Marque deux points A et B. Construis un triangle PAB tel que la médiane [PM] ait la même longueur que [AB]

10. Trace un cercle O de 4 cm de rayon et marques-y un point P. En utilisant

ton compas, construis les points de O qui sont à 5 cm de P, désigne-les par

A et B. Où sont les points de O qui sont à plus de 5 cm de P

Ces exercices sont issus d’un manuel. Le professeur les reprend mais s’écarte néanmoins de leur aspect très concret, en remplaçant les « cm » par des unités. Dans les leçons suivantes, il proposera les exercices qui suivent, notés sur une feuille qui a été remise au chercheur :

1) Dépassement

1. Marque deux points F et F distants de 5cm. Avec F comme centre, dessine

des cercles dont les rayons mesurent un nombre entier de cm. Fais de même

avec P. Tu obtiens un quadrillage circulaire. Sur ce quadrillage repère les

points qui sont à 4 cm de F et à 5 cm de F et les points qui sont à 6cm de F et à

5cm de F

• En bleu marque les points équidistants de F et de F, joins-les par une ligne

continue

• En vert marque les points situés 1cm plus loin de F que de F, joins-les par une

ligne continue

• En rouge marque les points situés 1cm plus près de F que de F, joins-les par

une ligne continue

2. Sur une autre feuille réalise un quadrillage circulaire. Marque en bleu les

points tels que la somme des distances de ces points à F et à F est 6cm ... relie-

les!

Avec ces exercices, les élèves vont découvrir certains lieux géométriques (ellipse, hyperbole). Conclusion

Cette leçon a pour but de faire apprendre à formuler quelques définitions de manière précise. Ce qui frappe, c’est qu’aucun élève ne se raccroche à la réalité sensible, ni même à une figure géométrique. Ils sont « plongés » dans l’univers du langage mathématique et y travaillent volontiers. Ils s’expriment avec l’idiome des mathématiques, leurs réponses ne comportent pas de «je », ni d’énoncés performatifs, dans la partie théorique du moins.

2) Représentations des élèves

Qu'est-ce qui est intéressant dans ce que tu viens d'apprendre et pourquoi ?

Le résultat de la question conforte l’impression qu’on avait déjà : les élèves sont intéressés par la leçon. Seulement deux résultats apparaissent qui montrent un manque d’intérêt pour la matière: « Parce qu ’on en a besoin pour l'examen. » et « ça ne va pas nous servir à grand-chose ». Les autres élèves semblent enthousiastes par ce qu’ils viennent d’apprendre : « Tout », « C’était chouette », « Le plaisir de savoir », etc.

« Je connaissais la plupart des choses mais J'en ai appris deux ou trois qui me serviront plus tard. »

« Même si ça ne va pas nous servir, c 'est toujours intéressant » et un de ces deux élèves ajoute : « il y a des métiers où ça va servir, architecte ».

Chapitre 10 Analyse des classes de deuxième année

« Ça permettra de continuer le cours avec d’autres informations, pour progresser dans la matière ». En fait, on a l’impression que ce cours a pour but de lancer le sujet en fournissant aux élèves un ensemble d’informations, mais qu’elles ne sont pas, ou pas encore, très structurées. L’exercice langagier auquel doivent se livrer les élèves semble avoir pour but de souligner des exigences, des contraintes qui seront nécessaires pour la suite : se montrer précis, attentif aux différentes significations d’un terme. Mais on ne voit pas encore à quoi elles vont servir.

Dans beaucoup de réponses, ils font allusion à la matière qu’ils viennent de voir : - J’ai appris toutes les droites que peut contenir un cercle

- La géométrie, ça change pour tous les polygones, et des définitions aussi - Les rayons, le diamètre

- La tangente et deux autres droites (utile pour le supérieur)

- Intéressant de voir toutes les droites qui passent par le cercle ou pas - Les droites du cercle (deux élèves)

- Les différentes façons de faire un cercle, une corde » mais sans préciser l ’intérêt, les figures géométriques sont un but en soi.

