Mod´ elisation des interactions

Plusieurs mod`eles sont disponibles dans la litt´erature pour repr´esenter l’influence des inter- actions entre fibres sur l’orientation d’un ensemble de fibres. Le mod`ele le plus largement utilis´e est celui de Folgar et Tucker [167] qui ajoute un terme diffusif isotrope `a l’´equation d’´evolution de l’orientation. Le ph´enom`ene de convection, mod´elis´e par l’´equation d’´evolution pour un terme de diffusion nul, est totalement r´eversible. Par contre, l’ajout d’un terme de diffusion `a l’´equation d’´evolution des fibres induit des perturbations qualifi´ees de bruit par Sepehr et al. [213] autour de la trajectoire de la fibre sur son orbite, entrainant l’irr´eversibilit´e de l’´ecoulement. Le terme d´efini par Folgar et Tucker s’´ecrit :

I = Dr ψ

∂ψ

∂p (5.26)

o`u Dr = CI|D| avec CI un coefficient empirique ajust´e sur des r´esultats exp´erimentaux et |D|

le second invariant du tenseur des d´eformations. ψ repr´esente la fonction de distribution de l’orientation des fibres. La d´eriv´ee de cette fonction par rapport `a une orientation donn´ee dans ce terme implique que plus la distribution des fibres est dispers´ee, plus le terme d’interactions est ´elev´e, et plus les interactions entre fibres perturbent l’alignement avec la direction induite par l’´ecoulement.

Le coefficient empirique CI, repr´esentatif de l’intensit´e du ph´enom`ene de diffusion, est li´e `a

la distance moyenne entre les fibres [130], donc `a l’encombrement des fibres (φf/φf m) dans le

syst`eme [167]. C’est pourquoi les valeurs de ce param`etre sont, dans la litt´erature des fluides Newtoniens, se situent dans la gamme [10−3; 1]. Pour Folgar et Tucker [167], ce param`etre croˆıt avec l’encombrement des fibres car plus celles-ci sont proches les unes des autres, et plus elles perturbent localement les fibres voisines. Ils ajustent ce coefficient sur leurs r´esultats exp´erimentaux et obtiennent des valeurs comprises entre 0,0032 pour un encombrement de φf/φf m = 0, 0083, et 0,0165 pour un encombrement de φf/φf m = 0, 64. Phan-Thien et

al. [214] proposent une relation d’´evolution de ce param`etre avec le facteur de fibres φfr :

CI = 0, 03(1 − exp(−0, 224φfr). Tous ces r´esultats sont donn´es Figure5.12.

Au del`a d’une certaine concentration, Doi et Edwards [168] expliquent que la pr´esence de nombreuses fibres cr´ee un effet de cage pour chacune d’entre elles, limitant ainsi leur degr´e de libert´e et donc leurs rotations. Cette tendance d’un param`etre CI d´ecroissant avec l’encombre-

ment des fibres est confirm´ee par Bay [215] dans le cas de fibres dont la distribution n’est pas uniforme. Il d´eduit de ses r´esultats l’expression CI = 0, 0184 exp(−0, 7148φfr). Phelps et Tucker

[216] ont ´etendu le travail de Folgar et Tucker en consid´erant une expression plus g´en´erale des tenseurs de diffusion. Ils expriment alorso un coefficient d’interactions repr´esentatif des interactions entre fibres quand l’anisotropie est atteinte. Latz et al. [217] proposent une ´etude comparative des termes d’interactions isotrope et anisotrope. Ils concluent que l’effet d’un terme d’interactions anisotrope d´epend de l’´ecoulement. Dans un canal, l’utilisation de ce terme d’une part augmente le degr´e d’orientation dans la direction de l’´ecoulement dans les zones proches des parois, d’autre part induit une orientation perpendiculaire `a l’´ecoulement au centre du canal.

