solutions, et on défini ainsi plusieurs niveaux de domination. Considérons deux front A et B par exemple. On dit que A domine strictement B (A ≺≺ B) si toute solution de B est dominée strictement par au moins une solution de A, que A domine B (A ≺ B) si toute solution de B est dominée par au moins une solution de A, et que A domine faiblement B (A  B) si toute solution de B est dominée faiblement par au moins une solution de A. Finalement, si aucun des fronts ne domine faiblement l’autre, ils sont de qualité comparables (A k B). On note que (A ≺≺ B) ⇒ (A ≺ B) ⇒ (A  B). Il est également possible de définir des indicateurs qui caractérisent la qualité d’un front par rapport à un autre. Par exemple, on définit un indicateur basé sur l’hypervolume [114] noté IHD par la différence de volume couvert par les fronts :

IHD(A, B) = (

IH(B) − IH(A) si A  B

IH(A ∪ B) − IH(A) sinon

Plus IHD(A, B) est grand, plus le front A est performant par rapport au front B, et plus

IHD(B, A) sera faible. Un autre indicateur possible [116], noté I+ caractérise la distance

minimale dont un front doit être translaté dans chacune des directions pour qu’il domine faiblement le front auquel il est comparé. Il s’exprime formellement en dimension d par :

I_+(A, B) = min

n

 | ∀x0 ∈ B ∃x ∈ A: ∀k ∈ {1, .., d} f_k(x) −  ≤ f_k(x0)o

On note que si A  B, I+(A, B) est négatif, et qu’il est d’autant plus grand en valeur

absolue que A est meilleur que B, mais il devient positif si A  B. Les propriétés de ces deux indicateurs (IHD et I+) font qu’il sont compatibles avec la relation de domination [114].