Conclusions sur les classes de deuxième année de l'enseignement secondaire

1) Les compétences

Les rires que suscitent la question du chercheur sur ce que représentent les compétences, conduisent à penser que les professeurs en ont certainement entendu parler. Mais dans l’échantillon que nous avons, rares sont ceux qui paraissent s’y intéresser. Ceci est d’ailleurs conforme aux résultats de l’enquête dont il a été question dans l’introduction de ce travail. On a l’impression première que les professeurs mettent dans les compétences ce qu’ils souhaitent y voir, et qui leur semblerait conforme à leurs conceptions des mathématiques à enseigner. Un professeur en parle cependant volontiers et c’est pour souligner sa difficulté à les évaluer, mais c’est le seul (professeur 2). Un autre les attaque avec virulence. Tous les autres n’en parlent pas sauf demande expresse du chercheur, et au cours de l’entretien, ils ne s’attardent pas sur le sujet. Or, nous avons vu que l’influence de la société sur l’école est importante. Et lorsqu’on sait que, selon plusieurs auteurs, la notion de compétence serait issue du monde du travail (Rey, 2009, p. 107), et qu’on remarque que certains programmes de première année du secondaire ont ôté une heure de mathématiques par semaine au profit d’« activités mathématiques » (où figurent des modules, notamment « exploiter des informations provenant des domaines économique et social », ou encore « utiliser des mathématiques dans des contextes à caractère économique »), on est tenté d’accorder un certain crédit aux réactions de ces professeurs. Alors, leurs réticences ne seraient-elles pas plutôt une cécité d’ordre psychologique ? Ne traduirait-elle pas la volonté délibérée de les ôter coûte que coûte parce qu’elles gênent ?

Il existe im consensus parmi un certain nombre de chercheurs en sciences de l’éducation pour attribuer à la compétence, l’aptitude à effectuer des tâches, généralement nouvelles pour les élèves. En cela, ces compétences affichent la finalité de leur exercice. Dans les réponses obtenues auprès des enseignants, cette particularité n’est guère soulevée, ou alors pour dire que les compétences en mathématiques seront utiles dans d’autres matières, la physique par exemple, ce qui signifie autre chose. Le but d’une tâche en mathématiques ne serait pas de la résoudre mais d’utiliser son résultat ailleurs. Pour la majorité des professeurs dont nous avons observé les leçons, les compétences présentent un caractère de transversalité qui se traduit dans la manière d’afflonter les problèmes et de les résoudre- les mots « rigueur, réfléchir, précision» interviennent souvent. Celle-ci serait commune aux différentes branches des mathématiques enseignées. Et certains professeurs estiment que les mathématiques qu’ils enseignent revêtent les mêmes caractéristiques que les autres disciplines (et plusieurs enseignants citent le latin) sur le plan de la formation des élèves.

On pourrait émettre l’hypothèse qu’une raison de cette absence affichée de tâche à effectuer, serait que cette dernière n’existe pas vraiment, ou du moins, faire des mathématiques serait quelque chose qui n’aurait pas de réelle finalité. Une explication à cette conception particulière des compétences pourrait être le fait que les exercices de mathématiques restent immatériels, les applications concernent des objets qui sont des idéalités. Nous verrons dans les conceptions des enseignants ce qu’il en est.

La question du cadrage d’im problème à résoudre n’est guère relevée par les professeurs. Nous avons vu que cadrer une situation, c’est rechercher tous les éléments qui permettent d’effectuer la tâche. Il s’agit de choisir des énoncés, d’observer judicieusement, etc. Cette

