Mod´elisation de l’interf´erom`etre papillon

ǫ(q) = q ¯ǫ0+^X j ǫjk_l jπ^sin( jπq k_l ^{). (4.3.10)}

Enfin, nous obtenons l’expression de la fr´equence de Rabi de la transition

hϕn|e^−iksz|ϕn′i = A²C² Z dqC₀^αC^α+ks 0 exp    i  q(n^′− n)^λ₂^l + n^′k_s^λl 2 −_m¹ ag   X j ǫ_j ^kl jπ^sin jπq k_l −^X l ǫ_l^kl lπ^sin lπ(q + k_s) k_l        . (4.3.11) La d´ependance en U de l’´equation (4.3.11) est cach´ee dans les valeurs de ǫ_i puisque la profondeur des puits de l’onde stationnaire a une influence sur l’expression des bandes de Bloch que l’on utilise [129,130]. La figure 4.2 pr´esente les coefficients (4.3.11) pour les ´etats de Wannier-Stark des atomes de rubidium dans un pi`ege de longueur d’onde λ<sub>l</sub>= 532 nm interagissant avec des lasers Raman `a λ_s = 780 nm (soit k_s = 4π/λ_s). Cette figure nous permet de choisir la profondeur de puits optimale pour le sch´ema exp´erimental propos´e sachant que celui-ci s’appuie sur des transitions entre puits directement voisins (n→ n±1). Ainsi, sur la figure 4.2, on voit que le choix U = 3E_rest le meilleur pour cette configuration puisque qu’`a cette profondeur, les coefficients pour les transitions n→ n, n → n ± 2 sont faibles alors que les coefficients pour n→ n ± 1 et n → n ± 3 sont dominants mais avec des d´esaccords tr`es diff´erents ce qui permet de selectionner seulement la transition n→ n ± 1. On se placera donc exp´erimentalement `a cette profondeur. Nous allons maintenant mener la mod´elisation compl`ete du sch´ema interf´erom´etrique dans cette configuration.

4.4 Probl`eme des phases cumul´ees et proposition d’un nouveau sch´ema interf´erom´etrique

4.4.1 Mod´elisation de l’interf´erom`etre papillon

Une fois que l’on a choisi la profondeur du pi`ege optique, on peut revenir au syst`eme (4.2.8) d’´equations coupl´ees pour chaque impulsion laser. La solution des ´equations dif-f´erentielles est obtenue `a l’aide de la m´ethode des diff´erences finies d´ej`a utilis´ee dans le chapitre 2. Comme on l’a vu pr´ec´edemment, la r´esolution de ce syst`eme conduit `a l’expres-sion de la fonction d’onde qui permet de d´eterminer la distribution de probabilit´e entre

1 2 3 4 5 6

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

U H units of E

L

<

Φ

Èe

ÈΦ

>

Figure 4.2 :Sch´ema des fr´equences de Rabi de la transition entre un puits n et un autre n′ en fonction de la profondeur du puits (en unit´e d’´energie de recul des photons du pi`ege Er=^~2k2l

2ma). Sont pr´esent´es sur cette figure les coefficients pour la transition n → n (en noir), n → n ± 1 (en rouge), n → n ± 2 (en bleu) et n → n ± 3 (en vert).

l’´etat|gi et l’´etat |ei en fonction du temps d’interaction avec le champ ´electromagn´etique. La probabilit´e oscille et permet de d´efinir les impulsions dites π qui donnent une proba-bilit´e 1 pour un paquet d’onde initialement dans l’´etat |gi de se trouver dans l’´etat |ei et les impulsions ^π₂ qui cr´eent une superposition des ´etats|gi et |ei. On choisit donc le temps d’interaction ad´equat pour r´ealiser le sch´ema interf´erom´etrique d´ecrit dans la section 4.3.

On doit toutefois distinguer le cas de l’impulsion Raman permettant la s´eparation spatiale des deux paquets d’onde et celui des impulsions micro-onde qui permettent la transition entre les ´etats atomiques internes |gi et |ei d’un puits donn´e. En effet, si l’on a d´ecrit dans la section 4.3 le calcul de l’interaction de type Raman entre un atome et un laser, la fr´equence de Rabi est simplifi´ee dans le cas d’une impulsion micro-onde. Cela provient du fait que, dans le cas des impulsions micro-ondes, le vecteur d’onde de l’impulsion est tr`es petit en comparaison de celui d’une impulsion Raman. En effet, pour une impulsion Raman, dont le but est d’envoyer un paquet d’onde dans un puits voisin, on choisit la fr´equence du laser de sorte que celle-ci soit accord´ee sur la diff´erence d’´energie entre deux puits ce qui donne (les longueurs sont exprim´ees en unit´es de puits)

k_s= ^4π λ_s

λ_l

tandis que dans le cas d’une impulsion micro-onde on utilise la fr´equence de transition hyperfine `a 6.8 GHz ce qui donne pour k_s

k_s≃ 3.8.10⁻⁵. (4.4.2)

De telle sorte qu’en ´ecrivant la fr´equence de Rabi sous la forme Ω 2hϕn|e^−iksz|ϕn′i = ^Ω 2 Z ∞ −∞ dzϕ^∗_n(z)ϕ_n′(z)e^−iksz (4.4.3) et sachant que z rep`ere la position de l’atome en unit´e de puits, on voit que l’exponentielle e<sup>−ik</sup>sz tend vers 1 lorsque l’on consid`ere une impulsion micro-onde. L’expression (4.4.3) se ram`ene alors au produit scalaire de deux fonctions orthogonales ce qui conduit `a r´e´ecrire les ´equations coupl´ees (4.2.8) sous la forme

