2.5 Time Delay Interferometry (TDI)
2.5.6 R´eponse de TDI au signal gravitationnel
Dans l’analyse pr´ec´edente, on a vu comment la m´ethode TDI combine les signaux de mesure pour former de nouveaux signaux dans lesquels le bruit laser est ´elimin´e. L’in- formation scientifique que l’on souhaite extraire de ces nouveaux flux de donn´ees est le signal gravitationnel. Ce signal avait ´et´e pos´e nul par l’approximation 2.46 pour mettre
en place la m´ethode TDI13. On va maintenant ´eliminer cette approximation 2.46 afin
d’´etudier comment le signal gravitationnel apparaˆıt dans les flux de donn´ees obtenus par les g´en´erateurs TDI.
Le signal gravitationnel n’intervient que dans les mesures externe-interne si et s′i
respectivement par les termes s OG
i et s′ OGi (cf. ´equations (2.40) et (2.42)). Il n’y a
donc aucune modification induite par le calcul des flux interm´ediaires ηi et η′i (cf. sous-
section 2.5.4) qui d´ependent des s OG
i et s′ OGi de la mˆeme mani`ere que les si et s′i. La
composante gravitationnelle du signal obtenue `a partir d’un g´en´erateur TDI correspond
simplement `a l’application des coefficients qi et q′i du g´en´erateur sur les signaux gravita-
tionnels sOG
i et s′ OGi , soit :
T DI OG= q1s1OG+ q2s2OG+ q3s3OG+ q′1s′ OG1 + q′2s′ OG2 + q′3s′ OG3 (2.86)
Par exemple pour le g´en´erateur TDI Michelson X1st, la contribution gravitationnelle X1stOG
est tout simplement :
X1stOG= −s1OG−D3s′ OG2 −D32s′ OG1 −D32D2s3OG+ s′ OG1 + D2s3OG+ D22s1OG+ D22D3 s′ OG2
(2.87)
Les signaux gravitationnels sOG
i et s′ OGi correspondent `a la somme des variations
relatives de fr´equence induites par les ondes gravitationnelles sur le faisceau externe (cf. sous-section 1.6.2.7). La variation induite sur un bras par les ondes gravitationnelles est
s OG
bras(t) d´efinie par l’´equation (1.155). Le signal siOG(t) correspond alors au signal sbrasOG(t)
sur le bras i+2 et s′ OG
i (t) `a celui sur le bras i+1. Ces signaux d´ependent donc des ondes
gravitationnelles, soit de 5 param`etres pour chaque onde : 3 angles de localisation qui sont
la polarisation ψj et la position de la source (βj, λj), et 2 ´evolutions temporelles hS+,j(t)
et hS×,j(t) des composantes de polarisation (l’indice j r´ef´erence l’onde consid´er´ee). Ils
d´ependent ´egalement du moment de l’ann´ee consid´er´e puisque la position du bras varie avec une p´eriode d’un an. En fait c’est l’angle entre la direction du bras et celle de la source qui intervient. Autrement dit LISA voit la source sous diff´erentes orientations au cours d’une ann´ee. Cet effet est notamment `a la base de la localisation des sources dans la m´ethode d’analyse expos´ee dans cette th`ese au chapitre 4.
Pour caract´eriser et comparer les r´eponses de chaque g´en´erateur TDI aux ondes gra- vitationnelles, il faut consid´erer la r´eponse de LISA `a une onde tr`es g´en´erale non localis´ee. Typiquement, on consid`ere la racine de la moyenne du carr´ee de r´eponse `a chaque pola- risation, autrement dit la r´eponse RMS (Root Mean Square). L’onde qui est couramment utilis´ee pour cette caract´erisation n’a aucune r´ealit´e physique. Elle est distribu´ee de ma- ni`ere isotrope sur l’ensemble du ciel. Ainsi, la puissance de la r´eponse gravitationnelle est ind´ependante de l’orientation de LISA par rapport `a la source. La position de LISA peut donc ˆetre fix´ee. La distribution spectrale de l’onde est plate, c’est-`a-dire que l’amplitude
des composantes h+ et h× est la mˆeme pour toutes les fr´equences. Cette amplitude est
fix´ee `a 1 pour les deux composantes : h+= h× = 1. Son angle de polarisation est al´eatoire,
ce qui permet d’´eliminer les termes crois´es entre h+ et h× dans le calcul de la r´eponse
gravitationnelle RMS.