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recherche doit permettre de résoudre la tâche, mais on ne sait pas comment cela se produit. Cette activité importante a lieu dans « la boîte noire ». Quand on dit de quelqu’un qu’il est compétent, on estime cette aptitude à partir du résultat obtenu ; et il est difficile de signaler les traits spécifiques de l’individu qui lui ont permis de se montrer compétent. Les travaux de Tomasello indiquent qu’un individu est capable de se rendre compte que l’autre est un être intentionnel, tout comme lui, et qu’il est possible de réaliser dans une certaine mesure, les intentions de l’autre. Lorsque le chercheur a suggéré que montrer en classe que l'enseignant ne troicve pas toujours immédiatement la solution d’un problème ou d’une démonstration n 'est pas à faire devant les élèves, les professeurs n’ont pas, ou rarement et de manière très indirecte, évoqué l’idée qu’il serait peut-être intéressant de montrer comment le professeur recherchait une solution à la question qui se pose. Peut-être n’est-ce pas primordial à leurs yeux. Ils ont parfois approuvé cette suggestion, mais en y apportant un autre regard : ils ont le sentiment que c’est l’occasion de mettre l’élève en valeur s’il a trouvé ime solution à laquelle le professeur n’avait pas pensé lui-même. À l’opposé, certains professeurs n’apprécient pas de montrer qu’il existe une solution, ou une méthode, à laquelle ils n’avaient pas songé, ce qui les positionnerait, selon eux, dans un état d’infériorité par rapport à leurs élèves. Comment fonctionne cette boîte noire en chacun de nous ? Ryle estime qu’on ne peut saisir que ce qui est effectué concrètement, et dans le cas de la classe, ce qui est exprimé par la parole ou l’écrit. Tout au plus, on peut émettre ime interprétation via ces données, de ce que l’élève a pensé (ou comment il a pensé) en établissant une corrélation avec ce qui se passe chez nous- même : les données qu’on fournit ont été pensées par nous, d’ime certaine manière, et on peut estimer qu’il en a été de même chez l’élève. Mais on peut se poser la question de la fiabilité de cette interprétation. Elle semblerait plus crédible si une stmcture existait dans les énoncés du cadre de référence du problème posé, parce que dans ce cas, la réflexion serait dirigée par les liens logiques entre les énoncés. Et il n’est pas certain que cette stmcture existe dans la tête de l’élève ni même nécessairement dans celle du professeur. Ceci pousserait l’enseignant à s’attacher plutôt à la réponse qu’à la méthode de recherche, ce qui entre en contradiction avec leurs réponses favorables à une certaine transversalité des compétences. Le malaise est sans doute bien réel.

Chez beaucoup de ces professeurs observés, les compétences seraient plutôt rattachées à des compétences transversales. Or, nous avons vu qu’une certaine conception des compétences les rattache à un contenu ; et que ces dernières ne seraient pas transversales. Ou si elles le sont, alors, elles ne concerneraient pas un contenu particulier, et seraient plutôt à caractère épistémologique : apprendre à construire un texte, à raisonner à partir de cela, etc. Dans nos observations, les professeurs s’attachent peu au contenu. Ce qui les intéresse, c’est, selon eux, faire réfléchir les élèves, leur apprendre la rigueur, la précision. Et cela s’oppose à leurs réactions à la suggestion du chercheur proposée ci-dessus de ne pas montrer qu’on ignore la solution d’un problème. La didactique générale passerait, dans leurs conceptions personnelles, avant le contenu dans l’élaboration du cours (ils parlent très peu du contenu dans les entretiens) mais sur le terrain, il en serait autrement. À nouveau, un malaise se fait sentir.

2) Les conceptions de l'enseignant du cours de mathématiques

Lorsque le chercheur aborde cette question avec l’enseignant, ce dernier commence par parler de l’allure générale du cours, et des élèves, en somme d’un point de vue pédagogique. Et deux groupes de professeurs se distinguent.

Les premiers se sentent contraints de donner un cours qui ne correspond pas à leurs souhaits. Leurs élèves, disent-ils, exigent constamment de trouver une utilisation immédiate à ce qui leur est enseigné. Or, pour ces professeurs, les mathématiques proposent autre chose : elles apprennent des démarches, des raisonnements, à faire preuve de rigueur, à se montrer très précis. Ils éprouvent donc des contraintes très fortes, de la part des élèves, mais aussi des inspecteurs, et finalement de la société, à travers certains programmes par exemple.

