Module d´etecteur (Detecteur ) : phasem`etre

Dans les parties pr´ec´edentes, le module mod´elisant les ondes gravitationnelles ainsi que les modules mod´elisant les bruits, les orbites et les USOs ont ´et´e d´ecrits. Tous ces modules d´ecrivent des ´el´ements qui interviennent dans les signaux de mesures que fournit le d´etecteur LISA par l’interm´ediaire du phasem`etre. Dans cette partie, on d´ecrira uni- quement la simulation de la r´eponse du phasem`etre (PhoDetPhaMet). En effet, le module

LISA est essentiellement pr´esent pour g´erer les diff´erents modules de LISA et le module

TrFctGW ne fait que calculer la r´eponse de chaque bras aux ondes gravitationnelles par

l’expression (1.155). Leurs descriptions ne pr´esentent d’int´erˆet que pour de futur d´evelop- peur.

Le rˆole principal du module phasem`etre (PhoDetPhaMet) est de construire un signal de mesure `a partir des diff´erents ´el´ements du d´etecteur que sont les bruits, les r´eponses des bras aux ondes gravitationnelles, les orbites des satellites et les horloges ultra-stables. Il effectue alors le passage entre le domaine des processus continus fonctionnant au pas de temps physique et le domaine des mesures ´echantillonn´ees au pas de temps de mesure qui comprend l’application de TDI.

Le signal d’un phasem`etre est construit en combinant les diff´erents ´el´ements contri- buant `a la r´eponse de l’interf´erom´etrie entre les lasers. Ce signal est une mesure de phase effectu´ee `a partir du signal de battement h´et´erodyne de la photodiode. Celle-ci mesure l’interf´erence entre deux faisceaux laser qui ont circul´es entre les diff´erents ´el´ements du d´etecteur par l’interm´ediaire des bancs optiques. Chacun de ces ´el´ements a ajout´e du bruit sur les faisceaux et par cons´equent du bruit sur le signal. Les bruits PhoDetPhaMet sont combin´es selon les formulations donn´ees dans la sous-section 2.4.2. Selon le phase- m`etre qu’elle repr´esente, elle applique la formulation (2.40), (2.41), (2.42) ou (2.43). La valeur de chacun des bruits est obtenue, soit pour le temps donn´e par l’horloge du satellite

x(tU SO), soit pour ce mˆeme temps retard´e Dix(tU SO) = x(tU SO− Li/c), par la fonction

de renvoie de valeur pour un temps quelconque que poss`ede chaque bruit point´e par la liste des bruits (cf. sous-section 3.3.2.1). Pour les phasem`etres externe-interne s, la valeur

du signal gravitationnel s OG

1 correspond `a la somme entre la r´eponse du bras aux ondes,

renvoy´ee par le module TrFctGW, et la r´eponse du bras `a d’´eventuels fonds gravitationnels (cf. sous-section 3.3.3).

Le signal qui a ´et´e d´ecrit est le signal que devrait mesurer le phasem`etre dans le cas d’une mesure parfaite. Mais, comme on l’a vu dans la sous-section 2.4.3, c’est un appareil complexe dont la mesure ne peut ˆetre parfaite notamment parce qu’il doit fournir un signal ´echantillonn´e au pas de temps de mesure `a partir du signal continu de la photodiode. Cette

imperfection se mod´elise au niveau de LISACode par une fonction de transfert associ´ee au phasem`etre. Du fait qu’il est actuellement en cours de d´eveloppement, sa fonction de transfert r´eelle n’est pas connue. Pour le moment, celle utilis´ee dans LISACode est tr`es simple mais influe tout de mˆeme sur le signal.

Dans LISACode, tous les processus physiques sont mod´elis´es avec un pas de temps physique qui est inf´erieur au pas de temps de mesure en sortie des phasem`etres. La fonction de transfert du phasem`etre doit donc sous-´echantillonner le signal physique pour obtenir le signal de mesure. Le pas de temps physique est choisi comme un sous-multiple entier du pas de temps de mesure. Ainsi on pr´el`eve une valeur tous les pas de temps de mesure sur les signaux physiques, pour obtenir les signaux de mesure. Mais avec un tel sous- ´echantillonnage, les hautes fr´equences sont repli´ees dans les basses fr´equences et perturbent compl`etement le signal de mesure ; c’est le probl`eme bien connu de l’aliasing, ou repliement de spectre. Pour ´eviter ce probl`eme, il est n´ecessaire de filtrer avec une coupure franche, les signaux physiques avant le sous-´echantillonnage pour ´eliminer les fr´equences sup´erieures `a la moiti´e de la fr´equence de mesure, d’apr`es le th´eor`eme de Nyquist-Shannon. Ce filtre passe-bas est mod´elis´e dans la fonction de transfert du phasem`etre de LISACode par un filtre passe-bas elliptique. Les coefficients de ce filtre num´erique d´ependent de 5 param`etres

qui sont : le pas de temps physique ∆tphysique, la fr´equence de coupure haute fc,h (∼

