Courbe de sensibilit´e avec LISACode et validation du simulateur

mulateur

La courbe de sensibilit´e qui a ´et´e d´ecrite dans la sous-section 2.5.8 est couramment utilis´ee car elle donne une repr´esentation moyenne de l’efficacit´e de LISA. Cette courbe d´epend non seulement de la configuration de l’instrument mais aussi du g´en´erateur TDI

appliqu´e. Elle sera donc souvent utilis´ee par la suite pour illustrer les r´esultats technolo- giques obtenus avec LISACode.

Cette courbe de sensibilit´e est obtenue, pour une configuration simplifi´ee de LISA, par un calcul analytique consid´erant une onde gravitationnelle non physique qui couvre `a la fois toutes les positions et toutes les fr´equences. Pour ´etablir cette courbe dans des configurations plus r´ealistes, il est n´ecessaire d’utiliser un simulateur tel que LISACode. Pour ´etablir une courbe de sensibilit´e avec LISACode, une proc´edure sp´ecifique a ´et´e mise en place. Cette proc´edure permettra de v´erifier les r´esultats de LISACode et ainsi de valider ce simulateur.

3.4.2.1 Proc´edure de calcul de courbe de sensibilit´e avec LISACode

La sensibilit´e h se calcule par l’´equation (2.109) `a partir de la r´eponse aux bruits et de la r´eponse aux ondes gravitationnelles. Ces r´eponses sont obtenues par diff´erentes simulations qui ont pour base commune un temps de simulation d’une semaine, un pas de temps physique de 0.5 seconde, un pas de temps de mesure de 1 seconde. Deux calculs distints sont r´ealis´es, l’un concernant uniquement les bruits instrumentaux, l’autre uniquement la r´eponse aux ondes gravitationnelles.

La r´eponse aux bruits correspond `a la moyenne des DSP des signaux TDI issus d’un grand nombre de simulations identiques prenant seulement en compte les bruits du cas `a ´etudier. En effet, ces signaux ´etant soumis `a des fluctuations statistiques, il est n´eces- saire de moyenner les r´esultats de simulations avec des configurations identiques mais des r´ealisations de bruits diff´erentes en modifiant la racine du tirage al´eatoire.

La r´eponse aux ondes gravitationnelles est plus complexe car elle prend en compte `a la fois toutes les fr´equences et toutes les directions. Les fr´equences `a ´etudier sont trait´ees ind´ependamment les unes des autres. Pour chaque fr´equence, la r´eponse gravitationnelle est obtenue par la moyenne des puissances totales de signaux TDI issus de plusieurs simu- lations n’incluant chacune qu’une onde gravitationnelle monochromatique `a la fr´equence consid´er´ee. Cet ensemble d’ondes a pour objectif de d´ecrire toutes les directions du ciel et toutes les polarisations, mais l’utilisation d’un trop grand nombre d’ondes entraˆınerait un temps de calcul prohibitif. On utilise donc les r´esultats d’une ´etude empirique per- mettant de d´egager 22 positions associ´ees `a des facteurs de pond´eration qui repr´esentent relativement bien toutes les directions du ciel. Ces positions, donn´ees dans le tableau 3.4, sont ´etablies en consid´erant que, sur une semaine, la position de LISA a tr`es peu vari´ee. On distribue alors isotropiquement les sources autour du triangle de LISA. Pour cela, on d´efinit un r´ef´erentiel LISA dont l’origine est au centre du triangle, l’axe x est dans la direction du satellite 1, l’axe z est la normale au triangle et l’axe y du cot´e du satellite 2.

Les angles θLISA et φLISA sont les coordonn´ees sph´eriques d’une direction dans ce rep`ere.

La distribution isotropique est ´etablie en r´epartissant les angles θLISA entre 0 et 90◦ puis

l’angle φLISAentre 0 et 4×360◦. Le facteur de pond´eration de chaque direction correspond

`a l’int´egrale sur la couronne de colatitude θLISA10. Ces directions sont ensuite exprim´ees

dans le r´ef´erentiel ´ecliptique11_{. La prise en compte de l’ensemble des polarisations est faite}

10_{L’int´egrale sur la couronne correspond `a ∆θ}

LISAsin θLISA avec ∆θLISA= 90◦/22

en consid´erant deux ondes pour chaque direction du ciel, une polaris´ee + et l’autre × 12_.

Dans le calcul de la r´eponse gravitationnelle par la moyenne sur les simulations des 44 sources, la puissance totale du signal TDI est pond´er´ee du poids associ´e `a la direction. Il faut une simulation par onde pour ´eviter que les ondes interf´erent.