Ils adaptent leurs cours aux élèves, pas seulement à l’état d’un certain nombre de connaissances et de pratiques de savoir, mais aux motivations superficielles ou affichées dans la classe, ce qui ne coïncide pas avec leurs conceptions des mathématiques à enseigner. Ils se réfugient dans une forme de contenu, comme l’obtention d’un résultat (mesurer des segments de droite, mesurer des angles) et non pas d’une réflexion sur la manière de l’obtenir.

En revanche, un second groupe de professeurs ne semble pas ressentir de tels problèmes. Ils signalent ouvertement qu’ils ont à coeur d’assurer certaines formations. Ils préparent leurs cours avec leurs conceptions personnelles, et ils ajustent en quelque sorte la classe et le cours, mais celui-ci correspond avant tout à leurs souhaits profonds. Par exemple :

Donc, avant tout, je suis prêt à perdre dix, quinze, vingt minutes au début d’une leçon pour que le cours en passe ... Il est indispensable qu’avant ça fonctionne. Et je dirais que les chapitres en eux-mêmes...m’importent très très peu. Je veux apprendre à penser, apprendre à réfléchir. Donc, c ’est un cours où on apprend à réfléchir.

Ou encore : Pour moi, ce doit être un plaisir pour les élèves, plaisir mais tout en étant très rigoureux. Donc pour eux, quand ils doivent sortir de mon cours, ils doivent avoir appris quelque chose en s ’amusant, en s ’amusant entre guillemets. Mais tout en étant conscient de la rigueur de notre cours, pour leur apprendre, justement moi ce que je leur dit toujours, c ’est que mon cours de mathématiques, c’est un outil de travail pour les autres branches scientifiques plus tard et pour leur raisonnement.

Ou encore : dans l ’algèbre, euh, comment je dirais, je n ’attache qu ’une moyenne importance à la réponse finale hein, j’attache énormément d’importance au développement, à la manière dont ils doivent réfléchir et aussi à la manière dont ils écrivent leurs réponses. En géométrie, moi je suis très attachée à tout ce qui est constructions, je pense que je me différencie de pas mal de mes collègues pour ça. C’est vrai que je fais quelques démonstrations en deuxième mais je crois que c’est pas..., pour moi, c’est pas essentiel. J’estime qu ’ils sont trop jeunes. On constate qu’ils pensent d’abord à vme formation des élèves sans s’attacher particulièrement à un contenu. Ceci va les conduire à considérer une certaine forme d’enseignement, et ensuite, ils adaptent les mathématiques à celle-ci.

Le côté utilitaire que peuvent présenter des mathématiques n’est pas primordial chez la plupart de ceux que nous avons interrogés. Certains le montrent, d’autres pas. Certains s’y sentent contraints, d’autres pas. Mais ce côté utile, ils le considèrent comme l’utilité immédiate, telle que le fait que les mathématiques peuvent être un outil de calculs au service de chacun dans la vie quotidienne.

L’intérêt des mathématiques est ailleurs. Les professeurs parlent surtout de l’apprentissage de la réflexion, du raisonnement, de la rigueur, sans toutefois expliquer clairement ce qu’ils entendent dans tout cela, il s’agit de maîtriser des démarches pour résoudre des problèmes. Ce sont des méthodes de pensée qu’on peut transposer dans d’autres domaines, différents des mathématiques.

