Afin de choisir la profondeur optimale pour le pi`ege dipolaire il convient d’expliciter un peu plus avant le sch´ema interf´erom´etrique propos´e pour l’exp´erience [1, 2].
Le but de l’exp´erience est de mesurer les interactions `a courte distance entre une surface massive et un atome pi´eg´e dans une onde stationnaire. La mesure se fait par interf´ero-m´etrie atomique en mesurant la diff´erence de phase entre deux paquets d’onde atomiques initialement dans un puits n puis s´epar´es spatialement et recombin´es. Dans la proposition de 2005 [1, 2] un sch´ema dit en ”papillon” est propos´e permettant de mesurer le d´epha-sage dˆu `a la diff´erence de potentiel entre deux puits de l’onde stationnaire s´epar´es d’une longueur d’onde. Ce sch´ema est constitu´e d’une s´equence de cinq impulsions ´electroma-gn´etiques auxquelles sont soumis les atomes. Ces impulsions sont de deux types selon que l’on souhaite modifier `a la fois les ´etats internes et externes de l’atome ou seulement ses ´etats internes. En effet, pour faire voyager les atomes d’un puits `a l’autre, on va utiliser des impulsions Raman qui, comme on l’a vu au chapitre 1, modifient `a la fois l’´etat interne et l’´etat d’impulsion de l’atome. En revanche, lorsqu’il s’agit de modifier simplement les ´etats internes pour des raisons de sym´etrisation que nous expliciterons dans la suite, on peut se contenter d’une impulsion micro-onde dont la fr´equence est accord´ee sur la transition atomique entre les deux niveaux hyperfins |gi et |ei. Cette fr´equence de transition vaut νeg = 6.8 GHz. L’avantage d’utiliser une impulsion micro-ondes quand on veut rester dans le mˆeme puits est que le vecteur ks est tr`es petit par rapport `a celui des lasers Raman, et par cons´equent le couplage aux autres puits (voir l’´equation (4.2.9)) est proche de z´ero. Le sch´ema en papillon est pr´esent´e sur la figure 4.1.
n-1 n n+1 2 4 5 2 3 1 3 4
Figure 4.1 : Sch´ema papillon pour l’interf´erom`etre [1, 2]. Les lignes pointill´ees rouges repr´e-sentent les impulsions π
2 micro-ondes utilis´ees pour cr´eer la superposition coh´erente et pour recombiner le paquet d’onde `a la sortie du sch´ema interf´erom´etrique. Les lignes bleues symbo-lisent les impulsions π Raman entre un puits et son voisin tandis que les tirets verts repr´esentent les impulsions π micro-ondes dans les deux puits s´epar´es. La s´equence des impulsions est donn´ee par les chiffres de 1 `a 5.
un puits n en deux `a l’aide d’une impulsion π2 micro-onde. On fait ensuite voyager les deux paquets d’onde ainsi s´epar´es dans les deux puits voisins (n + 1) et (n− 1) `a l’aide d’impulsions Raman π dont le d´esaccord correspond `a la diff´erence de potentiel entre les puits. On laisse ensuite les paquets d’onde ´evoluer librement dans chaque puits pendant un temps T avant de leur appliquer une impulsion micro-onde π de sym´etrisation permettant d’´echanger les ´etats internes avant de laisser de nouveau le syst`eme ´evoluer librement pendant T . Le fait d’ajouter une impulsion de sym´etrisation permet de s’affranchir de la d´ependance en νeg du d´ephasage total. En effet, apr`es l’interaction avec le laser Raman, le paquet d’onde dans le puit (n + 1) est dans l’´etat interne excit´e |ei tandis que celui dans le puits (n− 1) est dans l’´etat fondamental |gi. Sans l’impulsion π num´ero 3 sur la figure 4.1, la fr´equence de transition entre |gi et |ei participe au d´ephasage total alors que celui-ci s’annule grˆace `a la sym´etrisation de l’interf´erom`etre. Le d´ephasage `a la sortie de l’interf´erom`etre de la figure 4.1 estim´e dans [2] s’exprime donc comme suit
∆φ = 2
~(magλl+ Un+1− Un−1) T + ωn+1eg − ωegn−1 T − φ(1)+ 2(φ(2)− φ(3)+ φ(4))− φ(5) (4.3.1) o`u les termes φ(i) sont les d´ephasages dus aux impulsions utilis´ees pour r´ealiser l’interf´ero-m`etre, ωeg = 2πνeg est la pulsation de la transition atomique et Un repr´esente l’intensit´e des potentiels recherch´es dans le puits n. On voit dans l’´equation (4.3.1) que si les d´e-placements lumineux des niveaux atomiques sont les mˆemes pour tous les puits (voir le chapitre 1 pour la liste des effets pouvant modifier ces d´eplacements) alors la d´ependance en ωeg s’annule.