Ce calcul de la r´eponse gravitationnelle RMS est semi-analytique, car il fait intervenir une int´egration num´erique sur l’ensemble des directions du ciel. Il est utilis´e dans de nom- breux articles concernant TDI et est notamment pr´esent´e dans l’article de Dhurandhar, Nayak et Vinet [34] ainsi que dans le LISA Whitepaper de Tinto, Estabrook et Armstrong, rapport technique du projet LISA sur TDI [75]. Les r´eponses ici pr´esent´ees sont obtenues `a partir d’un programme de Jean-Yves Vinet qui effectue l’int´egration num´erique.
Avant de consid´erer la r´eponse aux g´en´erateurs TDI, on s’int´eresse `a la r´eponse d’un phasem`etre `a l’onde gravitationnelle pr´ec´edemment d´ecrite. Cette r´eponse correspond `a la courbe de la figure 2.13. On constate que pour des fr´equences inf´erieures `a 3 mHz, la r´eponse RMS est proportionnelle `a la fr´equence. La limite sup´erieure de ce domaine
basses fr´equences se situe aux environs de la fr´equence caract´eristique d’un bras fLd´efinie
par :
fL =
c
L (2.88)
En effet, pour ces basses fr´equences, l’´evolution de l’onde sur le temps de parcours d’un bras est faible. Le premier terme du d´eveloppement de Taylor du num´erateur de la for-
mulation du signal (1.153) est alors la d´eriv´ee premi`ere de l’onde gravitationnelle ˙h d’o`u
la r´eponse proportionnelle `a f . A haute fr´equence, la r´eponse est ´equivalente `a la moiti´e de l’amplitude de l’onde.
0.0001 0.001 0.01 0.1 1 10 0.0001 0.001 0.01 0.1 1
Reponse RMS aux ondes gravitationnelles
Frequence (Hz) Michelson X
Phasemetre
Fig. 2.13: R´eponse gravitationnelle RMS du signal du phasem`etre sOG1 `a une onde d’ampli-
tude 1. A titre comparatif, la r´eponse du g´en´erateur TDI Michelson X, qui sera reprise sur la figure 2.14, est repr´esent´e en tirets verts.
TDI d´ecrits pr´ec´edemment (cf. sous-section 2.5.2). De fa¸con g´en´erale, on constate que la r´eponse croit r´eguli`erement avec la fr´equence `a basse fr´equence et oscille en pr´esentant des minima `a haute fr´equence.
Par une ´etude quantitative, on va maintenant expliquer les diff´erents effets visibles sur les courbes de r´eponse.
On constate que, pour les fr´equences inf´erieures `a 10 mHz, la r´eponse ´evolue comme le carr´e de la fr´equence pour tous les g´en´erateurs ´etudi´es sauf pour ζ, qui r´epond tr`es peu `a basse fr´equence. L’´evolution proportionnelle au carr´e de la fr´equence vient du fait que ces g´en´erateurs agissent `a basse fr´equence comme une d´eriv´ee sur le signal des pha- sem`etres. Ils agissent donc comme une d´eriv´ee seconde sur l’onde gravitationnelle. ζ, qui
n’est compos´e que de termes en Diss tous ´equivalents, ne r´epond pas `a basse fr´equence.
Cette particularit´e du g´en´erateur ζ peut ˆetre int´eressante, par exemple si on veut ´etudier des sources `a haute fr´equence sans ˆetre gˆen´e par des sources basse fr´equence.
L’autre particularit´e commune `a tous les g´en´erateurs est le fait qu’`a hautes fr´equences il y a des oscillations dans la r´eponse. Pour certaines fr´equences tr`es pr´ecises, la r´eponse est mˆeme compl`etement nulle. Ces fr´equences sont des multiples de la fr´equence d’un
bras fL ou de la demi fr´equence d’un bras fL/2. En effet pour ces fr´equences, l’onde
gravitationnelle d´eplace les deux satellites de chaque bras simultan´ement, de telle sorte qu’il n’y a pas de signal. Ce ph´enom`ene apparaˆıt aussi sur la r´eponse aux bruits que l’on
0.0001 0.001 0.01 0.1 1 10 0.0001 0.001 0.01 0.1 1
Reponse RMS aux ondes gravitationnelles
Frequence (Hz) X α ζ P et E U Michelson X Sagnac α Sagnac symetrique ζ Beacon P et Monitor E Relay U
Fig. 2.14: R´eponse gravitationnelle RMS pour les g´en´erateurs TDI Michelson X en trait
plein rouge, Sagnac α en pointill´es roses, ζ en points-tirets bleus clairs, Beacon P et Monitor E en tirets bleus, et Relay U en tirets serr´es verts. Ces courbes ont ´et´e obtenues `a partir du programme de J-Y Vinet qui effectue le calcul semi-analytique.