L'enseignement secondaire supérieur
3. Enseignement secondaire supérieur - Professeur 2 - Classe 2a
1 ° Observation de la première leçon
L’objet du cours concerne les projections parallèles dans l’espace : projection sur une droite parallèlement à un plan et projection sur un plan parallèlement à une droite.
Le professeur fait d’abord quelques rappels des pré-requis : équipollence, vecteurs, théorème de Thalès. Les élèves ont vu les projections orthogonales dans le secondaire inférieur (les deux premières années de l’enseignement secondaire).
Ils sont 14 élèves d’environ 16 ans. La leçon dure 50 minutes. 1 P - qu 'avez-vous vu ?
2 E - la projection perpendiculaire d’un point sur une droite. 3 P - comment la construire ?
[Silence]
4 P - que permet-elle de calculer ? 5 E - la distance d’un point à une droite
6 P - je vous rappelle : la distance d’un point à une droite est la plus courte distance entre le point et la droite.
On travaille dans l’espace. On va voir des projections qui ne sont pas spécialement perpendiculaires. D’où la notion de projection parallèle. Rappelez-moi le théorème de
Thalès ? [En regardant la classe d’un air interrogateur.] [Au tableau]
7 E - deux droites sécantes coupées par deux droites parallèles, ça fait des segments proportionnels.
9 E - système de droites parallèles détermine sur deux sécantes des segments proportionnels.
[L’élève donne l’énoncé et omet le fait qu’il faut considérer des côtés homologues.] 10 P - donc, les deux droites de départ doivent être sécantes ?
11 E - non, elles peuvent être parallèles.
[Le professeur énonce l’énoncé exact du théorème de Thalès :]
12 P - un système de droites parallèles déterminent sur deux sécantes quelconques des segments homologues proportionnels.
[Et il corrige l’élève];
13 P - sécantes signifie sécantes à ces droites parallèles. 14 E - elles peuvent être perpendiculaires ?
15 P - oui ! [Au tableau]
\ \
\
16 P - on projette selon une direction, d’où l’expression de projection parallèle. [Au tableau]
17 P - dans l ’espace, on donne une droite et un plan. Voyez les notes.
[Le professeur montre une feuille de papier et un bâton pour symboliser le plan et la droite. Ensuite il dessine au tableau.]
Chapitre 11 Analyse des classes du secondaire supérieur
[Au tableau]
[Il explique en même temps :]
18 P - On projette tout l'espace sur une droite parallèlement à un plan, c'est-à-dire qu 'on prend tout point de l'espace. Par ce point, on mène un plan parallèle à n. Il coupe la droite en un point. Vous voyez ? Ce point de la droite, l'intersection, c 'est la projection de combien de points ?
19 El - d'une droite ! 20 E2 - d’un plan !
21 P - de tous les points du plan
22 E3 - mais on a une intersection du plan et de la droite ? 23 P - oui ! On suppose que k inter d existe.
Que peut être l’image d’une droite par projection ?
24 E - point ou une droite. Elle ne doit pas être parallèle à tu, elle doit juste être parallèle à d.
25 P - Z) 'où, la projection peut être un point ou la droite elle-même. [Après un bref silence]
Les élèves éprouvent des diffieultés (lignes 19, 22). Le professeur a parlé du théorème de Thalès que les élèves ont coutume de voir en géométrie plane. Mais, ici, il travaille dans l’espace ; on a deux domaines différents, ce qui pourrait être une source de difficultés malgré le fait que le professeur ait souligné le travail dans l’espace à deux reprises (lignes 6, 17, 18). La définition de la projection parallèle n’a pas été explicitée formellement (la projection d’un point P quelconque de l’espace sur une droite d, parallèlement à un plan tt, est le point de percée de la droite d dans le plan tt’ parallèle à it et comprenant P). Certains élèves ne saisissent pas bien ce qu’il en est (lignes 19,22).
26 P - deuxième définition !
La projection sur un plan parallèlement à une droite.