( i ˙a^gn(t) =P n′ Ω 2 a^e_n′(t) i ˙a^e_n(t) =P n′ Ω 2 a^g_n′(t). ^(4.4.4)

Pour la mod´elisation compl`ete de l’interf´erom`etre, on r´esout donc successivement les sys-t`emes (4.2.8) et (4.4.4) en fonction de la nature de chaque implusion. On calcule ensuite la probabilit´e finale pour l’´etat excit´e afin d’estimer le contraste des franges `a la sortie de l’interf´erom`etre.

Un deuxi`eme effet `a prendre en compte pour mod´eliser l’interf´erom`etre est la modifi-cation des niveaux d’´energie en pr´esence de la surface. En effet, on a montr´e au chapitre 2 que l’effet Casimir-Polder et, dans une moindre mesure, le potentiel de Yukawa induisait une modification des niveaux d’´energie d´ependant du puits dans lequel on se trouve en particulier lorsqu’on est proche de la surface. Cela implique que la fr´equence des transi-tions Raman utilis´ees pour r´ealiser l’interf´erom`etre dans ces premiers puits soit diff´erente en fonction de celui dans lequel on se place. Ainsi, si on se place par exemple dans le hui-ti`eme puits et que l’on prend en compte l’effet Casimir-Polder, on obtient comme diff´erence d’´energie avec les deux puits voisins

∆_7,8 = 0.7013E_r

∆8,9 = 0.0393Er. ^(4.4.5)

Il faut donc utiliser deux lasers pour r´ealiser les implusions π de s´eparation (2) et (4) de la figure 4.1 chacun ´etant accord´e sur l’une ou l’autre des transitions. Dans la simulation, on a consid´er´e que l’on allumait les deux lasers en mˆeme temps et on a optimis´e le temps de chacun de fa¸con `a avoir les populations souhait´ees dans chaque puits `a la fin de chaque impulsion.

0 100 200 300 400 500 600 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 TH Μs L P^e

Figure 4.3 :Probabilit´e de mesurer l’atome dans l’´etat |ei `a la sortie de l’interf´erom`etre papillon en fonction du temps T d’´evolution libre dans les puits s´epar´es. La figure pr´esente le cas o`u tous les atomes sont initialement dans le puits n = 8 et dans l’´etat |gi.

Le r´esultat de la mod´elisation pour l’interf´erom`etre papillon dans le cas o`u tous les atomes sont dans le mˆeme puits de d´epart est pr´esent´e sur la figure 4.3.

Cependant, il est assez difficile exp´erimentalement de maintenir tous les atomes dans le mˆeme puits afin de commencer le cycle interf´erom´etrique avec une condition initiale pure. Il nous faut donc v´erifier que le sch´ema interf´erom´etrique fonctionne dans le cas o`u plusieurs puits sont initialement peupl´es. La figure 4.4 montre le contraste esp´er´e `a la sortie de l’interf´erom`etre papillon lorsque deux puits sont initialement peupl´es. Pour ce

0 200 400 600 800 1000 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 TH Μs L P^e

Figure 4.4 :Probabilit´e de mesurer l’atome dans l’´etat |ei `a la sortie de l’interf´erom`etre papillon pour deux puits initialement peupl´es en fonction du temps T d’´evolution libre dans les puits s´epar´es.

calcul, on s’est int´er´ess´e dans un premier temps aux puits lointains, c’est-`a-dire que l’on se place dans le r´egime o`u les ´etats propres sont les ´etats de Wannier-Stark. On s’aper¸coit

sur la figure 4.4 que le contraste est, dans ce cas, largement plus faible que lorsque les atomes sont initialement tous dans le mˆeme puits.

La raison de cette perte de contraste est `a chercher dans l’expression du d´ephasage donn´ee en (4.3.1). En effet, en faisant l’estimation du d´ephasage en utilisant la m´ethode des matrices expos´ee au chapitre 1, on s’aper¸coit que dans le cas de l’interf´erom`etre en papillon, il apparaˆıt un terme d´ependant de l’indice du puits

∆φ =−4nπks

kl + ²

~(m_agλ_l+ U_n+1− U_n−1) T

+ ω_egⁿ⁺¹− ωⁿ⁻¹eg
T − φ(1)+ 2(φ⁽²⁾− φ⁽³⁾+ φ⁽⁴⁾)− φ⁽⁵⁾.

(4.4.6)

Cette d´ependance n’a aucune cons´equence sur le contraste de l’interf´erom`etre lorsque tous les atomes se trouvent initialement dans le mˆeme puits. En effet, dans ce cas, ce terme agit comme un simple facteur global. En revanche, si on peuple plusieurs puits au d´epart, ces facteurs se cumulent et induisent des interf´erences destructives qui ont pour effet de r´eduire le contraste. Afin d’avoir la meilleure mesure possible des interactions `a courte port´ee, il faut donc trouver une nouvelle configuration d’interf´erom`etre permettant l’annulation de ce terme de phase. La nouvelle configuration propos´ee fait l’objet de la section suivante.