Ce mod`ele a ´et´e d´evelopp´e par Fauve, Douady et Thual [20] sur la base de travaux plus anciens dˆu `a Malomed et Tribelsky [49] et `a Proctor et Jones [50] dans une exp´erience de convection.
Il s’agit de d´ecrire le motif cellulaire comme une fonction de la variable d’espace x et du temps, combinaison d’un mode de longueur d’onde k et de son second harmonique 2k. Nous allons voir que par rapport `a l’approche de Coullet et Iooss en termes de sym´etries bris´ees, cette construction pr´esente l’avantage de faire apparaˆıtre plus spontan´ement la brisure de parit´e, sans l’introduire explicitement dans les ´equations.
u(x,t) = (A(x,t) exp ikx + c.c.) + (B(x,t) exp i2kx + c.c.) (5.14)
A et B sont les amplitudes complexes des modes k et 2k introduisant chacune un nouveau terme de phase:
A = R exp iφ, B = S exp iθ, Σ = 2φ− θ
Σ est donc le d´ephasage entre les deux modes. Les figures 5.10-a et b montrent comment ce d´ephasage peut implicitement faire apparaˆıtre une asym´etrie au niveau de l’”interface”.
Par arguments de sym´etrie, la dynamique de A et B est r´egie aux ordres les plus bas, par les ´equations suivantes:
At = µA− AB − α|A|2A− β|B|2A (5.15)
Bt = νB + A2− γA2B − δB2B (5.16)
(5.17) ce qui implique pour R, S, Σ et φ:
Rt = (µ− αR2 − βS2)R− RS cos(Σ) (5.18) St = (ν − ΓR2 − δS2)S + R2cos(Σ) (5.19) Σt = (2S− R 2 S ) sin(Σ) (5.20) φt = S sin(Σ) (5.21) (5.22) Un ´etat de parit´e bris´ee correspond `a :
Rt= 0, St= 0, Σt= 0, φt= cte6= 0
(R, S et Σ ont les valeurs constantes non nulles), un ´etat atteint apr`es une bifurcation fourche supercritique (dont le param`etre d’ordre est Σ). La valeur φt non-nulle r´esultante indique une
d´erive `a vitesse constante.
D’autres groupes se sont int´eress´es `a ce mod`ele, en relation avec des syst`emes aussi vari´es que la solidification directionnelle, l’instabilit´e de l’imprimeur ou le syst`eme de rouleaux de Taylor:
Levine et al. [51] ont mis en ´evidence avec ce mod`ele l’apparition d’un ´etat oscillant ”optique” de p´eriode spatiale double en plus de l’´etat de parit´e bris´ee. N´eanmoins, la propagation d’une inclusion de parit´e bris´ee n’´emet pas d’oscillations avec doublement de p´eriode spatiale dans son sillage [37]. Peut-ˆetre qu’un jeu de coefficients diff´erents les feraient apparaˆıtre ? Ayant d´ecouvert les ´etudes de Levine, Riecke (et al.) sur le tard pendant ma th`ese, je ne d´esesp`ere pas de pouvoir trouver le temps de re-simuler leur mod`ele ult´erieurement. Ma conviction est que ce sillage oscillant doit forc´ement sortir de ce mod`ele, car oscillations et d´erive y ont une origine tr`es proche (peut ˆetre faut-il y rajouter du ”frottement” compte tenu du probl`eme de brisure d’invariance Galil´eenne). A suivre . . .
En reprenant ce mod`ele et le modifiant en faisant varier les coefficients avec le nombre d’onde local, L. Fourtune et M. Rabaud [18, 52] ont mis en ´evidence des instabilit´es de phase (Eckhaus) ainsi que des ´evaluations du coefficient de diffusion de la phase, pr´evoyant avec une tr`es bonne pr´ecision leurs mesures sur l’instabilit´e de l’imprimeur. Toujours sur l’instabilit´e de l’imprimeur, Pan et de Bruyn [36] ont tent´e d’extraire les coefficients du mod`ele par mesure du profil de leurs interfaces d´eform´ees, dans le cas de domaines `a parit´e bris´ee. La m´ethode utilis´ee consiste `a approcher le profil de l’interface par une somme de Fourier dont on ´evalue les coefficients. Le rapport des coefficients impairs sur la somme des coefficients donne la valeur de l’asym´etrie, qui varie lin´eairement avec la vitesse de d´erive (comme le pr´evoit le mod`ele C3G91). Par contre, leurs mesures ne sont pas en accord avec le mod`ele k− 2k: d’apr`es les auteurs, il s’agit de termes d’ordre sup´erieur non-pris en compte par le mod`ele. C’est `a notre connaissance la seule mesure directe de l’asym´etrie sur des syst`emes r´eels. L’all´ee de colonnes liquides poss`ede une d´eformation de l’interface peu propice `a ce genre d’approche.