Comment va-t-on appeler ? [Et puis, le professeur s’interrompt et dessine au tableau] [Au tableau]
[Après un bref silence, il reprend :]
27 P - on a donné comme hypothèse que d inter k existe. On projette sur n tout point de l'espace parallèlement à d.
[Le professeur montre avec son bâton et sa feuille pour simuler la projection.]
Ligne 27. Cette existence résulte de concepts. Elle vient des différentes possibilités de déterminer un plan et des positions relatives d’une droite et d’un plan, ce que les élèves ont vu précédemment. La démonstration qui suit montre aussi qu’il en est ainsi.
28 P - est-ce une fonction ?
29 E - non...oui...on l'envoie sur un plan ... non. 30 P - qu 'est-ce qu 'une fonction ?
31 El - une relation d’un ensemble vers un autre.
[Le professeur attend visiblement des compléments à cette remarque] 32 E2 - et il y a au plus une image !
[Le professeur rappelle la définition d’une fonction, en signalant précisément qu’il y a au plus une flèche qui part du premier ensemble]
Les élèves hésitent visiblement. En fait, le professeur change de domaine : de l’espace, il passe dans des formulations qui présentent une certaine structuration des objets, il arrive dans un domaine épi-mathématique - qui n’est plus constitué des définitions et des propriétés du domaine concerné, mais de caractéristiques générales qui interviennent dans la manière de constituer des classifications d’objets mathématiques (cf chapitre 6). Et les élèves sont perdus. Le professeur s’en aperçoit. Pourtant, ils savent ce qu’est une fonction en rappelant sa définition. Ce serait le changement de domaine de travail qui les perturbe ?
[Le professeur montre une feuille de papier et un bâton pour symboliser le plan et la droite.] 33 E - donc, ce n 'est pas une fonction.
L’élève ne fait pas l’analogie entre les relations vues dans des ensembles quelconques, et cet ensemble particulier qu’est l’espace.
34 P - non ! Prenons deux points distincts. Ont-ils une image ? 35 E - oui !
36 P - étonné peut avoir un point qui a plus d'une image.
L'ensemble de départ n 'est pas nécessairement constitué de tous les réels. Ce peut être un point.
[Le professeur écrit au tableau :] [Au tableau]
Toute projection parallèle envoie deux couples équipollents sur deux couples équipollents.
[Le professeur explique plus en détails ce que cette propriété signifie :]
37 P - on va démontrer que dans le cas de la projection sur un plan parallèlement à une droite, si on a deux couples équipollents, l'image sera encore deux couples équipollents. [Au tableau]
Chapitre 11 Analyse des classes du secondaire supérieur
3 8 P - A'B' n 'est pas nécessairement parallèle à AB.
[Le professeur rappelle l’énoncé et signale qu’ABDC est un parallélogramme] [Le professeur écrit au tableau :]
[Au tableau]
H : ABÎCD
A’B’, C’D’sont les projections des couples AB et CD sur le plan Th; A’B’ ÎC’D’
39 P - démonstration !!
AB parallèle à CD (car les couples sont équipollents)
Comme les segments AB et CD sont projetés sur n parallèlement à d (et que si deux droites sont parallèles à une même troisième, elles sont parallèles entre elles) :
AA’//BB’//CC’//DD’.
AB est sécante à AA '. Que peut-on déduire ? 40 E - elles déterminent un et un seul plan.
41 P - on a donc le plan BAA ' et aussi le plan DCC'. Comment sont ces deux plans ? 42 E - parallèles
43P - et cela découle de quelle propriété ?
44 E - si ces plans étaient sécants ? [L'éléve hésite]
Il se rend compte qu’il faudrait doimer une autre réponse mais sans trop savoir quoi fournir.
En fait, l’élève commence une démonstration par l’absurde au lieu d’énoncer la raison qui justifie le parallélisme des deux plans. En faisant cela, il complique la démonstration. Et en mathématiques, habituellement, on tente plutôt de présenter des démonstrations les plus courtes possible. Toutefois, cela montre qu’il est possible de justifier de manière interne au texte, et de structurer la théorie différemment, ceci grâce au fait que le professeur travaille dans un texte cohérent.