Un seul élève parle de constmction : « Les différentes façons pour construire des droites ou des segments dans un cercle ».

Deux élèves ont une idée plus fonctionnelle de la définition : « Parce qu ’on va pouvoir développer plusieurs idées et des exercices », et «.J’ai appris les propriétés d’un cercle, en soi ce n’est pas important, mais ça m’aidera pour certaines démonstrations et d’autres choses ».

Huit élèves parlent du langage : « Mon vocabulaire s ’est enrichi de trois mots ! », « Les termes mathématiques (« sinon, on ne sait pas ce qu ’on dit »), des définitions compliquées », « La connaissance des mots auxquels on a affaire » (pour savoir ce qu ’on dit), etc.

C’est l’aspect langagier qui semble l’emporter sur les autres intérêts de la définition, les élèves sont sensibilisés aux mots mathématiques, à l’idiome et aux constructions de phrases propres à l’énonciation de concepts.

Quelques semaines plus tard, nous leur avons posés la question de Tutilité d’ime définition. Le mot qui revient le plus souvent est « comprendre », 11 élèves le soulignent, mais ils attribuent différents effets à ce terme.

1) Comprendre serait donner une signification précise à un mot, ce qui leur sera utile pour les exercices, les démonstrations ;

La définition du mot sert à mieux COMPRENDRE le mot utilisé. Même si je trouve que c’est vm petit peu embêtant de tout connaître par cœur je pense que c’et utile pour pouvoir mieux l’appliquer dans les exercices + démonstrations.

Elles servent à COMPRENDRE un mot. Elles servent aux démonstrations. Grâce à elles, on comprend mieux le mot et c ’est plus facile.

Elles servent à savoir appliquer et à COMPRENDRE toutes les opérations que l’on fait.

À retenir ce qu 'est quelque chose. Et à pouvoir donner un nom à des choses que l ’on va faire ou rencontrer. A être obligé d’appeler quelque chose par son nom et pas par « truc machin ».

2) L’idée de mettre en phrases, de mettre des mots sur tme idée, une notion, un concept pour saisir autrement ou plus finement de quoi il s’agit :

A nous aider à COMPRENDRE de manière littérale, d’une autre manière que par un schéma.

A visualiser le schéma, ça nous donne une idée du dessin et inversement. On peut mieux appliquer ce que l ’on demande grâce aux définitions.

Elles servent je pense à nous faire COMPRENDRE quelque chose en français, ce qui nous permet d’avoir une « roue de secours » lorsqu’on ne sait pas vraiment exprimer quelque chose en math on s ’en sert. Elles permettent aussi de mettre sous forme de phrases des expressions de mathématiques.

Le langage serait un moyen de penser.

3) L’idée qu’tme définition est une manière de catégoriser les objets :

Les définitions servent à COMPRENDRE mieux de quoi on parle. Pour COMPRENDRE les différences entre plusieurs choses et parfois peuvent servir à savoir la tracer plus tard.

4) Certains se rendent compte qu’ime définition permet de généraliser (de synthétiser) : Elles servent à définir ce que l ’on peut démontrer. Elles servent à faire une généralisation.

Les définitions servent à faire en une (ou quelques) phrases, une sorte de synthèse de ce qu ’on apprend, pour mieux COMPRENDRE, mieia définir la matière vue.

Les définitions servent à avoir l’esprit clair, à savoir de quoi on parle, à avoir un minimum de théorie et s’y retrouver dans la pratique.

5) Une définition serait un point de départ pour 1a pratique:

À aider pour mettre en application la théorie. A aider à faire les démonstrations. Les définitions servent à nous aider à trouver, en voyant les exercices, si, par exercice on a un angle plat ou un angle droit. Elles servent à nous faire appliquer les théories, c ’est pourquoi il est important de connaître les définitions.

Chapitre 10 Analyse des classes de deuxième année

6) Pour quelques élèves, une définition permet d’expliquer, d’où l’idée de pouvoir transmettre ce qu’on sait.

