Module bruit (Bruits)

Le but ici ´etant, non pas de d´ecrire explicitement chaque partie de l’instrument LISA, mais de remplacer chaque bruit instrumental par sa fonction de r´eponse, la g´en´eration des bruits est d’une grande importance. Le choix ici s’est port´e sur la r´ealisation d’un module susceptible de g´en´erer diff´erents types de bruits pouvant ˆetre utilis´es pour simuler le fonctionnement d’une ou des parties du d´etecteur. Signalons, en outre, comme nous venons de le voir, que certaines ondes gravitationnelles peuvent ˆetre uniquement d´ecrites par leur Densit´e Spectrale de Puissance (DSP).

aux particularit´es impos´ees par LISA, puis en pr´esentant les m´ethodes utilis´ees pour mod´eliser les diff´erents types de bruits.

3.3.2.1 Aspect g´en´eral d’un bruit dans LISA (Noise)

Vu les distances mises en jeu dans LISA, les mˆemes bruits interviennent `a des instants tr`es diff´erents. En effet, comme on l’a vu dans la sous-section 2.4.2 sur la formulation des signaux, une partie d’un faisceau laser est d´etect´ee quasi instantan´ement par des photodiodes du satellite contenant le laser et l’autre partie de ce mˆeme faisceau est envoy´ee vers un autre satellite et est d´etect´ee par une photodiode de celui-ci, 16 `a 17 secondes apr`es l’´emission et la d´etection dans le satellite ´emetteur. Les bruits transport´es par ce faisceau, et notamment le bruit laser, interviendront donc sur les signaux de mesures des deux satellites `a deux instants d´ecal´es du temps de parcours du faisceau le long du bras. Une mod´elisation pr´ecise et r´ealiste de cet effet est n´ecessaire pour que la m´ethode TDI puisse r´eduire le bruit laser dans des conditions aussi proches que possible de celles de la future mission, pour que l’efficacit´e des diff´erents g´en´erateurs TDI puisse ˆetre valid´ee. Cette mod´elisation est effectu´ee au niveau de la construction des signaux par le phasem`etre et sera d´etaill´ee dans la sous-section 3.3.6. La cons´equence sur les bruits de cet effet de non-instantan´eit´e est le fait qu’ils peuvent ˆetre interrog´es `a diff´erents instants et non pas uniquement au moment de leur g´en´eration. Pour r´epondre `a cette exigence, chaque bruit est mis en m´emoire sur une certaine p´eriode. L’utilisation de cette m´emoire se d´ecompose en deux fonctions qui sont d’une part la g´en´eration et le stockage du bruit et d’autre part le renvoie de la valeur du bruit pour un temps compris entre t − L/c et t o`u t est le temps courant et L/c la dur´ee de propagation le long d’un bras.

Les derni`eres valeurs de bruit g´en´er´ees sont stock´ees dans un tableau. Ce tableau de taille fixe est glissant, c’est-`a-dire qu’`a chaque pas de temps physique, les valeurs sont d´ecal´ees d’une case, la derni`ere valeur est ´elimin´ee et le bruit nouvellement g´en´er´e est stock´e comme premi`ere valeur. Ainsi la premi`ere valeur du tableau correspond toujours

au temps courant t et la derni`ere au temps t − TM em. Bruit o`u TM em. Bruit est la dur´ee sur

laquelle le bruit est m´emoris´e.

En outre, il est n´ecessaire de connaˆıtre la valeur du bruit pour un temps compris entre

t − TM em. Bruit et t, ou plus exactement pour un retard par rapport au temps courant TL

compris entre 0 et TM em. Bruit. Le probl`eme est que ce retard TL n’a aucune raison d’ˆetre

un multiple du pas de temps physique. La valeur de bruit est alors interpol´ee `a partir des valeurs m´emoris´ees au temps physique. Typiquement, l’interpolation utilis´ee est une

interpolation de Lagrange d’ordre 7 et la dur´ee de m´emorisation TM em. Bruit est d’environ

20 secondes, ce qui permet d’interpoler pour des valeurs de retards entre 16 `a 17 secondes. Cette interpolation est une limite au r´ealisme de la simulation qui est impos´ee par les contraintes d’une mod´elisation num´erique.

3.3.2.2 Diff´erents types de bruit

Nous d´ecrirons ici, les diff´erents types de bruits qui sont impl`ement´es. Le plus simple est NoiseWhite, un bruit blanc d´efini par le niveau de la densit´e spectrale de puissance

(DSP)7_{. Ce bruit blanc est cr´e´e par un tirage dans une fonction gaussienne dont l’´ecart-} type est : σ = s P SD 2 ∆tphysique (3.3) Remarquons tout de suite que le bruit laser est actuellement consid´er´e comme un bruit blanc.

Les autres bruits sont g´en´er´es `a partir d’une description plus ou moins ´elabor´ee de leur DSP. Elles sont bas´ees sur le filtrage d’un bruit blanc et utilisent un ou plusieurs filtres selon la DSP :

– NoiseFilter mod´elise un bruit directement d´efini par les coefficients du filtre. Il est typiquement utilis´e pour d´ecrire des bruits dont la racine carr´ee de la DSP est proportionnelle `a une puissance enti`ere de la fr´equence, comme par exemple les bruits standards de masses inertielles (2.21) et de chemin optique (2.31) et (2.38).

