Cas d’un interf´erom`etre avec un seul isotope du rubidium

1 + αe⁻λ^r  . (2.5.1)

Dans la configuration de l’exp´erience, l’atome subit l’interaction gravitationnelle `a la fois de la Terre et du miroir. Pour prendre en compte correctement l’attraction gravitationnelle que subit l’atome de la part de ces deux sources, il convient de tenir compte de la g´eom´etrie de celles-ci. Dans un premier temps, int´eressons nous `a la Terre. Le potentiel Newtonien pour un atome `a une altitude a est donn´e par

U_T(a) =−^GM_R ^Tma

T + a ^(2.5.2)

o`u G≃ 6.67·10−11m2.kg−1.s−2est la constante de gravitation, m<sub>a</sub>la masse atomique, M<sub>T</sub> est la masse de la Terre et RT son rayon. Si on consid`ere que le miroir est `a une hauteur h de la surface de la Terre et qu’on prend comme origine des distances la surface de ce miroir alors on a a = h− za o`u z_a est la distance entre l’atome et la surface. On peut alors r´e´ecrire l’´equation pr´ec´edente comme

U_T(z_a) =− ^GMTma R_T + h− za

(2.5.3)

Que l’on peut d´evelopper aux alentours de la surface (za≪ 1) UT(z) =−^GMTma R_T + h − ^GMTma (R_T + h)2za =−^GM_R^Tma T − magz_a (2.5.4)

o`u on a fait l’approximation que R<sub>T</sub> + h≃ RT et o`u g = ^GMT

R2

T ≃ 9.81 m.s−2 est l’acc´el´era-tion de la pesanteur. Connaissant la partie Newtonienne du potentiel terrestre, cherchons maintenant `a estimer la d´eviation Yukawa due `a la Terre sachant que pour l’exp´erience, on recherche des d´eviations ayant des port´ees typiques de l’ordre du micron de sorte que λ_Y ∼ 1 µm. Cette d´eviation s’´ecrit

U_{Y T}(z_a) =−αY

GM_Tm_a R_T + h− za

e^{−RT +h−za}λY (2.5.5)

o`u l’on voit que le terme exponentiel est tr`es petit puisqu’on peut ´ecrire le facteur de l’exponentiel au premier ordre comme

RT + h− za

λ_Y ≃ ^RT

λ_Y ^(2.5.6)

qui est de l’ordre de 6.10¹². On peut donc n´egliger la partie Yukawa du potentiel gravita-tionnel terrestre sans risque.

hc

z = 0 ^{z = za}

z

R^c

Figure 2.7 : Sch´ema de la mod´elisation du miroir par un cylindre infini pour le calcul du potentiel graviationnel de celui-ci. L’atome est situ´e sur l’axe du cylindre `a une distance za de sa surface. Dans les expressions (2.5.8) et (2.5.9), on consid`ere que Rc→ ∞ et hc→ ∞.

Pour ce qui est de l’influence du miroir, supposons que l’on ait un miroir cylindrique tr`es grand par rapport `a la distance atome-miroir et de densit´e ρ_s (voir figure 2.7).

Le potentiel gravitationnel sur l’atome par unit´e de volume s’´ecrit donc

dU_grav,s(r) = ^Gρsma r ^dV  1 + α_Ye⁻λY^r  . (2.5.7)

La partie Newtonienne de ce potentiel s’´ecrit (en int´egrant sur le cylindre et en prenant en compte que le rayon R_c et la hauteur h_c de celui-ci sont tr`es grandes devant la distance atome-surface z_a)

Us(za) = πGρsmaz²_a (2.5.8)

tandis que la partie Yukawa s’´ecrit, en utilisant les coordonn´ees cylindriques (R, θ, z)

UY s(za) = Z Rc 0 Z 2π 0 Z za+hc za RdRdθz.√^Gρsma R2+ z2αYe⁻ √ R2+z2 λY = 2πGρsmaα_Y Z za+hc za dz Z Rc 0 dR√ ^R R2+ z2e⁻ √ R2+z2 λY = 2πGρ_sα_Yλ_Y Z za+hc za dz e⁻λY^z − e⁻ √ z2+R2_c λY ! . (2.5.9)

Dans cette expression, R_c repr´esente le rayon du miroir et h_c sa hauteur. Or, comme le miroir est de taille macroscopique, R_c est tr`es grand devant λ<sub>Y</sub>, le deuxi`eme terme de l’´equation (2.5.9) est n´egligeable et on obtient apr`es int´egration

U_{Y s}(z)≃ 2πGρsα_Yλ²_Y 

e⁻λY^za − e^−za+hcλY 

l`a encore, l’´epaisseur du miroir est tr`es grande devant la distance atome-surface. On peut donc aussi n´egliger le deuxi`eme terme de l’expression pr´ec´edente pour obtenir l’expression du potentiel de Yukawa induit par la surface que l’on utilisera dans la suite