Voici donc expos´es les succ`es de ce mod`ele. Sa pertinence physique est r´eelle: on ”voit” dans les exp´eriences de physique des interfaces notamment, la croissance d’un mode 2k `a l’ap- parition de r´egimes dynamiques. Sur la rang´ee de colonnes liquides, cela se manifeste par la croissance contrari´ee d’une nouvelle colonne entre deux voisines qui par un choix de conditions initiales (ou une augmentation du d´ebit) se sont retrouv´ees trop ´ecart´ees. Qualitativement, cette croissance r´esulte dans la naissance d’une goutte entre deux colonnes. La figure 5.11 re- pr´esente sch´ematiquement la possible apparition du mode 2k, `a travers la courbe typique du
(a)
k
σσσσ (k)
kc 2 k c k1 2k1 ΓΓΓΓ2>ΓΓΓΓ1 ΓΓΓΓ1 (b)Fig. 5.11 – (a) Taux de croissance en fonction du nombre d’onde (courbe sch´ematique). Crois- sance possible du mode 2k `a la suite d’un changement de param`etre de contrˆole (augmentation de d´ebit par exemple). La courbe en pointill´es repr´esente le taux de croissance `a plus haut d´ebit. (b) M´ecanisme faisant apparaˆıtre une brisure de parit´e au niveau de l’arche: on tire sur l’aiguille pour solliciter le d´eplacement d’une colonne; la goutte interm´ediaire est attir´ee par la colonne de gauche. La d´erive s’effectue alors et entretient la brisure de parit´e.
taux de croissance dans une dynamique d’interface mobile [24]: il suffit qu’un param`etre varie (le d´ebit par exemple) et la valeur σ(2kc) peut devenir proche de z´ero, signifiant la croissance
possible du mode 2kc. Dans ce cas, la manifestation dynamique est une oscillation des colonnes
en opposition de phase (voir forme de l’arche sur la figure 2.2).
En ce qui concerne les r´egimes d´erivants, on peut se r´ef´erer `a la mˆeme figure, mais en prenant le fondamental `a un k = k1 plus faible (la d´erive allant de pair avec une dilatation pr´ealable
du motif). Le mode 2k1 peut alors avoir un taux de croissance proche de z´ero, mˆeme `a bas
d´ebit. De la mˆeme fa¸con donc, une goutte peut apparaˆıtre entre deux colonnes. Cependant, l’inhomog´en´eit´e des conditions initiales va faire que la goutte va ˆetre attir´ee plus par une colonne que par sa voisine: c’est ainsi que la parit´e de l’arche va ˆetre bris´ee, ce qui correspond `a un d´ephasage entre les modes k et 2k. La figure 5.11-b illustre sch´ematiquement mais de fa¸con r´ealiste le m´ecanisme conduisant `a la brisure de parit´e: en tirant sur une colonne avec l’aiguille pour initier la d´erive on dilate localement la structure ce qui permet `a une goutte de croˆıtre. Cette goutte naˆıt plus pr`es de la colonne immobile (car sa naissance a eu lieu avant que le mouvement de l’aiguille ne se soit achev´e) et est plus attir´ee par celle ci. L’arche voit sa sym´etrie de r´efection bris´ee, la goutte se mettant plus d’un cˆot´e que de l’autre. En mˆeme temps, on se rend bien compte que d´erive et brisure de parit´e vont de pair: il est n´ecessaire d’imprimer une vitesse `a l’une des colonnes pour briser la parit´e de l’arche voisine et en mˆeme temps cette brisure de parit´e entretient le mouvement ainsi initi´e (par effets de pression capillaire).
A plus haut d´ebit, on peut se retrouver avec un taux de croissance σ(2k1) suffisamment fort
pour que les gouttes apparaissant entre les colonnes d´erivantes se transforment en colonnes, cassant ainsi le r´egime d´erivant. Ce ph´enom`ene est tr`es bien illustr´e par la figure 4.4-a o`u un
figure 4.4-b sugg`ere quant `a elle la naissance d’une instabilit´e oscillatoire pour le d´ephasage Σ. Il est possible que le mod`ele de Fauve et al. (´equations (5.22)) les pr´evoient si on lui fait chercher des solutions modul´ees pour Σ et φ sous la forme Σ0(1 + exp i(qx− wt)) (la valeur
non-nulle pour q signifiant que ces oscillations ne sont pas temporellement en phase).
Pour r´esumer, on peut dire que les points forts de ce mod`ele est qu’il d´ecrit les oscillations et la d´erive comme d´ecoulant d’un mˆeme ph´enom`ene de croissance d’un mode 2k: ceci est pertinent compte tenu des observations exp´erimentales. Il est mˆeme possible qu’il pr´evoie un sillage oscillant derri`ere un paquet d´erivant. L’instabilit´e d’Eckaus peut aussi ˆetre pr´evue par ce mod`ele (sur le coupelle, le changement de nombre d’ondes est aussi la cons´equence de la croissance locale de l’harmonique 2k, voir figure 4.1).
Au niveau de ses points faibles, il ne semble pas qu’il apparaisse un mode neutre (bien que la phase φ soit choisie arbitrairement). D’autre part, comme k est fix´e, il n’y a pas de s´election de longueur d’onde. Enfin, ce mod`ele ne permet pas l’apparition de chaos spatio-temporel, mais n’avait pas ´et´e con¸cu dans cette optique.
Sur ces derniers points, il convient de pr´esenter maintenant un mod`ele semblant combler les d´efauts des deux pr´ec´edents: il s’agit de l’´equation de Kuramoto-Sivashinsky, qui est pr´esent´ee au paragraphe suivant. Il est `a noter que l’interaction entre un mode k et son second harmonique apparaˆıt aussi dans l’´equation de Kuramoto-Sivashisky amortie [24], lorsqu’un mode `a parit´e bris´ee apparaˆıt. Le paragraphe suivant est consacr´e `a la pr´esentation de cette ´equation.