Description g´en´erale

Cette partie est consacr´ee `a l’´etude exp´erimentale de la r´eponse d’un rideau `a une pertur- bation locale de type obstacle mouillant. L’obstacle est une aiguille dont le caract`ere mouillant n’est pas parfaitement contrˆol´e, mais duquel nous pouvons nous affranchir grˆace `a une manipu- lation d´elicate de l’aiguille consistant `a percer doucement le rideau sans le rompre. Les r´esultats obtenus seront interpr´et´es `a la lumi`ere des travaux de S.P. Lin [113] et de de Luca [120].

En plantant une aiguille dans la nappe, de la fa¸con indiqu´ee ci-dessus, deux sillages ap- paraissent (cf. figure 2.7). Une plaquette microcontrˆole permet, grˆace `a un syst`eme de vis, de positionner avec pr´ecision (environ un dixi`eme de mm) l’aiguille o`u l’on veut dans le rideau.

Ces sillages, d´ecrits et observ´es pour la premi`ere fois par G.I. Taylor [109] (partie II), correspondent respectivement `a des d´eformations sinueuses et variqueuses du rideau comme indiqu´e sur la figure 1.1-a.

Comme rappel´e au paragraphe pr´ec´edent, la pr´esence d’un sillage sinueux derri`ere un obs- tacle t´emoigne de ce que celui-ci est plac´e dans la zone d’instabilit´e ”convective” du rideau

(W e < 1/2). Il est donc particuli`erement int´eressant de connaˆıtre les conditions de pr´esence et de disparition du sillage sinueux afin de se placer dans des gammes de param`etres qui nous int´eressent (proches de la rupture). Par ailleurs, il a ´et´e mis en ´evidence [120] que la taille de l’obstacle n’avait pas d’influence sur la forme du sillage. En faisant varier z0, distance entre

le cylindre et l’aiguille, tout en conservant le d´ebit constant, le sillage sinueux se trouve alors modifi´e. Sa courbure change et son angle au sommet augmente lorsque l’on rapproche l’aiguille du cylindre (Cf. figures 2.8). Il apparaˆıt par ailleurs plus visible que le sillage variqueux. Le graphique de la figure 2.9 donne l’´evolution du demi-angle au sommet θ/2 des sillages sinueux en fonction de z pour diff´erentes valeurs de d´ebits. Ces angles ont ´et´e obtenus par mesure di- recte sur les images de sillages obtenues sous NIH-Image. Il apparaˆıt que pour chaque d´ebit, θ varie tr`es peu loin du cylindre et augmente brutalement pour de plus faibles valeurs de z0.

Pour de faibles d´ebits, il peut arriver qu’il existe un point zdispo`u le sillage sinueux disparaˆıt,

mais le variqueux, quant `a lui, subsiste quelles que soient les conditions exp´erimentales. Au- dessus de ce point (z0 < zdisp), le sillage sinueux n’apparaˆıt plus (Cf. figure 2.8-e et f).

Quelle est la raison de cette disparition? Tout d’abord, il convient de constater qu’il existe une forte analogie entre le sillage sinueux et le cˆone de Mach dans les ´ecoulements superso- niques [109, 113]: le sillage sinueux repr´esente ici le front d’ondes sinueuses ´emis par une source mobile par rapport au fluide. Dans le rep`ere li´e au fluide, de vitesse u(z), l’aiguille se d´eplace verticalement vers le haut `a une vitesse u(z). Ainsi, le sillage n’apparaˆıt que si la vitesse de l’´ecoulement dans le rideau est sup´erieure `a celle des ondes sinueuses ou variqueuses (figure 2.10-a).

De cette construction graphique, on d´eduit implicitement la relation suivante: sinθ

2 =

c

u (2.6)

θ ´etant l’angle au sommet du sillage. Il apparaˆıt d’ailleurs que cet angle n’est d´efini que pour c < u.

Les vitesses de propagation des ondes sinueuses et variqueuses d´ependent des propri´et´es physiques du liquide, comme la densit´e ou la tension de surface, ainsi que de l’´epaisseur locale de fluide. Dans l’approximation d’une longueur d’onde grande devant l’´epaisseur, l’expression de ces vitesses [109] est:

csin=  2γ ρh 1/2 (2.7) pour les ondes sinueuses et

cvar =  γhk2 2ρ 1/2 (2.8) pour les ondes variqueuses, avec h(z) qui est l’´epaisseur locale du rideau et k le nombre d’onde. Il en ressort que la vitesse des ondes sinueuses ne d´epend pas de leur longueur d’onde alors que les ondes variqueuses sont fortement dispersives.

Il est `a noter que la longueur d’onde de ces ondes de surface ne semblent pas d´ependre de la taille de l’obstacle, du moins dans la plage des tailles essay´ees: l’aiguille utilis´ee comme obstacle a un diam`etre d’environ 1 mm. La forme de sillages en aval d’obstacles plus larges (2 `a 5 mm) est la mˆeme qu’avec l’aiguille. C’´etait pr´evisible pour les sillages sinueux, mais pour les variqueux, cela met en ´evidence que cvar est ind´ependant de l’obstacle et qu’il en est de mˆeme

(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

Fig. 2.8 – Evolution des sillages (η = 51.3 cP, d = 6.5 cm, fente vers le bas, Γ = 0.57 cm2_/s).

(a) z0 = 13.8 cm. (b) z0 = 9.4 cm. (c) z0 = 6.2 cm. (d) z0 = 3.5 cm. (e) Ondes remontant vers

le cylindre, disparition du sillage sinueux z0 = 3.0 cm. (f ) Sillage sinueux disparu et persistance

0 20 40 60 80 100 0 2 4 6 8 10 12 14 ΓΓΓΓ = 0.48 cm 2_{/ s} ΓΓΓΓ = 0.57 cm 2_{/ s} ΓΓΓΓ = 0.77 cm 2_{/ s} ΓΓΓΓ = 0.96 cm 2_{/ s} ΓΓΓΓ = 1.15 cm 2_{/ s} ΓΓΓΓ = 1.34 cm 2_{/ s}

θθθθ

/2 (°)

z (cm)

Fig. 2.9 – Evolution du demi-angle au sommet. η = 51.3 cP, cylindre d=6.5 cm, fente vers le bas. (a) θθθθ/2 ∆∆∆∆z = u.t r = c.t (b)

Fig. 2.10 – Description sch´ematique du sillage. (a) u > c observation d’un sillage. (b) u < c pas de sillage.

2.10-a, cela signifie que sa vitesse est tr`es faible devant la vitesse de l’´ecoulement du fluide, mˆeme tr`es pr`es du cylindre. Ainsi, toute perturbation associ´ee `a une d´eformation sym´etrique du rideau (onde variqueuse) va ˆetre tr`es rapidement advect´ee vers le bas sans avoir le temps de se d´evelopper et de s’amplifier dans le rideau. Ces d´eformations ne repr´esentent donc aucun ”danger” pour la stabilit´e de la nappe. Lin pr´evoit d’ailleurs par son ´etude lin´eaire que ces ondes sont amorties [113]. Les seules d´eformations importantes pour une ´etude de stabilit´e en termes d’ondes sont les d´eformations antisym´etriques (ondes sinueuses). Ainsi, dans tout ce qui suivra, la d´enomination de sillage fera r´ef´erence au sillage sinueux.