Pour moi, c 'est une manière de retenir, mais le mieux c 'est d’en construire une, ce qui prouve que l ’on a compris le sujet et que l'on peut l'expliquer.

Les définitions servent à expliquer « à quoi servent telle ou telle méthode de calcul ». Elles servent à expliquer par une phrase quelque chose qui nous est important et utile de retenir, pour pouvoir avancer.

À expliquer en des termes justes ce que l’on applique, ou ce que l’on fait pour des matières comme la factorisation ou autres...

On retrouve dans ces réponses, plusieurs caractéristiques d’une définition : 1 * L’explicitation d’une idée, d’une notion, ou d’un concept

La possibilité d’établir des catégorisations, donc de construire des concepts. La possibilité de généraliser, de synthétiser.

Une définition serait un point de départ pour des exercices, par application d’une théorie 2* Une précision qui permettra de résoudre les exercices, et plus particulièrement les démonstrations

3* Une possibilité d’expliquer, donc de transmettre.

Evidemment, chaque élève ne donne qu’un ou deux de ces constats à la fois.

3) Conceptions de l'enseignant

a) Ses conceptions du cours de mathématiques

Voici le début de son entretien. Traumatisé par les mathématiques étant jeune, essaie de produire un cours qui ne soit pas rébarbatif. Ce n 'est pas parce qu ’il est rébarbatif qu ’il est meilleur. Avant tout, je suis prêt à perdre 10-20 min au début d’une leçon pour que le courant passe. E est indispensable que cela fonctionne. Les chapitres en eux-mêmes m'importent très peu. Je veux leur apprendre à penser, à réfléchir.

Pour que les élèves se mobilisent en classe, il est essentiel, selon ce professeur, que les élèves soient mis dans une situation telle qu’ils aient envie de se mettre en activité.

Le contenu ne l’intéresse pas, tout en signalant son existence.

Sur l’utilité des mathématiques dans la vie courante, ce professeur répond :

Oui mais pas au premier degré. C’est apprendre à penser qui est important. Mais les maths pour calculer une facture, ça, ça ne m'intéresse pas.

Les mathématiques ne seraient pas un outil, pas même un instrument utilisable à des fins dans la réalité sensible. Il s’agit plutôt d’un moyen d’éducation. Sans parler de théorie, il rejoint peut-être l’idée d’une théorie qui est un jugement. Mais il ne va pas jusque là dans ses propos. Lorsque le chercheur lui a posé la question de savoir eomment il débutait ses chapitres, par exemple par un problème concret, il répond :

souvent, pas obligatoirement, souvent. Un problème concret ? Du moins un problème de recherche qui va parfois mener, par une anecdote, par un événement historique, oui il y a sovcvent une introduction.

Ceci rejoint la première question. L’idée que les mathématiques apprennent à penser se retrouve aussi dans ses réponses aux deux questions suivantes.

Le chercheur : Est-il utile d’expliquer aux élèves pourquoi il est intéressant de suivre un cours de mathématiques ?

Le professeur : Non ce n 'est pas utile, je préfère qu 'ils le découvrent par eux-mêmes, si je leur explique, cela ne fonctionnera pas, je veux qu 'ils le sentent à quoi ça peut servir et je leur dis toujours par rapport à un élève qui dit « oh le latin ça ne sert à rien ! » mais les maths cela ne sert à rien non plus, le néerlandais pareil, c 'est tout qui est indispensable, mais leur dire que c 'est important, je crois que c 'est contre-productif.

Sans parler de constructivisme, ce professeur en émet les idées :

je préfère qu 'ils le découvrent par eux-mêmes, si je leur explique, cela ne fonctionnera pas » et « leur dire que c "est important, je crois que c 'est contre-productif.

Les élèves doivent comprendre par eux-mêmes, d’où il est important de le leur apprendre, ce qui leur permettra d’être autonomes, d’acquérir une habitude, celle de ne rien se laisser imposer. Une autre idée est émise, celle d’un tout qui est nécessaire à la formation, toutes les disciplines proposées au secondaire concourent à les rendre aptes à devenir adultes.