Ce sch´ema d’interf´erom`etre repose donc sur des transitions Raman entre deux puits directement voisins. Sachant cela, on peut d´eduire l’amplitude du pi`ege la plus adapt´ee `a
l’optimisation des impulsions Raman en consid´erant l’expression des fr´equences de Rabi de l’´equation (4.2.8)
Ωn,n′ = Ω
2 hϕn|e−iksz|ϕn′i. (4.3.2)
`
A titre d’exemple et afin de permettre les calculs analytiques, pla¸cons nous assez loin de la surface. Dans ces conditions,|ϕni est un ´etat de Wannier-Stark standard. On a vu dans le chapitre 1 que cet ´etat pouvait s’´ecrire comme la superposition des ´etats de Bloch |κi du pi`ege en l’absence de potential lin´eaire [44, 79]
|ϕni = Z kl
−kl
dκ bn(κ)|κi. (4.3.3)
Dans l’expression (4.3.3) on a pos´e (
bn(κ) = Ce−magi (κEn−˜ǫ(κ))
En= ǫ¯0− nmagλl
2
(4.3.4)
o`u ˜ǫ(q) repr´esente la bande d’´energie de Bloch tandis que ¯ǫ0 en est sa valeur moyenne. Pour l’exemple, on ne consid`ere que la premi`ere bande de Bloch (ce qui est justifi´e par le r´esultat du calcul du temps de vie de cette bande effectu´e au chapitre 3). On peut alors simplifier l’expression (4.3.3) en introduisant la relation de fermeture sur l’impulsion |qi
hϕn|e−iksz|ϕn′i = Z dqhϕn|qihq|e−iksz|ϕn′i = Z dqhϕn|qihq + ks|ϕn′i = Z dq Z kl −kl dκ Z kl −kl dκ′b∗n(κ)bn′(κ′)hκ|qihq + ks|κ′i. (4.3.5)
Or, on sait que, par propri´et´e des ´etats de Bloch, on peut ´ecrire l’´egalit´e suivante, `a condition que f (q) soit p´eriodique :
kl Z
−kl
f (κ) < q|κ > dκ = Af(q)C0q (4.3.6)
o`u A est une constante de normalisation et les C0q sont les coefficients des ´etats de Bloch d´ecrits plus en d´etail dans [1]. On peut donc en d´eduire que
hϕn|e−iksz|ϕn′i = A2C2 Z
dq C0qCq+ks
0 emagi (qEn−(q+ks)En′)−˜ǫ(q)+˜ǫ(q+ks)
. (4.3.7)
Pour effectuer ce calcul, nous avons besoin des ´energies des ´etats de Bloch que l’on peut exprimer `a l’aide d’une expansion en s´erie de cosinus
˜ ǫ(q) = ¯ǫ0+ ∞ X j=1 ǫjcos(jπq kl ) (4.3.8)
avec ǫj = 1 kl kl Z −kl (˜ǫ(q)− ¯ǫ0) cos(jπq kl ) dq. (4.3.9)
Ce qui nous donne pour ˜ǫ(q)
˜ ǫ(q) = q ¯ǫ0+X j ǫjkl jπsin( jπq kl ). (4.3.10)
Enfin, nous obtenons l’expression de la fr´equence de Rabi de la transition
hϕn|e−iksz|ϕn′i = A2C2 Z dqC0αCα+ks 0 exp