[Les élèves cherchent.]
46 El - n existe des droites sécantes.
47 E2 - CC’ et CD forment un plan par construction. Et on ne peut construire qu ’un seul plan parallèle à un autre comprenant un point donné.
Ces constructions sont le résultat de propriétés. On se situe dans un ensemble de concepts.
48 P - Non ! Fous vous souvenez ? On a démontré que si un plan contenait deux droites sécantes parallèles à deux droites sécantes d’un autre plan, alors ces deux plans sont parallèles.
Si on enlève « droites sécantes », est-ce que cela reste vrai ? La rigueur consiste à montrer la nécessité de chaque terme. 49 E- non !
50 P - donnez un contre exemple.
[Un élève montre la solution avec ses bras.] 51 P - dessine au tableau [en lui tendant la craie] [L’élève dessine au tableau et en même temps, explique ;]
52 E - si on prend une droite oblique, on trace une parallèle sur le plan 53 P - il n’y a pas moyen.
54 E - ah oui ! Elles sont gauches. [Le professeur justifie :]
55 P - donc B AA ’ est parallèle à DCC ’. Que peut-on déduire ?
56 El - le plan rrcoupe
51 El - en deux droites parallèles. [Un troisième élève énonce le tout.]
58 E3 - deux plans parallèles sécants à un troisième plan, ont des intersections qui sont des droites parallèles.
59 P - d’oùA’B’ est parallèle àC’D’. Ai-Je tout démontré ?
Avec cette remarque, on n’est plus dans la géométrie mais dans la vérification de la structure textuelle. Ce professeur travaille dans ime théorie. D s’agit d’xme forme textuelle qui affiche certaines particularités qui lui sont propres, la cohérence entre les énoncés, notamment. Cette cohérence s’appuie sur des démonstrations. Indirectement, c’est à cela que le professem fait allusion.
Chapitre 11 Analyse des classes du secondaire supérieur
60 E - non
61 P - que faut-il encore démontrer ? 62 E - / 'égalité des segments.
63 P - il faut encore montrer que A ’B ’D ’C ’ est un parallélogramme.
[Le professeur fait une mimique à l’adresse de sa classe, l’air de dire, comment on fait ?] [Un élève enchaîne :]
64 E - que A ’C ’ est parallèle à B’D’ !
Ligne 63. En fait, il faut encore montrer que les deux couples (A’, B’) et (C’, D’) sont équipollents. Mais le professeur estime probablement que les élèves maîtrisent suffisamment l’idée que le parallélogramme le montre. Dans une démonstration, on peut omettre parfois certains points, parce qu’on a une maîtrise suffisante de la théorie. Ce serait le cas ici.
Lignes 62, 64. Les phrases sont elliptiques, ils sont tous concentrés sur le raisonnement, de la sorte, la formulation même des phrases passe au second plan. La recherche de l’énoncé (on est dans la situation du cadrage de la compétence qui consiste à démontrer l’énoncé écrit au tableau) investit les élèves.
65 P - comment peut-on montrer cela ? [Un élève suggère ;]
66 E - on pourrait dire que si deux plans sont parallèles, ... [L’élève s’interrompt et hésite]
67 P - tu as deux plans parallèles, les segments ne sont pas nécessairement parallèles. Le professeur donne des indices mais ne fournit pas la réponse. De plus, il ne précise pas à quel plan appartiennent ces segments. À l’élève de trouver.
[L’élève cherche.] [Le professeur répète.]
