Le probl`eme des ´etats atomiques pi´eg´es dans une onde stationnaire est semblable `a celui des ´electrons dans des r´eseaux cristallins rencontr´e en physique des solides [44]. En effet, dans notre cas comme dans celui des ´electrons, on ´etudie des particules pi´eg´ees dans un potentiel p´eriodique. On peut donc transposer les m´ethodes de calcul de la physique des solides au cas de FORCA-G.
2.2.1 Les ´etats de Bloch
Consid´erons dans un premier temps, simplement un atome de masse ma pi´eg´e dans une onde stationnaire r´ealisant un potentiel p´eriodique de la forme
VB(z) = U
2(1− cos(2klz)) (2.2.1)
o`u U est l’amplitude du potentiel et kl le vecteur d’onde du laser pi`ege. L’Hamiltonien du syst`eme atomique pi´eg´e est donc
HB=− ~
2
2ma
d2
dz2 + VB(z) (2.2.2)
Le th´eor`eme de Bloch [44] nous indique que les ´etats propres d’un Hamiltonien tel que (2.2.2) ont la forme d’un produit d’une onde plane avec une fonction uα,κ(z) de mˆeme
p´eriodicit´e que le potentiel VB. On peut donc les ´ecrire sous la forme (voir [44] pour la d´emonstration)
ϕb,κ(z) = eiκzub,κ(z) (2.2.3)
o`u on a introduit une variable κ d´esign´ee commun´ement comme la quasi-impulsion de la particule et qui joue un rˆole assez similaire `a celui du vecteur d’onde d’une particule libre dans la th´eorie de Sommerfeld. Cependant, on remarque ici que, contrairement au cas du vecteur d’onde d’une particule libre, que l’on peut exprimer en fonction de l’impulsion p de cette particule comme p/~, κ dans le cas du probl`eme de Bloch n’est pas proportionnel `a l’impulsion des particules dans le r´eseau. Ceci est v´erifiable par le fait que si l’on applique l’op´erateur d’impulsion −i~dzd `a la fonction ϕb,κ(z) de l’´equation (2.2.3) on obtient
−i~ d dzϕb,κ(z) =−i~ d dz e iκzub,κ(z) = ~κϕb,κ(z)− i~eiκz d dzub,κ(z). (2.2.4)
Cependant, ~κ peut ˆetre consid´er´e comme une extension de l’impulsion dans le cas des potentiels p´eriodiques.
L’indice b qui apparaˆıt dans l’´equation (2.2.3) exprime le fait qu’il existe plusieurs solutions de l’´equation de Schr¨odinger pour un κ donn´e du fait des conditions aux limites p´eriodiques. En effet, si l’on substitue, dans l’´equation de Schr¨odinger, la fonction d’onde solution ϕb,κ(z) par son expression donn´ee par (2.2.3) on trouve
hz|HB|ϕb,κi = ~ 2 2ma −idzd + κ 2 + VB(z) ! ub,κ(z)eiκz = ǫb,κub,κ(z)eiκz (2.2.5)
ce qui conduit `a l’´equation ~2 2ma −i d dz + κ 2 + VB(z) ! ub,κ(z) = ǫb,κub,κ(z) (2.2.6) avec comme conditions aux limites
ub,κ(z) = ub,κ(z + λl
2), (2.2.7)
λl ´etant la longueur d’onde du laser r´ealisant l’onde stationnaire et λl
2 ´etant donc la p´e-riodicit´e du pi`ege.
Grˆace aux conditions aux limites p´eriodiques, on peut consid´erer l’expression (2.2.6) comme un probl`eme aux valeurs propres hermitien restreint `a une cellule primitive du
r´eseau p´eriodique appel´ee premi`ere zone de Brillouin. Le probl`eme aux valeurs propres se ram`ene alors `a un probl`eme sur un intervalle fini et on s’attend `a trouver une famille infinie de valeur propres discr`etes repr´esent´ee par l’indice de bande b. On peut enfin noter que dans les expressions (2.2.6) et (2.2.7), κ apparaˆıt seulement comme un param`etre dans l’Hamiltonien HB. On s’attend donc `a ce que les niveaux d’´energie, pour un b donn´e, va-rient de mani`ere r´eguli`ere avec κ de sorte que les niveaux d’´energie d’une particule dans un r´eseau p´eriodique s’expriment comme une famille de fonctions continues de κ not´ees ǫb(κ). On parlera de bandes d’´energie. Les quatres premi`ere bandes d’´energie correspondant `a l’Hamiltonien (2.2.2) sont repr´esent´ees sur la figure 2.1 dans la premi`ere zone de Brillouin. Ces bandes ont ´et´e obtenues par la m´ethode de r´esolution pr´esent´ee dans la r´ef´erence [81].