√

DSP = A fα (3.4)

– NoiseTwoFilter mod´elise un bruit g´en´er´e avec deux bruits blancs qui sont ensuite filtr´es par deux filtres avant sommation. Elle permet typiquement de d´ecrire des bruits dont la racine carr´ee de la DSP est une somme de deux puissances enti`eres de la fr´equence comme par exemple les bruits de masse inertielle raffin´es (2.23) et (2.25) :

√

DSP = A fα+ B fβ (3.5)

– NoiseFShape mod´elise un bruit dont la racine carr´ee de la DSP est une somme de puissances enti`eres de la fr´equence, soit :

√ DSP = M X i=1 A_−if−i₊ N X j=0 Ajfj = A−Mf−M+...+A−1f−1+A0+A1f1+...+A−Nf−N (3.6) Ce bruit est g´en´er´e `a partir d’un bruit blanc qui est filtr´e simultan´ement par autant de filtres qu’il y a de puissances de la fr´equence dans la DSP, puis les r´esultats de tous ces filtrages sont somm´es. Il peut servir `a la mod´elisation de bruits du type (2.23) et (2.25) ou mˆeme de formulation de bruit encore plus complexes.

– NoiseOof mod´elise un bruit dont la racine carr´ee de la DSP est une puissance non enti`ere de la fr´equence. Ce bruit est g´en´er´e `a partir d’un bruit blanc filtr´e par un filtre dont les coefficients sont calcul´es en fonction de la valeur de la puissance de la fr´equence. Cette technique de g´en´eration de bruit est pr´esent´ee dans l’article de S. Plaszczynski [64]. Il est particuli`erement adapt´e `a la simulation du fond stochastique. Succinctement, dans la partie suivante, nous allons nous attacher `a d´ecrire la m´ethode g´en´erale d’obtention des filtres [13].

La m´ethode consiste `a appliquer un filtre `a r´eponse impulsionnelle infinie d´ecrit par des

coefficients r´ecursifs αi et directs βi. L’application de ce filtre sur des donn´ees temporelles

´echantillonn´ees xn donnent les donn´ees filtr´ees yn par : yn = Nα X k=1 αk yn−k+ Nβ X k=0 βkxn−k (3.7)

Le calcul d’une nouvelle valeur de bruit filtr´e dans le tableau de bruits de la classe m`ere

se fait en utilisant les donn´ees d’entr´ee xn, qui correspondent par exemple aux valeurs

d’un bruit blanc et les valeurs filtr´ees yn d´ej`a calcul´ees au pas pr´ec´edent. Un filtre peut

ˆetre d´ecompos´e en de multiples sous-filtres (ou cellules), chacun d´efini par un jeu de coefficients. Cette d´ecomposition permet de r´ealiser des filtrages `a coupure franche, en ´evitant des probl`emes d’impr´ecision num´erique.

Le calcul des coefficients r´ecursifs αi et des coefficients directs βi d’un filtre en fonc-

tion de la forme de la racine carr´ee de la DSP se fait en utilisant la transformation bilin´eaire. Prenons l’exemple d’un bruit standard de masse inertielle d´efini dans la sous- section 2.3.2.1. La racine carr´ee de la DSP de ce bruit est de la forme suivante :

q

Sδν

ν,M I = A f

−1 _(3.8)

La fonction de transfert s’´ecrit alors :

H(ω) = A

f = 2πA(iω)

−1 _(3.9)

o`u ω est la pulsation. La transformation bilin´eaire est d´efinie comme (cf. partie VII.2.2

[13]) :

s = iω = 2

∆t

1 − Z−1

1 + Z−1 (3.10)

o`u ∆t est le pas de temps et Z la variable complexe de la transformation en Z qui est

l’´equivalent discret en traitement du signal de la transform´ee de Laplace. La fonction de transfert s’´ecrit alors :

H(Z) = π A ∆t 1 + Z−1

1 − Z−1 (3.11)

Si Y repr´esente les donn´ees filtr´ees et X les donn´ees brutes, la transformation s’´ecrit Y = HX, soit :

yn= yn−1+ π A ∆t (xn+ xn−1) (3.12)

Les coefficients αi et βi du filtre, d´efinis par la formulation (3.7), sont donc pour le filtre

qui permet de g´en´erer le bruit de masse inertielle :

α1,M I = 1 et β0,M I = β1,M I = π A ∆t (3.13)

Un calcul similaire permet d’obtenir les coefficients du filtre permettant de g´en´erer un bruit de shot noise d´efini dans la sous-section 2.3.3 et dont la racine carr´ee de la DSP est

de la forme : _q

Sδν

ν,SN = A f (3.14)

Ces coefficients sont alors :

α1,SN = −1 et β0,SN = −β1,SN = A

Comme pour la g´en´eration d’ondes gravitationnelles, LISACode a la capacit´e de lire directement dans un fichier, la suite temporelle d’un bruit exp´erimental (NoiseFile). Les donn´ees sont adapt´ees au pas de temps physique de la simulation par une interpolation. La potentialit´e offerte par cette classe est importante dans le cadre d’une utilisation de LISACode en interaction avec des d´eveloppements exp´erimentaux car elle permet d’utiliser de vraies mesures de bruit dans une simulation. Cela permet, d’une part, d’ajouter au r´ealisme de la simulation, et d’autre part, de tester l’impact de ces bruits dans un mod`ele global de LISA.