Le chercheur : L'apprentissage des mathématiques au début du secondaire doit servir à poser un regard critique sur la vie de tous les jours. Que pensez-vous de cette affirmation ?

Le professeur : Oui quelque part, comme les autres branches, quelque part ne pas accepter tout, mais se dire qu’on doit démontrer quelque chose et ne pas le gober comme ça, oui quelque part, ça a des répercussions dans la vie de tous les jours ; ne pas tout prendre comme ça [il réfléchit un moment], un petit peu ce que Descartes a fait.

Le professeur reprend les idées émises dans les questions précédentes, mais cette fois, il parle de démontrer.

b) Ce qu’il appelle compétences et compétences transversales

Pour ce professeur, les compétences en maths sont les mêmes qu 'en latin, en néerlandais, que partout. C’est par soit même qu’il faut essayer d’acquérir une certaine autonomie, arriver soi-même en se débrouillant avec les outils qu’on a reçu à trouver les réponses aux differentes questions, avec bien sûr, un apport théorique indispensable, mais c 'est [il réfléchit

un moment^ quelque part comme compétences c’est arriver soi-même à trouver, à se dépatouiller pour trouver les [il réfléchit un moment]_5o/Mho«j aux problèmes.

L’idée première d’vme compétence, celle de se trouver apte à faire face à toute situation nouvelle, est présente. Toutefois, l’apprentissage de compétences (selon la définition adoptée) ne peut se faire que sur un contenu, lequel est mentionné de manière évasive {un apport théorique indispensable). Ceci semble en accord avec la réponse à la première question où ce professeur signale que :

Les chapitres en ei4X-mêmes m’importent très peu. Je veux leur apprendre à penser, à réfléchir.

En fait, on a l’impression qu’une compétence présente toujours un caractère de transversalité. Le professeur en a parlé lorsque la question de l’utilité d’une définition lui a été posée :

la définition en elle-même, il y a deux [il réfléchit un moment] aspects : au niveau des compétences transversales, c 'est apprendre une certaine forme de rigueur, parfois il y a deux mots, et même si c’est presque juste, ben non. Ce n’est plus faire preuve de rigueur en mathématiques et puis pour pas mal de chapitres, cela va avoir une utilité...

Chapitre 10 Analyse des classes de deuxième année

Et lorsque le chercheur lui demande de réagir à la suggestion : montrer en classe que l’enseignant ne trouve pas toujours immédiatement la solution d’un problème ou d’une démonstration n ’est pas à faire devant les élèves,

il répond : c ’est à faire, c ’est à faire, et j ’ai parfois un élève qui me pose une question : « est-ce qu’on peut le faire par un autre moyen ? », dans le cadre d’une démonstration ou d’un exercice, et bien, je m ’assieds avec eux « hé bien voilà un bon exercice, on y va », on cherche ensemble, il y a peut-être moyen, peut-être pas moyen, au contraire c ’est bien, [silence] à mes yeux.

Encore une fois, il insiste sur l’idée de la réflexion sur tout problème qui se pose mais sans préciser comment chercher.

Pour ce professeur, l’idée de faire face à une situation nouvelle, et de pouvoir résoudre les problèmes qui se posent est conforme à ses conceptions, sans oublier « l’apport théorique ». Une certaine idée de la transversalité apparaît :

Oui quelque part, comme les autres branches, quelque part ne pas accepter tout, mais se dire qu ’on doit démontrer quelque chose... ».

11 insiste d’ailleurs sur « comment chercher », et il rejoint ainsi de manière cohérente sa conception du contenu qui lui paraît sonune toute secondaire par rapport à l’enjeu de la formation de l’adulte. Les compétences ne concernent donc pas des sujets de la vie courante, c’est apprendre à penser qui est important. Mais les maths pour calculer une facture, ça, ça ne m ’intéresse pas.