68 P - pas nécessairement parallèles [Silence]
69 P - MOUS n’avez pas des masses d’outils ! [Le professeur s’exclame en disant cela, l’air légèrement excédé]
[Un élève se risque :] 70 E - AC parallèle à BD
71 P - voilà ! ABDC est un parallélogramme, d’où AC est parallèle à BD. On sait aussi que AA ’ est parallèle à BB’ puisque les projections se font parallèlement à une droite. [Et en appuyant sur sa phrase ;]
72 P - donc, on peut déduire quoi ?
73 El - A’C’ ?... [Les élèves cherchent, et E1 hésite à se prononcer] 74 E2 - on a deux plans parallèles A ’AC et B ’BD
75 P - voilà !!! [Au tableau]
AC // BD AA’ // BB’
L’essentiel est indiqué. [Et le professeur continue oralement :]
76 P - A’AC est parallèle à B’BD. D’où l’intersection de ces deux plans parallèles avec un troisième étant deux droites parallèles, A ’C’ est parallèle à B’D’.
77 E - car sont équipollents
À nouveau, il n’y a pas de phrase complète. Les élèves sont plongés dans leur démonstration de géométrie, jusqu’à mettre de côté l’aspect langagier, et ils ne prononcent que les mots idiomatiques nécessaires.
78 P - non, ce n ’est pas justifié ainsi, ce sont les droites A’C’ et B’D’ qui sont parallèles. [Et le professeur enchaîne :]
D ’où A ’B ’D ’C ’ est un parallélogramme parce qu ’il a des côtés opposés parallèles.
Et d’où A’B’ et C’D’ sont reliés par un parallélogramme. Et les couples sont équipollents. Alors qu’en deuxième année, certains professeurs travaillent la compétence idiomatique, ce qui permet l’accès à une théorie, ici, on travaille avec un ensemble de concepts, et le langage est en quelque sorte dépassé. Professeur et élèves se contentent souvent de phrases lacimaires qui contiennent seulement les mots essentiels tirés de l’idiome des mathématiques. Mais les définitions ne sont pas formulées explicitement comme si ce n’était plus nécessaire.
2° Ce qui ressort de l'observation ; les quatre tensions
a) Domaine
Le professeur travaille dans l’espace et dans le plan. Une ou deux fois, il représente un plan et une droite avec un bâton et une feuille. Mais ce ne sont pas des objets sensibles, comme utilisaient certains professeurs de l’inférieur, destinés à amener leur définition par ime sorte de traduction immédiate. Ici, ces objets jouent un autre rôle. Cette feuille et le bâton servent d’indices pour aider à imaginer im plan et ime droite. En fait, par rapport à ce qui se pratiquait dans l’inférieur, on assiste au phénomène inverse. Ce n’est plus la réalité sensible qui se transforme en objets idéels mais l’inverse, ce sont des objets géométriques (construits et basés sur des conventions de départ) que le professeur concrétise (lignes 27, 47). Ces objets présentent l’atout, par rapport au tableau, d’être dans un espace de dimension 3.
b) Énoncé
Les définitions de ces deux types de projection ne sont pas énoncées. Le professeur suppose que tous les élèves conçoivent ce qu’est une projection. Ils ont déjà étudié une projection particulière, la projection orthogonale (ligne 16) dans l’inférieur. Le professeur explique la projection en décrivant comment la construire (ligne 18). Les élèves doivent saisir les concepts de la projection parallèle (sur un plan et sur ime droite). Le professeur
Chapitre 11 Analyse des classes du secondaire supérieur
nous a dit, par la suite, que ses élèves doivent pouvoir énoncer les définitions correctement pour les évaluations (la projection d’un point sur une droite parallèlement à un plan tt est le point de percée de cette droite dans le plan parallèle à it qui comprend ce point. La projection d’un point sur un plan parallèlement à une droite d est le point de percée de la droite parallèle à d, menée par le point, dans le plan).
c) Validation
L’existence de ces projections tient à la situation réciproque du plan indiquant la direction et de la droite sur laquelle on projette (et l’inverse : plan de projection et droite indiquant la direction). Ces dormées existent parce que ce sont des concepts que le professeur a précisés dans les leçons antérieures. Mais, ces projections se laissent visualiser, ce qui souligne leur caractère non arbitraire dans la mesure où la géométrie dans l’espace est quelque chose de nécessaire pour traduire certaines réalités sensibles. Et ceci semble satisfaire la curiosité des élèves qui ne demandent pas « à quoi ça sert » comme ce sera le cas dans la leçon suivante sur les dérivées. À côté de cet aspect non arbitraire, les projections parallèles ont im sens au sein de la théorie parce qu’elles résultent d’une construction qu’il est possible de réaliser suite à certaines hypothèses qui ont été formulées (ligne 27).