θLISA φLISA β λ poids

2,045455 65,454544 29,133143 _{182,130125 2, 548427 × 10}−3 6,136364 130,909088 33,900900 _{185,585559 7, 632294 × 10}−3 10,227273 196,363647 39,761446 _{176,268954 1, 267727 × 10}−2 14,318182 261,818176 30,994031 _{163,407587 1, 765764 × 10}−2 18,409091 327,272736 14,142722 _{169,859022 2, 254804 × 10}−2 22,500000 32,727295 10,552535 _{192,148943 2, 732353 × 10}−2 26,590909 98,181824 30,151006 _{210,822780 3, 195979 × 10}−2 30,681818 163,636353 58,650929 _{196,041162 3, 643320 × 10}−2 34,772727 229,090942 47,235862 _{140,594457 4, 072094 × 10}−2 38,863636 294,545471 9,414893 _{144,650733 4, 480118 × 10}−2 42,954545 0,000000 _{-12,954545 180,000000 4, 865313 × 10}−2 47,045455 65,454590 4,439310 _{221,894281 5, 225715 × 10}−2 51,136364 130,909119 49,053569 _{243,886607 5, 559488 × 10}−2 55,227273 196,363647 75,401781 _{113,336434 5, 864931 × 10}−2 59,318182 261,818237 21,169583 _{114,095711 6, 140487 × 10}−2 63,409091 327,272705 -25,320183 147,667238 6, 384753 × 10−2 67,500000 32,727295 _{-28,799610 214,749479 6, 596484 × 10}−2 71,590909 98,181885 15,952592 _{257,630007 6, 774601 × 10}−2 75,681818 163,636353 68,246527 _{312,560318 6, 918196 × 10}−2 79,772727 229,090942 40,307628 70,237508 _{7, 026538 × 10}−2 83,863636 294,545532 -17,713176 108,299072 7, 099073 × 10−2 87,954545 0,000000 _{-57,954545 180,000000 7, 135434 × 10}−2

Tab. 3.4: Tableau des positions des 22 sources utilis´ees pour reproduire une onde gravitation-

nelle isotropiquement distribu´ee.

Cette proc´edure n´ecessite, pour chaque courbe de sensibilit´e, un grand nombre de simulations : 44 simulations fois le nombre de fr´equences `a ´etudier pour la r´eponse gra- vitationnelle, plus 1000 simulations pour la r´eponse aux bruits, soit un total d’environ 10000 simulations pour l’´etude de 200 fr´equences, comme c’est couramment le cas. Ces calculs ont ´et´e r´ealis´es au CCIN2P3 `a Lyon, le centre de calcul de l’IN2P3.

En fait, nous avons aussi utilis´e aussi une autre m´ethode en utilisant des ondes gra-

vitationnelles mod´elis´ees comme un bruit blanc pour chaque composante h+ ou h× (type

GWSto) au lieu d’une onde monochromatique pour chaque fr´equence et en les r´epartissant

sur l’ensemble du ciel.

12 _{Pour chaque direction, on effectue une simulation avec une onde d’amplitude h}

S,+ = 1 et hS,×= 0

3.4.2.2 Validation de LISACode

Une ´etape pr´eliminaire avant l’utilisation de cette proc´edure sur des cas r´ealistes, est la reproduction de la courbe de sensibilit´e standard pour la configuration simplifi´ee du calcul analytique (cf. sous-section 2.5.8), de fa¸con `a v´erifier le fonctionnement de LISACode. Cette configuration consid`ere une formation de LISA fixe, sans flexing ni effet Sagnac, une connaissance parfaite des retards dans l’application de TDI, aucun bruit laser puisque son ´elimination est suppos´ee parfaite et donc l’utilisation de TDI premi`ere g´en´eration. Les simulations pour ´etablir la sensibilit´e avec LISACode utilisent cette configuration `a la seule diff´erence que le bruit laser est inclu, ce qui permet de prendre en compte un ´eventuel bruit r´esiduel. Sur la figure 3.6, on observe que les r´esultats de LISACode sont parfaitement en accord avec ceux du calcul analytique. Ce r´esultat valide le simulateur LISACode. 1e-23 1e-22 1e-21 1e-20 0.0001 0.001 0.01 0.1 Sensibilite Frequence (Hz) Semi-Analytique LISACode

Fig. 3.6: Comparaison entre la courbe de sensibilit´e classique du calcul semi-analytique pour

le g´en´erateur TDI de premi`ere g´en´eration, X1st, (ligne rouge) et celle obtenue avec LISACode

pour la mˆeme configuration (carr´es bleus). La courbe semi-analytique est la mˆeme que celle de la figure 2.17. Les points divergents ne sont pas significatifs puisqu’il n’y a pas de d´etection pour ces valeurs comme on l’explique dans le texte.

Si on regarde attentivement la sensibilit´e donn´ee par LISACode sur la figure 3.6, on constate qu’il y a trois points divergents pour les fr´equences `a 30, 60 et 90 millihertz.

Ces fr´equences, qui sont des multiples de la fr´equence d’un bras fL/2, correspondent aux

minima des r´eponses aux ondes gravitationnelles et aux bruits dont il est question dans les sous-sections 2.5.6 et 2.5.7. La sensibilit´e `a ces fr´equences r´esulte d’un rapport entre deux valeurs nulles qui est math´ematiquement d´efini mais pas num´eriquement, ce qui explique les divergences. Ces valeurs de sensibilit´e n’ont de toutes fa¸cons aucun int´erˆet physique, puisqu’il n’y aucune d´etection pour ces fr´equences.