Revue de littérature
2.3 Comportement en petites déformations des enrobés bitumineux bitumineux
2.3.3 Modélisation du comportement des enrobés bitumineux dans le domaine viscoélastique linéaire domaine viscoélastique linéaire
2.3.3.1 Généralité
Le comportement mécanique d’un matériau peut être décrit par des modèles rhéologiques simples (Carter, 2002). Plusieurs éléments sont utilisés pour élaborer différents modèles de comportement des matériaux. Le tableau 2.2 présente trois éléments rhéologiques de base utilisés pour modéliser le comportement d’un enrobé bitumineux. Le ressort caractérisé par sa rigidité modélise le comportement élastique linéaire. L’amortisseur linéaire et l’amortisseur parabolique modélisent le comportement visqueux du matériau. Les modélisations des enrobés bitumineux et des bitumes sont basées sur un assemblage de ces éléments. Ces assemblages peuvent être une mise en série de plusieurs éléments ou une mise en parallèle, ou encore une combinaison des deux. Lors d’un assemblage en parallèle, les éléments sont associés rigidement par leurs extrémités. La contrainte totale est alors la somme des contraintes élémentaires de chaque élément et les déformations sont égales pour chacune des branches. Dans un assemblage en série, la déformation totale est la somme des déformations de chaque élément et les contraintes se conservent dans l’assemblage.
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Tableau 2.2 : Éléments rhéologiques de base
2.3.3.2 Modèles de Maxwell et de Kelvin-Voigt
Le modèle de Maxwell est construit par un assemblage en série d’un élément ressort et d’un amortisseur linéaire. Il représente le liquide viscoélastique le plus simple. Le modèle de Kelvin-Voigt représente le solide viscoélastique le plus simple. Il se compose d’un ressort et d’un amortisseur linéaire mis en parallèle. La représentation de ces deux modèles, leurs équations de comportement ainsi que leurs modules complexes sont donnés au tableau 2.3.
Ces deux modèles ne permettent pas de décrire correctement le comportement complexe des matériaux bitumineux (Commission européenne, 1999). Ils servent cependant à constituer des éléments de base pour des modèles plus complexes.
Le modèle de Maxwell généralisé est un modèle constitué d’un nombre fini (noté n) d’éléments de Maxwell mis en parallèle. Le tout est ensuite associé à un ressort et un amortisseur en parallèle. Le modèle de Kelvin-Voigt généralisé se compose de l’association en série d’éléments de Kelvin-Voigt associé, là aussi en série, à un ressort et un amortisseur linéaire. Ces deux modèles permettent de décrire tous les types de comportements viscoélastiques linéaires lorsque le nombre d’éléments n tend vers l’infini. Selon Di Benedetto et Corté (2005), ces deux modèles peuvent donc modéliser le comportement d’un enrobé bitumineux tant qu’un nombre suffisant d’éléments est utilisé.
Ressort
Comportement
Symbole
Élasticité linéaire
Viscosité linéaire
Viscosité non linéaire Amortisseur
linéaire
Amortisseur parabolique Élément
rhéologique
ou
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Tableau 2.3 : Représentation et module complexe des modèles de Maxwell, Maxwell généralisé, de Kelvin-Voigt et Kelvin-Voigt généralisé
2.3.3.3 Modèles de Huet, Huet-Sayegh et 2S2P1D
Le modèle de Huet (1963) est un modèle constitué de trois éléments en série (tableau 2.4). Le premier élément est un ressort de raideur 𝐸∞. Ce ressort modélise la réponse instantanée du modèle, c’est-à-dire quand les fréquences de sollicitation sont élevées et pour des températures très basses. Les deux autres éléments sont des amortisseurs, non linéaires, à loi de fluage parabolique de paramètre k et h. Pour les bitumes et les enrobés, ces deux paramètres vérifient la relation suivante : 0 < 𝑘 < ℎ < 1. Les enrobés bitumineux possèdent un module statique pour les basses fréquences et pour de hautes températures. Cette propriété n’étant pas prise en compte dans ce modèle, il n’est pas possible de correctement calculer les paramètres du modèle de Huet avec les données expérimentales pour cette plage d’utilisation.
Maxwell
j= Viscosité de l'amortisseur n°j
E
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Tableau 2.4 : Représentation des modèles de Huet, Huet-Sayegh et 2S2P1D
Le modèle de Huet a été adapté par Sayegh (1965) avec l’ajout d’un ressort en parallèle de très faible rigidité par rapport au ressort 𝐸∞. Ce modèle dit de Huet-Sayegh est représenté au tableau 2.4. Le module complexe associé à cette représentation est donné à l’équation 2-9.