U_grav,s(z_a)≃ 2πGρsα_Yλ²_Ye⁻λY^za . (2.5.11) Un rapide calcul d’ordre de grandeur nous montre qu’`a z<sub>a</sub> = 1 µm avec une densit´e du miroir `a peu pr`es ´egale `a la densit´e du silicium ρ_s = 10³kg.m−3, la valeur du potentiel Newtonien de la Terre est beaucoup plus grande que la valeur de la partie Newtonienne

due `a la surface ₍

UT(1 µm)

ma = 9.8× 10−6m2s−2 Us(1 µm)

ma ≃ 10−19m²s^{−2 (2.5.12)}

D’un autre cot´e, on remarque que si la partie Yukawa du potentiel dˆu `a la Terre est tout `a fait n´egligeable, c’est loin d’ˆetre le cas de la partie Yukawa du potentiel de la surface. En effet, si on prend comme ordre de grandeur pour α_Y une valeur en dessous des contraintes actuelles pour λ_Y = 1 µm soit par exemple α_Y ≃ 1010, et que l’on compare la valeur de la partie Yukawa du potentiel dˆu `a la surface `a la partie Newtonienne de ce mˆeme potentiel on obtient

V_SY(1 µm)

m ≃ 10^{10VS(1 µm)}_m ≃ 10⁻⁹m²s⁻². (2.5.13) Ainsi, les ´etats propres que l’on cherche sont les ´etats propres de l’Hamiltonien

H_Y = H_{W S} + 2πGρ_sα_Yλ²_Ye⁻λY^za . (2.5.14) Ce sont les valeurs propres de cet Hamiltonien qui nous permettrons de calculer les contraintes que l’on pourra appliquer aux param`etres α_Y et λ_Y en tenant compte de la sensbilit´e de l’exp´erience.

Nous avons d´ecrit dans le chapitre 1 les deux configurations possibles de l’exp´erience que l’on va utiliser pour r´ealiser la mesure. Dans un premier temps, nous allons calculer les modifications des ´etats induites par un potentiel de Yukawa `a longue distance et dans un second temps `a courte distance. Dans les deux cas, on supposera que l’effet Casimir-Polder est n´egligeable. Ceci est ´evidemment le cas `a grande distance du fait du comportement en

1

z3 tandis que la configuration de l’exp´erience avec deux isotopes de rubidium proche de la surface annule l’effet Casimir-Polder lorsque l’on se place dans les premiers puits.

2.5.1 Cas d’un interf´erom`etre avec un seul isotope du rubidium

Pour l’estimation des contraintes que l’exp´erience pourra apporter sur les d´eviations `

a la loi de Newton, on commence par se placer relativement loin de la surface avec un seul isotope de rubidium. La distance entre l’atome et la surface est d´etermin´ee par la

distance `a laquelle on peut s’affranchir de l’effet Casimir-Polder. Sachant que l’on peut th´eoriquement calculer l’effet Casimir-Polder avec une erreur de l’ordre du pourcent et que la sensibilit´e de l’exp´erience est estim´ee `a des d´ephasages de l’ordre de 10−4Hz [1, 2], il faut se placer `a un endroit o`u l’erreur sur le calcul th´eorique est plus faible que 10⁻⁴Hz. Grˆace `a l’´equation (2.4.12) on estime que ces conditions sont respect´ees `a partir du puits 40 i.e. `a z≃ 10 µm o`u la modification des niveaux par effet Casimir-Polder est de l’ordre de 0.06 Hz. Pour le calcul des contraintes sur les d´eviations dans cette premi`ere configuration exp´erimentale, on va donc se placer tout d’abord au 40 i`eme puits puis au 70 i`eme (o`u le potentiel Casimir-Polder est de l’ordre de 0.01 Hz) afin d’avoir un ordre de grandeur des performances exp´erimentales.

En utilisant le mˆeme algorithme de calcul que pour les ´etats de Wannier-Stark modifi´es, on calcule la valeur propre de l’Hamiltonien (2.5.14) pour n = 40 avec diff´erentes valeurs de λ_Y. Pour chacune de ces valeurs, on calcule la valeur de α_Y minimale telle que la correction apport´ee aux valeurs propres par le potentiel de Yukawa soit sup´erieure `a 10−4Hz. Cette valeur de α<sub>Y</sub> en fonction du λ<sub>Y</sub> choisi est la contrainte que l’exp´erience pourra apporter dans le plan (α<sub>Y</sub>, λ<sub>Y</sub>). On proc`ede de mˆeme pour n = 70. Les deux contraintes qui en r´esultent sont pr´esent´ees sur la figure 2.8.