Influence d’une population de fibres

L’´equation (A.2) nous donne acc`es `a l’´evolution de l’orientation de fibres en r´egime dilu´e (i.e. r´egime dans lequel l’´evolution d’une fibre n’est pas influenc´ee par les fibres voisines). Or le comportement rotationnel des fibres est dˆu `a la fois `a la convection des fibres (i.e. aux d´e- formations du fluide dans lesquelles elles ´evoluent) [143], et `a la diffusion des interactions entre fibres [167]. En effet, les concentrations entre 0% et 1% couramment utilis´ees en g´enie civil pour renforcer les mat´eriaux cimentaires impliquent un grand nombre de fibres (entre 106 et 108 par m3). Nous avons vu au chapitre 4 que les encombrements de fibres correspondants impliquent des interactions hydrodynamiques, voire des contacts entre fibres. Ces interactions ont alors une influence au niveau de l’orientation macroscopique. En effet la pr´esence d’autres fibres dans le voisinage de la fibre ´etudi´ee perturbe le mouvement de la premi`ere. Ces fibres voisines peuvent, par interactions hydrodynamiques ou contacts directs ponctuels, la d´ecaler de son orbite ini- tiale.

Il est vrai qu’en r´egime dilu´e ou semi-dilu´e, les interactions dominantes, de type hydrodyna- mique, induisent des pertubations du champ de vitesses autour d’une fibre dont l’amplitude est bien plus faible que celle du champ de vitesse moyen [187]. Certains auteurs ont montr´e que l’´equation d’´evolution de Jeffery (A.2) pr´edisait d’une mani`ere correcte l’´evolution de l’orienta- tion d’une fibre pour des r´egimes semi-dilu´es. Ils ont conclu que le fait de n´egliger les interactions entre fibres dans la description de cette ´evolution constitue une approximation pertinente pour les syst`emes dilu´es, et un r´esultat encore coh´erent pour des syst`emes semi-dilu´es [211],[187] jus- qu’`a semi-concentr´es [189],[167]. En effet, les interactions hydrodynamiques en jeu `a ce niveau d’encombrement du syst`eme sont assez faibles pour ne pas entrainer un nombre significatif de contacts fibre-fibre, et ne perturbent que tr`es modestement l’orientation des fibres [187]. Il a d’ailleurs ´et´e montr´e qu’`a chaque instant, seule une faible fraction de fibres effectue une rotation (Θ(1\r)), alors que la majorit´e reste align´ee selon la direction privil´egi´ee induite par l’´ecoulement [187]. Petrich [165] observe tout de mˆeme une augmentation de 25% de la fr´equence de rotation de fibres `a un encombrement de Nfl2fdf = 0, 2 ou φf/φf m= 0, 04 par rapport `a leur fr´equence

de rotation en r´egime dilu´e. La nature al´eatoire de ces int´eractions pousse de nombreux auteurs `

a consid´erer ce processus comme diffusif, dans une certaine limite de concentrations de fibres. Petrich [165] repr´esente l’intensit´e de ce processus de diffusion par la dispersion de la fonction de probabilit´e de pr´esence de l’angle form´e entre la fibre et l’axe y (repr´esentatif de la direction du gradient de cisaillement) dans le plan de cisaillement. Soit θ0= π/2 − θ cet angle au sens de Figure 5.6, le processus de diffusion est estim´e par :

< cos2θ0 > < cos2_θ0 _>

J ef

5.6 Orientation des fibres

o`u le terme de diffusion < cos2_θ0 _{> est adimensionn´e par la diffusion en r´egime dilu´e}

< cos2θ0 >J ef.

M.P. Petrich et al. / J. Non-Newtonian Fluid Mech. 95 (2000) 101–133 115

Fig. 7. The orientational dispersion, characterized by hcos2_{φi and normalized by the value in the Jeffery limit,} hcos2_φi

Jef = 1/(1 + re), as a function of nL2d. The symbols and error bars are defined in Fig. 5. The solid and dashed lines are estimates from the hydrodynamic interaction theory forr = 50 and 72, respectively.

the semi-dilute regime. Rahnama et al. [16] developed an expression for the orientation distribution, which Koch fit to Stover’s experimental data [31]. The correlation resulting from Koch’s calculations states thathp2

xp2yi = 0.371/r. Values of hpx2p2yi from the present work are shown in Table 4. The values

were slightly higher than predicted by Koch’s correlation, and there was no clear trend as a function of concentration. The 90% confidence intervals for this data were roughly±10% of the value, meaning that the error bars overlap for the majority of the data points. However, at the highest concentrations, nL2d = 3.0 for r = 50 and nL2d = 2.5 for r = 72, the value of hp_x2p2_yi decreased significantly relative to the other concentrations. It is not a coincidence that hcos2φi and hCbi in those two tests were also

the smallest relative to the other experiments at the same aspect ratio. The measurements of the moment

hp2

xp2yi will be used in comparing theories to shear viscosity data in Section 5.1.

3.3. Effects of a nematic potential

In an effort to understand why the orientational dispersion, as characterized byhcos2φi, peaked and then decreased above nL2_{d = 0.5–0.8 (see Fig. 7), the steady-state fiber orientation distribution was}

found from a model including a nematic potential. In highly concentrated suspensions of Brownian rods, a rotation rate due to the gradient of a mean-field potential can lead to a highly aligned, nematic state [32]. While no thermodynamic isotropic–nematic transition can be identified for non-Brownian suspensions, the volumetric exclusion of fibers favors aligned states in non-Brownian as well as Brownian suspensions.

Figure 5.11 – Dispersion de l’orientation d´efinie par (5.25) en fonction de l’encombrement des fibres tir´e

de [165]. R´esultats exp´erimentaux repr´esent´es par les diamants (r = 50) et les carr´es (r = 72). Simulations

num´eriques de contacts m´ecaniques repr´esent´es par les cercles. Les lignes continue et en pointill´es sont des

estimations des interactions hydrodynamiques pour les facteurs d’aspect r = 50 et r = 72 respectivement.

Petrich a trac´e sur la Figure 5.11ce processus de diffusion en fonction de l’encombrement des fibres, mesur´e exp´erimentalement. On observe une forte croissance de la diffusion d’orientation due aux interactions entre fibres pour de faibles valeurs d’encombrement des fibres, jusqu’`a un encombrement critique de Nflf2df = 0, 5 ou φf/φf m = 0, 1 `a partir duquel cette diffusion d´e-

croit. Cette transition intervient donc en r´egime semi-dilu´e. Petrich a ajout´e des r´esultats de simulations num´eriques de contacts m´ecaniques par Sundararajakumar et Koch. Ces r´esultats ´evoluent parall`element aux r´esultats exp´erimentaux pour de faibles valeurs d’encombrement des fibres, mais continuent de croˆıtre au del`a de l’encombrement critique, ce qui sugg`ere que les contacts directs entre fibres ne gouvernent pas le processus de diffusion de l’orientation.

On peut donc penser grˆace `a la Figure5.11que, mˆeme pour r´egimes concentr´es Nflf2df > 0, 5,

les interactions hydrodynamiques continuent de dominer le processus de diffusion. Au del`a du r´e- gime semi-dilu´e, `a partir d’une concentration critique de l’ordre de φtrans = 400π ln(r)2/r4 [212],

il devient pourtant difficile pour une fibre de trouver une configuration possible lui permettant de s’´ecarter de l’alignement induit par l’´ecoulement et d’effectuer une rotation, d’o`u la r´eduction du terme de diffusion. Les interactions de contact deviennent alors moteur de l’alignement des fibres.

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Ecoulement industriel d’un b´eton de fibres