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 0 5 10 15 k Εb Hk L
Figure 2.1 :4 premi`eres bandes d’´energie de Bloch sur la premi`ere zone de Brillouin. Ici les ´energies sont repr´esent´ees en unit´e de l’´energie de recul d’un photon du laser ER = ~2k2l
2ma et la quasi-impulsion est en unit´e de kr
2 .
Comme on le voit dans l’´equation (2.2.3), les fonctions d’onde d’une particule dans un potentiel p´eriodique sont sym´etriques par translation et non localis´ees. Il a toutefois ´et´e postul´e dans les ann´ees 60, que l’ajout d’un potentiel lin´eaire au potentiel p´eriodique conduisait `a la localisation des ´etats de la particule [80].
2.2.2 Les ´etats de Wannier-Stark
L’effet de l’adjonction d’un potentiel linaire `a l’Hamiltonien de Bloch (2.2.2) a d’abord ´et´e ´etudi´e en physique des solides pour le cas d’´electrons dans un cristal soumis `a un champ ´electrique continu [80]. Cela peut se transposer au cas qui nous int´eresse puisque dans notre exp´erience les atomes sont pi´eg´es dans un r´eseau vertical. L’effet de la pesanteur terrestre sur l’atome ajoute donc un terme lin´eaire au r´eseau p´eriodique et on peut ´ecrire
l’Hamiltonien sous la forme HW S =− ~ 2 2ma d2 dz2 + VB− magz (2.2.8)
o`u VB est le potentiel p´eriodique et g ≃ 9.81 m.s−2 l’acc´el´eration de la pesanteur ter-restre. L’adjonction du potentiel lin´eaire brise la sym´etrie de translation observ´ee dans le cas d’une particule dans un potentiel Bloch mais conserve tout de mˆeme le caract`ere p´eriodique du potentiel. Or, le th´eor`eme de Bloch nous indique que pour un potentiel p´eriodique quelconque, il est possible d’´ecrires les fonctions propres de ce potentiel comme une superposition d’´etats de Bloch. Pour calculer les ´etats de Wannier-Stark, on va donc projeter l’´equation aux valeurs propres
HW S|W Sb,li = Eb,l|W Sb,li (2.2.9)
sur la base des fonctions dites de Wannier
ψb,l(x) = Z kl
−kl
dκe−iκlλl2ϕb,κ(x). (2.2.10)
Pour rendre le calcul analytique, une approximation courante consiste `a se placer dans une bande d’´energie particuli`ere b et `a la consid´erer comme isol´ee c’est-`a-dire que l’on ne prend pas en compte la possibilit´e pour les atomes de passer d’une bande `a l’autre [45]. Cette approximation fut tr`es discut´ee `a la suite de son introduction par G. Wannier [80,82]. En effet, en n´egligeant simplement les autres bandes de Bloch dans le probl`eme, on ne prend pas en compte le possible couplage des ´etats entre bande, que l’on appelle effet Landau-Zener ou Landau-Zener tunneling [83] et que l’on discutera dans le chapitre 3. Cependant, dans le cas habituel des ´etats de Wannier-Stark, ce couplage inter-bande est relativement faible et l’approximation conduit au spectre des ´etats de Wannier-Stark appel´e aussi ´echelle de Wannier-Stark
Eb,l= ¯ǫb− lmagλl
2. (2.2.11)
Contrairement aux ´etats de Bloch, les ´etats de Wannier-Stark sont localis´es sur un nombre restreint de p´eriodes du r´eseau. Cette localisation d´epend toutefois de l’amplitude du pi`ege p´eriodique par rapport au potentiel lin´eaire comme on peut le voir sur la figure 2.2. Le fait que le pi`ege soit peu profond dans les conditions de l’exp´erience induit une d´elocalisation de l’atome sur plusieurs puits. Cette remarque aura de l’importance dans la suite pour le calcul des ´etats proches de la surface et cette observation aura de plus des cons´equences notamment pour la mod´elisation de l’exp´erience en elle-mˆeme que nous d´etaillerons dans le chapitre 4.
-10 -5 0 5 10 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 z ÈW S1 ,0 Hz L