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Et ceci rejoint les conceptions des compétences transversales de ces enseignants. Il est frappant de noter aussi, que lors des entretiens, les professeurs n’ont pas parlé, ou peu, des objets mathématiques enseignés. Ce qui paraît primordial, ce sont ces démarches, ces manières de réfléchir, non pas le contenu. Du coup, la question de celui-ci se pose. Qu’est-ce qu’un contenu en mathématiques ? Peut-être n’est-il pas aussi présent que ce qu’on estimerait au premier abord. Pour ces professems, fabriquer un cours de maths, c’est d’abord songer à apprendre du raisonnement. Nous avons vu dans la première partie, qu’entre les travaux des chercheurs, et les enseignants, un lexique passe : quelques mots ou quelques phrases, peut- être. Et puis, il vient aussi ime manière de réfléchir, observer des régularités, démontrer, ... . Toutes ces données vont permettre de construire un texte, ou tout au moins, ime certaine forme textuelle, qu’il faut adapter aux élèves (cf. le troisième exemple cité ci-dessus). Ce serait le contenu. Mais cette forme textuelle est le résultat de conceptions personnelles de l’enseignant, et de sa didactique. Les observations de classes montrent d’ailleurs des cours très différents, alors que le lexique est sensiblement le même la plupart du temps. On y parle de médiatrice, de symétries orthogonales, notamment.

3) Les observations de classe : la formulation d'une définition

En observant les leçons de ces enseignants, nous avons retenu quatre dimensions, qui bien souvent s’avèrent être le résultat d’un équilibre, parfois instable, entre deux tendances extrêmes. Nous les avons appelées les quatre tensions : l’utilisation d’un domaine de travail, la formulation d’une définition, le type de validation de cette définition, les représentations du professeur et des élèves.

Les différents domaines de travail

Différents domaines interviennent au cours de la leçon. Et cela va de la réalité sensible à un ensemble d’énoncés de géométrie, en passant par des dessins géométriques dans le plan. Quel domaine le professeur souhaite-t-il privilégier? La définition que le professeur fait apprendre, ne se situe pas dans la réalité sensible. Mais le professeur peut prendre alors deux positions qui s’opposent. Il peut proposer rme définition comme issue de la réalité sensible (la projection est une traduction de Tombre de Tarbre) ou provenant de l’observation d’un dessin géométrique (une corde d’un cercle) ou au contraire, le professeur peut la présenter en termes mathématiques et l’illustrer avec la réalité sensible (une translation est illustrée par le mouvement des craies dans un tiroir), ce qui serait alors la présentation d’une interprétation particulière. Dans le premier cas, on peut se poser la question de savoir si cette traduction immédiate conduit ensuite à montrer la généralisation qui s’effectue en passant d’une situation particulière à un domaine strictement mathématique. Les réponses des élèves (classe 7) montrent que, dans cette leçon, il n’en est rien.

Montrer l’utilité immédiate de ce qu’on enseigne en partant d’un sujet issu de la réalité sensible, peut conduire les élèves à ne considérer les mathématiques qu’ils apprennent que nécessaires à ce domaine précis - Us n 'acceptent déjà pas toujours les exemples qu 'on donne en disant que cela ne leur servira à rien « de toute façon, je ne m'en servirai pas, je ne ferai pas ça ! » (Professeur 8) - et occulter l’intérêt d’accéder à im deuxième niveau, celui qui

consiste à traiter d’idéalités ; et du coup, ces mathématiques n’intéresseraient qu’un nombre restreint d’élèves.

Si partir d’une situation particulière ne conduit pas nécessairement à faire sentir que les mathématiques constituent une sorte de généralisation d’un problème qui se pose dans une situation singulière, est-ce que la présentation d’un cours qui s’éloigne de la vie courante pour ne considérer que des idéalités mathématiques et pour s’exercer à les pratiquer, ne poiurait pas intéresser les élèves ? Sans fournir véritablement de preuve, nous constatons cependant que certaines leçons paraissent le montrer, dans une certaine mesure.