0.1×∆tmesure), la fr´equence de coupure basse fc,b(∼ 0.3×∆tmesure), l’oscillation en bande

passante PdB (∼ 0.1 dB) et l’att´enuation AdB (∼ 180 dB). Mais les pas de temps ´etant

d´efinis par la configuration de la simulation, les coefficients du filtre doivent ˆetre calcul´es dans LISACode (cf. p. 264 [66]). Pour des filtres avec une coupure aussi brutale, il reste g´en´eralement une oscillation r´esiduelle en bande att´enu´ee, apr`es la fr´equence de coupure. C’est pourquoi les param`etres du filtre utilis´e ont ´et´e choisis de mani`ere `a couper un peu avant la fr´equence de Nyquist, de mani`ere `a garantir une ´elimination suffisante des hautes fr´equences. Ainsi on ´evite tout risque de repliement de spectre qui risquerait de perturber l’application de TDI. La figure 3.3 donne la forme du filtre elliptique du phasem`etre en illustrant la signification des param`etres dont il d´epend. Elle donne ´egalement le r´esultat de son application sur un bruit blanc avant et apr`es le sous-´echantillonnage au pas de temps de mesure. On constate que le repliement de spectre est tr`es faible, il provoque juste une tr`es l´eg`ere remont´ee en bande att´enu´ee. Il faut bien voir que ce filtre n’est pas une n´ecessit´e impos´ee par la mod´elisation num´erique mais qu’il existera dans le phasem`etre de LISA, le probl`eme d’aliasing ´etant le mˆeme. Ce filtre est une sp´ecificit´e importante de LISACode qui lui permet de fournir des donn´ees r´ealistes.

Chaque mesure du phasem`etre est faite `a un temps donn´e par l’horloge du satellite (USO). Si l’USO est bruit´e, son temps est d´ecal´e par rapport au temps courant. L’envoi des mesures vers la m´emoire du satellite, puis vers la Terre, ´etant rep´er´e par le temps courant, l’erreur des USO est prise en compte dans les mesures et influe sur l’efficacit´e de TDI, comme lors de la mission. Mais cette erreur est consid´er´ee uniquement comme un d´ecalage temporel et non comme une impr´ecision dans la mesure du phasem`etre, puisque la relation entre le bruit de l’USO et la mesure de phase n’est pas encore connue. Pour l’instant, l’impr´ecision due `a ce bruit de l’USO est juste ajout´ee comme un bruit dans les bruits de chemin optique (cf. eq. (2.32) sous-section 2.3.4) sans tenir compte de la mod´elisation de l’USO. N´eanmoins, lorsque les d´eveloppements du phasem`etre auront suffisament progress´e pour que la relation entre le bruit de l’USO et l’erreur du phasem`etre

1e-10 1e-08 1e-06 0.0001 0.01 1 0.01 0.1 1 DSP 1/2 (Hz -1/2 ) Frequence (Hz) fc, h fc, b Attenuation AdB Oscillation PdB

LISACode avant sous-echantillonnage (0.2s) LISACode apres sous-echantillonnage (1s) Theorique

Fig. 3.3: R´eponses spectrales du filtre elliptique utilis´e dans la fonction de transfert du

phasem`etre pour permettre un sous-´echantillonnage `a ∆tmesure = 1s `a partir de donn´ees `a

∆tphysique = 0.2s. Ses param`etres, illustr´es sur la figure, sont : fr´equence de coupure haute

fc,h = 0.1 Hz , fr´equence de coupure basse fc,b = 0.3 Hz, oscillation en bande passante

PdB = 0.1 dB et att´enuation AdB = 180 dB. La r´eponse th´eorique pr´esentant les oscillations

caract´eristiques d’un filtre elliptique est repr´esent´ee en trait plein rouge. La DSP d’un bruit blanc ´echantillonn´e `a ∆tphysique filtr´e est en tirets verts et suit la r´eponse th´eorique. La DSP du

mˆeme bruit filtr´e apr`es sous-´echantillonnage est en pointill´es bleus.

soit connue, il sera tr`es facile de l’inclure dans LISACode.

Le module phasem`etre mod´elise donc `a la fois la circulation dans les bancs optiques des deux faisceaux qui interf´erent, la photodiode et le phasem`etre, c’est-`a-dire l’ensemble du syst`eme de mesures de LISA. C’est pourquoi cet ´el´ement est central dans LISACode.