d) Représentations
Le professeur explique la projection en décrivant comment la construire. Il s’agirait d’une représentation indiciaire. Par ailleurs, lorsque le professeur rappelle ou propose et démontre de nouvelles propriétés, il se trouve dans une représentation symbolique de type b. La représentation indiciaire est importante dans la saisie rapide de l’objet défini. Cette représentation semble être liée au domaine (cf. également, dans la leçon sur les dérivées, proposée après celle-ci, le paragraphe sur les représentations des élèves à ce sujet : outil calcul). Les élèves se construisent progressivement une représentation symbolique (lignes 56, 57, 58).
3° Compétences idiomatiques
En ce qui concerne les deux définitions proprement dites des projections, on ne peut dire que les définitions sont travaillées sur le plan de la compétence idiomatique puisque ces définitions ne sont pas formulées explicitement. Toutefois, de manière générale, la compétence idiomatique est travaillée tout au cours de la leçon (lignes 23, 9, 40, par exemple, et aussi ligne 48, ...). Très peu de verbes d’action figurent dans cette leçon (à part on mène, on trace) malgré le fait qu’il s’agisse de transformations du plan. Par la suite, nous avons repris contact avec ce professeur. Il a expliqué que les définitions sous forme formalisée sont éventuellement demandées lors des évalixations et cela ne pose pas de problème aux élèves. Ceci signifie que les élèves sont capables de construire eux-mêmes, et sans aide, les définitions puisqu’elles ne figurent pas dans leur manuel sous cette forme et qu’elles ne sont pas données par le professeur.
Il s’agit d’tme école où cette compétence idiomatique est travaillée dans l’inférieiu. Ceci confirme ce qui a été écrit dans la partie théorique, entre l’apprentissage de compétences
scolaires et l’apprentissage à la construction de théories, il faut passer par des compétences idiomatiques.
4. Enseignement secondaire supérieur - Professeur 2 - Classe 2b
1 ° Observation de la deuxième leçon
Le sujet de la leçon est la définition de la dérivée et sa signification en géométrie. Les élèves savent ce qu’est une fonction, une fonction continue, et ils connaissent les asymptotes. Ce sont les mêmes élèves et le même professeur que pour la leçon précédente. La leçon dure 50 minutes.
1 P - je vous donne une fonction. Elle a des asymptotes. Quelle est son allure ?
L’étude de fonctions est l’étude de relations entre deux ensembles qui sont, à ce stade des études, des réels ou des sous-ensembles des réels. Le domaine de travail est multiple. D’une part, la fonction est représentée dans un plan muni d’un repère généralement orthogonal. Les élèves doivent pouvoir représenter la fonction le plus fidèlement possible dans ce plan en remarquant toutes les caractéristiques particulières à cette fonction (maximum, inflexion, asymptotes etc.). Pour ce faire, ils vont travailler avec l’équation de cette fonction et effectuer un certain nombre de calculs algébriques.
[Au tableau] V4x^ + x + l
y=---X
2 P - une tangente en un point est une limite d’une suite de sécantes. Je vous rappelle que pour la parabole, on avait imposé A = 0
3 E - il faut séparer le graphique comme pour la sinusoïde ? Une fonction croissante et décroissante par moments.
Ligne 2. L’année précédente, les élèves ont étudié une fonction particulière, la parabole ; ils ont calculé l’équation de tangentes à cette courbe en un point (d’où le A=0). Le professeur ne fait aucune introduction. Il débute directement avec l’objet de la leçon : des tangentes aux courbes. Mais les élèves se raccrochent à ce qu’ils ont déjà vu, les sinusoïdes.