Plusieurs professeurs proposent des leçons qui se confinent dans des mathématiques pures, sans insister sur la réalité sensible, celle-ci n’intervenant qu’occasionnellement à titre d’illustration. Et les élèves fournissent des réponses, aux questions que nous leur avons posées, qui affichent souvent de l’intérêt pour la leçon, et qui estiment que les mathématiques vont leur apprendre à réfléchir (dans une proportion supérieure à la moyenne obtenue sur l’ensemble de l’échantillon). Ce sont par exemple, les élèves des classes 1 et 3. La question se pose alors du sens que ce genre de leçon pourrait prendre auprès des élèves.

Les représentations

Lors de la leçon, les élèves répondent aux interrogations de leur professeur, et certaines de leurs réponses traduisent, dans une certaine mesure, les représentations qu’ils se font du sujet proposé. Par exemple, lorsqu’un élève dit « î ’axe est parallèle aux barres », le terme « barres » n’appartient pas à l’idiome des mathématiques, il s’agirait plutôt d’ime représentation iconique ; en revanche, lorsque l’élève complète la phrase du professeur en disant « est un point C tel que l’image de cette figure par la symétrie orthogonale - heu centrale ! - de centre C est la figure elle-même », il se situe dans les mathématiques composées d’objets idéels (forgés à partir de la réalité sensible) et idéaux (comme des concepts), ceci dans la mesure où il fournit des énoncés avec l’idiome particulier. À chaque domaine de travail, il existerait une représentation différente de l’objet défini. Dans la situation, il s’agit d’im objet dans la réalité sensible ou d’un dessin (une médiatrice dessinée, le mouvement des craies pour illustrer une translation). En géométrie, le professeur tend à faire entrer les élèves dans un monde d’énoncés. Ces derniers s’expriment avec la langue naturelle en utilisant certains termes particuliers et une syntaxe de phrases qui exclut les deux premières personnes de la conjugaison, et qui utilise plutôt des verbes d’état.

Nous observons que les élèves peuvent avoir une représentation iconique de l’objet qu’il faut définir. Et lorsque le professeur passe à la formulation de concepts, la représentation doit devenir symbolique puisque des concepts sont des énoncés. Mais, ce passage ne s’effectue pas aussi simplement que cela pourrait en avoir l’air. Par exemple, le professeur qui enseigne les axes de symétrie d’ime figure obtient d’élèves, les réponses : / ’axe est parallèle aux barres, ou encore, il se situe entre dem parties symétriques. Un mélange se tient, dans le discours des élèves, entre des mots uniquement issus de la langue naturelle, et des termes mathématiques. Dans une autre classe, le professeur apprend à formuler la définition d’une symétrie centrale ; il vise un énoncé et attend cela dans les réponses des élèves. Mais un élève intervient en demandant s’il peut utiliser une équerre. Cet élève s’accroche aux constmctions d’im dessin géométrique. La difficulté semble se situer dans le passage vers une représentation symbolique. L’utilisation d’indices pourrait-elle aider ? Toutefois, il existe le danger que l’indice (comme une indication de constmction) ne guide plutôt l’élève vers une représentation iconique et non symbolique comme il serait souhaitable. Un professeur tente d’utiliser presque simultanément deux types de représentation : il essaie de faire formuler une définition de manière très formalisée tout en gardant le dessin à l’esprit (classe 5, lignes 38- 47).

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Dans le contexte de la géométrie, la définition devient un concept défini à partir d’autres. Supposons, pour faciliter la compréhension, qu’on appelle représentation 1 celle de la situation, représentation 2 celle du concept (et là encore, il faudra nuancer).

Quand le professeur illustre sa définition en prenant un exemple de la réalité sensible, l’élève passe du domaine contextuel à la réalité qu’il connaît. Et cela ne pose, semble-t-il, pas de problème ; l’élève se rend compte du changement de domaine, même si le professeur ne le dit pas explicitement. La définition de la représentation 2 est illustrée par quelque chose qui est une représentation 1. Par contre, l’inverse est problématique. En effet, on constate que lorsque le professeur passe de réalité sensible à un domaine contextuel, non seulement, la définition est modifiée dans son expression, mais le professeur ne signale pas ce changement