𝐸∗(𝜔) = 𝐸0+ 𝐸∞− 𝐸0
1 + 𝛿 · (𝑖𝜔𝜏)−𝑘+ (𝑖𝜔𝜏)−ℎ Équation 2-9 Où : période (en rad/s)
𝜏= temps de relaxation qui est fonction de la température (en s) ℎ et 𝑘 = paramètres des éléments paraboliques vérifiant 0 < 𝑘 < ℎ < 1 𝛿= constante positive sans dimension
𝐸∞= module élastique instantané ou module vitreux (en MPa) 𝐸0= module élastique statique (en MPa)
À partir de ce modèle, la détermination de l’évolution du module complexe avec la température se fait en déterminant la loi de variation du paramètre avec la température. Ce paramètre traduit l’équivalence temps-température et est issu de l’équation d’Arrhénius proposé par Huet. Ce temps caractéristique est donc calculé en fonction de la température comme présenté à l’équation 2-10. E0,E: Rigidité des éléments ressorts k,h : Paramètre des éléments paraboliques
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𝜏(𝜃) = exp (𝐴0+ 𝐴1. 𝜃 + 𝐴2. 𝜃2) Équation 2-10 Où : 𝜃= température (en °C)
𝐴0, 𝐴1et 𝐴2 = coefficients de régression intrinsèques au matériau étudié
Dans la méthode d’essai LC 26-700 (Québec, 2007), le MTMDET préconise une expression du paramètre 𝜏ajusté pour une température de référence (𝑇𝑅) selon le principe d’équivalence temps-température comme indiqué à l’équation 2-11. Le paramètre de translation est une relation quadratique du différentiel entre la température et la température de référence. Cette relation est présentée à l’équation 2-12
𝜏 = 𝑎𝑇· 𝜏0 ⟷ log (𝜏) = log (𝜏0) + log (𝑎𝑇) Équation 2-11 𝑙𝑜𝑔(𝑎𝑇) = 𝑎1· (𝑇 − 𝑇𝑅) + 𝑎2· (𝑇 − 𝑇𝑅)2 Équation 2-12 Où : 𝑇= température (en°C),
𝑇𝑅= température de référence (=10 °C),
𝜏0, 𝑎1 et 𝑎2 = coefficients de régression intrinsèques au matériau étudié.
Le modèle de Huet-Sayegh permet de représenter correctement le comportement des enrobés bitumineux sur toute la gamme de fréquences. Les valeurs des coefficients de régression varient en fonction de la formulation des matériaux et du type de bitume utilisé.
Olard (2003) a repris le modèle de Huet-Sayegh en y ajoutant un amortisseur linéaire en série avec les deux amortisseurs paraboliques et le ressort. Ce modèle, dit 2S2P1D (2 Springs, 2 Parabolic elements, 1 Dashpot), est représenté au tableau 2.4. Le modèle 2S2P1D présente un très bon calage aux faibles fréquences et aux hautes températures à la fois pour les bitumes et les enrobés bitumineux. Il est préféré au modèle de Huet-Sayegh pour la modélisation du comportement des bitumes. Le modèle de Huet-Sayegh est retenu pour les enrobés bitumineux compte tenu des bonnes corrélations obtenues avec un minimum de paramètres.
2.3.3.4 Application des modèles de Huet, Huet-Sayegh et 2S2P1D
Les paramètres des trois modèles présentés au tableau 2.4 peuvent être déterminés à l’aide du logiciel Viscoanalyse (Chailleux et coll., 2006). Cet outil de calcul permet de visualiser les
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mesures expérimentales de module complexe, d’analyser les courbes isothermes et isochrones, de construire les courbes maîtresses pour une température imposée et de déterminer les paramètres des modèles de Huet, Huet-Sayegh et 2S2P1D. Ce logiciel peut être utilisé à la fois pour des enrobés et des liants bitumineux. Le tableau 2.5 présente les paramètres obtenus pour les modèles de Huet, Huet-Sayegh et 2S2P1D de l’enrobé BBSG 0/10 utilisé lors de ce projet. Le paramètre β qui est présenté dans le tableau est directement lié à la viscosité newtonienne (paramètre η) du modèle 2S2P1D.
Tableau 2.5 : Paramètres des modèles de Huet, Huet-Sayegh et 2S2P1D pour l’enrobé BBSG 0/10 La figure 2.7 présente une comparaison entre ces trois modèles et les données de laboratoire obtenues pour l’enrobé BBSG 0/10. Les valeurs du module sont présentées dans le plan de Cole et Cole et de Black.
Figure 2.7 : Modélisation du module complexe obtenu expérimentalement avec le modèle de Huet, Huet-Sayegh et 2S2P1D pour l’enrobé BBSG 0/10
10000 20000 30000
(a) Module complexe dans le plan de Cole et Cole
10 100 1000 10000 100000
(b) Module complexe dans l'espace de Black
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Pour les hautes températures et les basses fréquences, l’angle de phase diminue étant donné que les enrobés possèdent un module statique. Comme illustré sur la figure 2.7, le calage pour cette plage d’utilisation est meilleur avec le modèle de Huet-Sayegh et 2S2P1D. Dans le plan de Cole et Cole, les trois modèles présentent des corrélations très bonnes avec les données expérimentales. À des fins de modélisations, ces trois modèles peuvent être utilisés. Le choix du modèle s’effectue en fonction de la plage de fréquences et de températures sous laquelle le matériau sera étudié et en fonction du type de matériau.