[Au tableau]
Chapitre 11 Analyse des classes du secondaire supérieur
4 P - ici, on va couper le graphique en plus d’un point. On travaille en termes mathématiques. On donne un point. Que faut-il ?
5 E - wn deuxième point. [Au tableau]
Le croquis du tableau concerne la géométrie pure, sans nécessairement mettre de système d’axes.
6 P - on prend un deuxième point différent de P. On donne un accroissement delta x et on obtient l'abscisse du point Q. Comment je peux noter ?
7 El - f(xo+ A x) 8 E2 - f(xo)
On a la sécante PQ et deux de ses points. 9 E - on peut trouver la droite
Ligne 9. L’élève fait appel à l’axiome qui exprime que deux points distincts dans le plan (ou dans l’espace) déterminent une droite et une seule, et aux équations de droites, ce qu’ils connaissent depuis plusieurs mois.
10 P - comment ?
11 E - différence des ordonnées sur différence des abscisses. 12 P - oui
Ligne 11. L’élève donne la formule du coefficient de direction de la droite. Il passe aux équations et aux calculs algébriques.
[Au tableau:]
P : xo f(xo)
Q : Xo + Ax f(xo + Ax)
Cocff PQ - + ^) - /(^o ) ^ /(^o + Ax) - /(Xq )
JCg + Ax - X() Ax
13 P - c’est le coefficient de direction de la droite PQ. Ce que je cherche c’est le coefficient de direction de la tangente
14 E - on passe à la limite
15 P - si Q tend vers P. Comment écrire cela ? [Au tableau]
lim -^(^0
Ax->0 ^
16 P - la distance de P à Q diminue, et la sécante PQ se place...ici. [Le professeur montre en même temps ce qui se passe sur la figure au tableau.]
Le professeur retourne au domaine du plan et à la géométrie. [Au tableau]
Chapitre 11 Analyse des classes du secondaire supérieur
17- P - d’où plus PQ diminue, plus cette sécante se rapproche de la tangente. Regardez ! On a le coefficient de direction de la tangente.
Le coefficient de direction s‘approche de ? [Les élèves cherchent]
18 E - du coefficient de direction de la tangente en P. [Au tableau]
Par définition, la litn /(^O +Ax)-/(Xq)
Ax est la dérivée de la fonction f(x) au point xq.
La dérivée est donnée par une formule que l’on peut expliciter en phrases. Son caractère non arbitraire est souligné par l’application en géométrie. La dérivée en un point permet de calculer le coefficient de direction de la tangente en P à la courbe.
19 P - prenons un exemple concret. [Au tableau]
Y
20 P - ï(x) =x"
[Après quelques instants :]
21 P - Si f(x) = x^, que vaut f(xo + A x) ? 22 E - (xo+ Axy
[Au tableau]
(Xo+Ax)^-Xq^ Xq^ + Ax^+2xqAx-Xo^ Ax^+2xqAx
23 E - on peut mettre Ax en évidence
24 P - la limite vaut ? [En posant un regard interrogateur vers la classe] 25 E - 2xo
26 P - ce 2xo est le coefficient de direction de la tangente en P. 27 E - en fonction de l'abscisse !
Le résultat obtenu à la ligne 26 peut siuprendre les élèves parce qu’ils ne trouvent plus de « f(x) » dans le résultat. Ils se disent peut-être que la dérivée, contre toute attente, ne dépend pas de la fonction de départ (cf. également, lignes 49 à 56)
28 P - prenons un exemple. Le point Pi de coordonnées (2, 4) se trouve sur la parabole. Quelle est l’équation de la tangente en ce point ? On a besoin d’un point et du coefficient directeur. Ce coefficient vaut ?
29 E - 4!
30 P - tpi est identique ày = ax + b
[En même temps, le professeur écrit au tableau ;] [Au tableau]
tpi = y = ax + b
[après quelques calculs, on arrive à ; ] y = 4x - 4
31 P - on peut la tracer. Deuxième exemple : quelle est l'équation de la tangente comprenant l'origine ?