5.6 Orientation des fibres Coefficient d'interactions 0,001 0,01 0,1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8

Encombrement des fibres

Folgar et Tucker Sepehr et al. Phan Thien et al.

fm f

φ

φ

/

Figure 5.12 – Coefficient d’interactions issus de la litt´erature [167],[213],[214].

fibres lors du processus d’orientation. Fan [218] ´evite l’utilisation d’une fonction de distribution dans (7.15) en la rempla¸cant par un terme stochastique d´ependant d’un processus de Wiener. Petrich [165] repr´esente le ph´enom`ene d’interactions pour des r´egimes de fibres concentr´es par un mod`ele d´eriv´e de particules browniennes et inclut un potentiel n´ematique. Le taux de cisaillement dˆu au fluide et qui aligne la fibre devient dans Jeffery la somme du taux de cisiallement du fluide et du taux de cisaillement issu de ce potentiel n´ematique.

Chapitre 6

Comportement des fibres lors de

l’´ecoulement

6.1

Introduction

Nous avons pu constater au cours chapitre pr´ec´edent que la pr´ediction de l’orientation des fibres dans un mat´eriau cimentaire induite par sa mise en œuvre est complexe du fait du nombre de param`etres influen¸cant cette orientation. En effet, les connaissances analytiques dans ce do- maine ne concernent que l’´evolution de fibres rigides dans des fluides Newtoniens en ´ecoulement laminaire. De plus, les r´egimes de fibres ´etudi´es sont limit´es pour r´eduire l’influence des interac- tions entre fibres. Ces connaissances ne permettent pas la pr´ediction de l’orientation des fibres lors de mises en œuvres industrielles impliquant des concentrations de fibres ´elev´ees, un compor- tement rh´eologique non-Newtonien des mat´eriaux, des ´ecoulements complexes et des effets de paroi avec le coffrage. Toutefois, dans la plupart des mises en œuvre industrielles, une approche dimensionnelle peut permettre d’acc´eder `a des pr´edictions qualitatives simples mais suffisantes pour estimer en phase de pr´e-´etude l’influence des fibres sur le mat´eriau `a l’´etat durci.

Dans ce chapitre, nous pr´edisons par une approche dimensionnelle simple l’orientation de fibres dans les mat´eriaux cimentaires lors de mises en œuvre industrielles. Pour cela, les ´ecoulements induits par l’´etape de mise en œuvre sont r´eduits aux deux situations g´en´eriques de d´eformation que sont le cisaillement et l’´elongation. L’´evolution de l’orientation de fibres rigides monodis- perses ajout´ees `a un fluide `a seuil en r´egime dilu´e est consid´er´ee. Les interactions entre fibres sont donc n´eglig´ees. Elles seront trait´ees dans les chapitres suivants.

Dans la premi`ere partie de ce chapitre, les hypoth`eses n´ecessaires `a notre approche dimension- nelle sont approfondies. Puis, une ´etude qualitative nous permet de caract´eriser l’´ecoulement d’un fluide `a seuil en r´egime laminaire. Il devient alors possible de distinguer les zones o`u l’´ecou- lement oriente les fibres de celles o`u l’isotropie initiale est conserv´ee. Nous nous int´eressons alors aux zones en ´ecoulement. Dans une troisi`eme partie, l’´evolution de l’orientation d’une fibre dans un ´ecoulement de r´ef´erence (cisaillement et ´elongation) nous permet de pr´edire dimensionnelle- ment l’´etat d’orientation des fibres dans des cas simples r´eels. Enfin, nos r´esultats sont ´etendus `

a une population de fibres. Un temps d’´ecoulement n´ecessaire `a l’orientation des fibres dans une structure `a g´eom´etrie simple (i.e. dont la mise en œuvre induit un ´ecoulement simple) est alors

6.2 Processus d’orientation d´efini.

6.2

Processus d’orientation

Nous avons constat´e au cours du chapitre pr´ec´edent que l’´evolution de l’orientation d’une fibre dans un fluide Newtonien induite par un ´ecoulement laminaire est d´ecrite par l’´equation de Jeffery. Dans ce travail, nous appliquons ce mod`ele au cas des fibres rigides renfor¸cant les mat´eriaux cimentaires. Pour cela, un certain nombre d’hypoth`eses est `a d´efinir.